Ankganit Bhag 2

र 68
अकगाणत
उपपत्ति व उदाहरणे ह्यांसहित.
भाग दसरा.
ह पुस्तक,
केरो लक्ष्मण उत्रे,
डेक्कन कॉलेजातील गणितशास्त्राचे माजी प्रोफेसर
ह्यांनी केलें. ते,
श< & के र क ह. गा मनो €< ९
नालकठ व० उत्र बा. ९., दळू. सा. ३.»
डेप्युटी एज्युकेशनळ इन्स्पेक्टर-जिल्हा ठाणें
ह्यांनी

सपासून, विषयाच्या प्रातेपादनपद्धतांत सुधारणा वरून,
त्याला पुष्कळ प्रकारचा उदाहरण जाडून, वाढावल

सुधारलेली पांचवी आवृत्ति.--२५,००० प्रती

ह्या पुस्तकाची मालकी सन १८६७च्या २* व्या २८-> ८ 0९6६
आकटाप्रमाण नोंदिली आहें

ह ग फा
क. चनक

__ .. पुण येय
आर्यभूषण छापखान्यांत छापिलें.

सन १९०० ६०

या पुस्तकासंबंधी सवे अधिकार मालकार्न आपल्या स्वाथींन ठाविल आहेत

किंमत ६ आणे.

प्रस्तावना.

धार । वा यत €>> “>
सुधारलला आवांच ४ था.
ही चोथी सुधारलेली आवृत्ति तयार करितांना ती० रा० रा०
मोरो बघ्काळ धारप दांनी खधारलेल्या तिसर्‍या आवृत्तीचा पूर्ण
उपयोग केला आहे

मुलांस विषय सहज कळावा ह्मणून उपपादन अगदीं सोप्या
मार्षेत केलें आहे. कित्येक ठिकाणी रेघांचा उपयोग करून अप-
णाकांचा वगर समजूत करून दिली आहे. उदाहरणसंप्रह वाढ-
विला आहे, व उदाहरणांची जुळणी कठिणपणाचे क्रमानें केली
आहे. प्रत्येक विषयावरील उदाहरणसंग्रहांतीलळ पहिलीं १५1२०
उदाहरणें केली ह्मणजे तो विषय समजेल. कठिण उदाहरणें पुढें
घातली आहेत तीं उजळणीचे वेळीं करावीं.

विषयाची जुळणी अनुक्रमणिकेवरून कळेल.

उद॒ाहरणांची उत्तरें काढण्याच्या कामीं नाशिक जिल्यांतील
शिक्षकांकडून चांगली मदृत मिळाली. ठुसऱ्या जिल्ह्यांतील शिक्ष-
कांनीही बऱ्याच उपयुक्त अशा सूचना केल्या. ह्याबहूल त्यांचे
मी आभार मानितो.

मेहेरबान चाटफील्डसाहेब बहाटूर, डायरेक्टर आफ॒पब्लिक-
इन्स्टरकशन, मुंबई, ह्यांनी “ अंकगणित भाग ला व र रा” ह्या
आमच्या वडिलांच्या रुतींची मालकी आमचेकडे दिली ह्याबद्दल
मी त्यांचा फार फार आभारी आहि.

शिक्षकांनी शिकविण्यापूर्वी ह्या पुस्तकावरून विषय वाचून पहा-
चा. मुलांस समजतील तींच कलमें पहिल्याने त्यांस सांगावी.
उपपत्ति निरनिराळ्या तऱ्हेने दिली आहे. जिचा उपयोग
होईल तीच तऱ्हा उपयोगांत आणावी. बहुतेक दुर्बोधता काढून
टॉाफिली आहे. तथापि जे दोष कोणास आढळतील व ज्या

र | प्रस्तावना.

खंधारणा करणें योग्य वाटेल त्या त्यांनी रुपा करून आमचेकडे
लिहून पाठवाव्या, त्यांचा आभारपर्वक स्वीकार करून पुढील आ-
वृत्तीचे वेळी त्यांचा विचार अवश्य करुं. नाशिक, ता. ८19१1९६

सुधारलला आवाच ५ वा-भाग २,

ह्या आवृत्तींत बारिकसारिक सुधारणा बर्‍याच केल्या आहित.
उदाहरणांतही थोडाबहुत फेरफार केला आहे. पण एकंद्रीने फार
चदृल केलेला नाही. पूर्वीच्या आवृत्तीचे मात्र दोन भाग केले आहे-
त. ह्या २ र्‍या भागांत सरळव्याज असेर गणित विषय दिला आहे.
. 3 र्‍या भागांत पुढील उरलेला सर्व गणित भाग म्हणजे चक्रवाढ-
ञ्याज वगेरे प्रकरणे आढीं आहेत. अनुकमणिकेवरून ह्या भागांत
येणाऱ्या विषयांचा बोध होईल. भराठी ४ थी यत्ता शिकणारांनी
हा २ रा भाग घेतला हझणजे पुरे आहे. 3 रा भाग यत्ता ५व ६
च॒ कालेजें हांत उपयोगी पडणारा आहे. .

ठाण, ( | विव डबे.

ता. १३19९००

अनक्मणिका.

<< ज्रे€ >८>---”

व्यवहारी अपूर्णांक.-ळेखन, वाचनाचे प्रकार, अवयव,
पदें, अपूर्णाकांचे प्रकार व भेद.

रूपांतर प्रकार दहा

मिळवणी.

वजाबाकी.

गुणाकार.

भागाकार.

मिश्र अपूर्णांक व पदावली सोडविणे

त्यवहारी अपूर्णांकाचा रूपभेद्‌ किंवा विवि-
धाशीं संबंध. --

दशांश अपूर्णाकू.-वाचन व लेखन...

मिळवणी व वजाबाकी. ---

गणाकार.--.

भागाकार ---

व्यवहारी अपूर्णाकास दशांश अपूर्णाकाचे रूप देणें

आवर्त दशांश

आवर्त दरशांशास व्यवहारी अपूर्णांकाचं रूप देणें

आवर्त दशांशांचीं विनकसर कृत्यें.

दशांश अपूर्णाकांचीं संक्षिप्त कृत्ये व कसर.
संक्षिप्त बेरीज व वजाबाकी. --.
संक्षिप्त गुणाकार.
संक्षिप्त भागाकार.

. अजकमाणिका.

दशांश अपूर्णाकाचा रूपभेद किंवा विविधाशीं संबंध. ९२
मध्यममान किंवा सरासरी. ... -... ... ... १०८
' एकमानगणित. -.. -.. -... ... ... १08
गुणोचर उव डड हक . तिर “““ **“- १२३
प्रमाण कड. “3 “> _-«.* -.. १२९

साधें प्रमाण अथवा नेराशिक.-राशींचीं नांवें, सं-

बेधी राशि, सजातीय राशि, महत्वें व त्यांचे
_ बदल, समप्रमाण, व्यस्तप्रमाण, तेरा शिकाची

रीति. उदाहरणें साधीं, व सावयव संख्यांची. ११२
तोंडचे हिशोब ८... ०८. ८०. ०.» ऊर

संयुक्त प्रमाण अथवा बहुराशक. . -.. ... १७७

प्रमाणमाग अथवा सर्कतवांटणी. -.. -... ... श्टट

व्याज, --- नामे हेड. शेड व कड रे ८
सरळव्याज 5... 5. 5: “न ... २०३
प्रभसमदाय २३० हो > | न्न व व र शै ९
सोडविलेले प्रश्न... .... . .. -.. _-... २३९७

अभ्यासाकारेतां दिलेल्या उदाहरणांचीं उत्तरे. -... २५९

ऑकगणित.
--_%०--

भाग २ रा.

व्यवहारी अपूर्णांक.

१. एका पेरूचे चार सारखे भाग केळे; त्यांपेकीं एक भाग
घेतळा तर त्यास आपण पाव ह्मणवो, ब तो .।. असा लिहितो.
त्या एका भागाचे ह्मणजे फोडीचे चार भाग केळे. त्या चार
भागांपेकीं एक भाग लिहिणे झाल्यास तो “< असा लिहितो. ह
चतथीशपद्धतीचें अथबा रेघांचे लिहिणे जेथें चार चार भाग
केळेळे असतात. तेथ मात्र उपयोगीं पडते. रेवांचे अपूर्णाकांवि-
षी अं० भा० 3 क० १२९ मर्ध्ये पूवीच विचार केळा आहे

२. एका पेरूचे १० भाग केळे, आणि त्यांपैकीं $ वेवला..
अगर त्या एकाचे पुनः 1१० भाग केले, व त्यांपैकीं ३ भाग
घेतळे; तर ते दशांशपद्धतींनं अनुक्रमे १ व *०२ असे लिहितात
दशांशपद्धतीनें लिहिण्याविषयीं विचार पुढे ह्याच भागांत केळा
आहे. इतके मात्र येथ सांगणें जरूर आहे का, जसे रेवांचे अप-
णाँकांत चार चार भाग करावे लागतात, तसे दशांशपद्धतींत
दहा दहा भाग करावे लागतात

३. ह्या वरील विचारावरून असें कळून ग्रेईळ कीं, रेघांचा
अगर दुशांशांचा उपयोग जेथें १२ भाग किंवा ३१९ भाग केळे
आहेत, तेथें होत नाहीं. व्यवहारांत तर एका वस्तूचे पाहजे
तितके भाग करावे लागतात. तेव्हां सव प्रकारच्या व्यवहारांत
उपयोगीं पडणाऱ्या अशा व्यवहारी अपु्णांकांविषयीं बिचार
करण अवश्य आहे

४. आमतेजबळ १२ पेरू आहेत. त्यांपैकी ७ पेरू पहिल्या

प अंकगाणिंतं.

नवरच्यी मळास दिले -: पेरू दुसर्‍या नंबरच्यास द्लि २ ति-
सऱया नंबरच्या मुलास दिळेव) चवथ्या नंबरच्या मुलास
दिळा. बाकी राहिले दोन पेरू. त्यांपेक्री एकाच्या सारख्या ३
फांकी केल्या. त्या पांचव्या, सहाव्या व सातव्या मुलांस दिल्या.
१3 पे्ची वाट ळागळी. शिक एक पेरू उरला. त्याची एक
बारीक फांक काढिली आणि ती दिळी आठव्या नंबराला.
प्रत्येकाला काय काय मिळालें तें त्यानें पाटीवर लिहून दाख-
बाबें अर्से सांगितलें, तर-- |

9 ला मुलगा लिहील ............ ७ 'पेरू.
रेरा ,, ११. १९९१०१००००. के १)
हेरा ,, १2 ९८११५०००००. २ ,)

४ था ,, बड ००११००१०९० 0 9)

पण नंबर ५, ६, ७, ८ च्या मुलांस सगळाला ह्मणजे पूर्ण
पेरू मिळाला नाहीं. त्यांस फांक ह्मणजे पेरूचा भाग किंवा
अपुर्ण पेरू मिळाळा आहे. त्यांनीं तें कसें लिहून दाखवाबे?
हे व्यवहारांत लिहिण्याची चाळ अशी आहे कीं, एक आडवी
रेघ -- अंशी काढून तिचे खालीं दिलेल्या वस्तूचे केलेल्या भा-
गांची संख्या लिहावी आणि वरती घेतलेल्या भागांची संख्या
लिहावी. तर मग ह्याप्रमाणें लिहिलें तर--

५वा, ६ वा, ब७बा मुलगा लिहील ...... ) पेरू, पण
आठव] मुळगा अडला. कारण त्याळा जरी एक बारीकशी
फांक दिळी आहे, तरी त्या पेरूचे किती समान भाग पाडून
त्यांतळी ती एक वेवळी आहे, हें समजत नाही. ह्मणून आठ-
व्या नंबरच्या मुळास ज्या पेरूची फांक काढून दिली तो पेरू
घेऊन त्याच्या आणखी फांकी केल्या. प्रत्येक फांक आठव्या
नंबरच्या मुळाळा दिलेल्या फांकोएबढी, अशा त्याच्या आठ
- फांकी झाल्या तसल्या फांकी नवव्या नंवरच्यास दिल्या ४, दु-
हाव्या नेंबरास दिल्या २, बाकी राहिलेली एक फांक पुनः आ-
ठवे नंबरच्या मुलास दिली. भाणि सांतिठें आता वहा
प्राहूं तर--

ह्यवहारी अणणाक. $

ट बा नैबरचा मुलगा लिहील...... टे
रवा !) १? हि. व वि ऱ्य
-०"वा ,) न 10 नसन सै ,)
येथें ४ पेरू, २ पेरू, २ पेरू, व १ पेरू अथवा ४, २, व १
ह्या पूर्णींच्या संख्येला पूणीक हणतात. व डे पेरू, टे पेरू, टे
पेरू अथवा टॅ, ठेव ठे ह्या अपूर्णांच्या संख्येळा व्यवहारी
अपूर्णांक हणतात. |
७. अपूर्णांक हे भाज्य * भाजक ह्या भागाकार दाखविण्या-
च्या पद्धतीनें लिहितात, हें वरती सांगितलेंच आहे.
अपूर्णांकांत भाज्यास अंश व भाजकाला छेद॒ ह्मणतात हें
लक्षांत ठेवावे, ह्मणजे अंश -- छेद ह्या भागाकाराला अठउ-
णाँक हणतात असे झालें.
अंश ब छेद ह्यांस अपूर्णीकाचीं पदें ह्मणतात.
अंशछेदांच्या जाड्या चार भकारच्या होतात, जशाः-7

परिमाणसंख्या उदाहरण ६ रुपये हा सळ (ये)
परिमाणसंख्या २ रुप

परिमाणसंख्या उ० ६ रुपये कळे ( त )
भावसंख्या र

भावसंख्या _ उ. ठे“ (३)
भावसंख्या षड्‌

भावपस्या ७ र ७०५ ( प 3
पारमाणसंख्या २ रुपफ्थे

नराठ (१), (२), (३) ह्या भकारांत उत्तर संभवनीय आहे,
पण (४) ह्या प्रकारांत उत्तर मळींच संभवत नाहीं. ह्मणून फर्क्त
तीन भकारच्या वरतीं दाखाबिलेल्या भाज्यभाजकांच्या जोड्यां-
नॉ अपर्णांक दाखविळे जातील हें स्पष्ट आहे.

लाक

ह य क ती € ___६ _ हे अपर्णांक अनुक्रम
अंश -- ठेंद, दोसा? ३? रव शस्प्या अपूर्णांक अनु,

अंदा भागिले छेद, ६ रुपये भागिले २ रुपये, ६ रुपये भागिले ९२» € भा”
शिळे २ ब ६ भागिले २ रुपये असे वा्चितात. |

2:20

_-) भॅकगणित'.

६. टे रुपये, ह्या अपूर्णांकांची किंमत काय होते व तो कसा
वाचावा हें आतां आपण पाहूं. कळम ४ मध्यें ठरविल्याप्रमाणे
अपूणांकाचे मांडणीवरून ह्या अपूर्णाकाचा अर्थ असा होतो कीं,
१ रुपयाचे ८ भाग करून तसले ६ भाग घेतले. ५ रुपयाच्या
चबल्या ८, हणून १ चबली ह्मणजे १ रुपयाचा ८ बा भाग
झाळा. आणि असले ६ भाग घेतळे आहेत, तेव्हां ६ चवल्या
हणजे १२ आणे घेतळे आहेत असे झाळें. भाग हणजे अंश.
तेव्हां ८ वा भाग ह्मणजे आठवा अंश अगर अष्टमांश (अष्टम
7" अंश ) आणि ६ आठवे भाग ह्मणजे ६ अशमांश झाले.
हणून टे रुपये ह्या अपूर्णाकाची किंमत १२ आणे झाळी ब तो
क्पूर्णाक ६ अष्टमांश रुपये असा वाचळा पाहिजे. ही भपूर्णा-
काची पहिल्या प्रकारची बाचणी लक्षांत धरावी.

आतां पुनः ६ रुपयांच्या चवल्या केल्या. त्या ६% ८ ४८
शात्या. त्यांच्या ८ सारख्या राशी केल्या. भत्येक रास सहा
सहा चबल्यांची झाळी. ह्या ८ राशंपैकीं १ रास थेतळी. तीत
८ चवल्या आल्या. ह्मणून त्यांची किंमत १२ आणे झाली.
तेब्हां £ रुपये हा अपूर्णांक ६ रुपयांचा आठवा भाग भथबा
६ रुपयांचा अष्टमांश असा वाचतां येईल असें झाले. ही दुस-
यया मकारची बाचणीही ध्यानांत ठेविली पाहिजे.

पहिल्या प्रकारच्या वाचणींत चवल्यांची ह्मणजे अपूर्णा-
काचे भागांची अगर अंशांची संख्या ६ घेवली हें दाखविलें.
डसर्‍्या प्रकारच्या बाचणींत, ६ ही जी रुपयांची संख्या विचा
भाजेकाइतका हिस्सा अगर ८ बा भाग अगर ८ अंश घेतला
हें दाखविलें. हीच दोन प्रकारची वाचणी कलम ५ मध्यें दाख-
विळेल्या २ र्‍या ब ३ र्‍या प्रकारच्या अपुर्णाकांस कागू पडते,
झफून तसला प्रत्येक अपूर्णांक हा अंशांची संख्या दाखवितो
व संख्येचा भंशही दाखवितो असे होते.

अपूर्णांकाच्या धरील दोन प्रकारच्या वाचणीवरून अपूर्णाका-
चे लक्षण देतां येतें, तें असंः-भाज्यांतीळ प्रत्येक एकंचा छेदा-
इतक्‍्यावा एकेक अंश मिळून; अथवा भाज्यांतीळ एकंचा छु-

व्यवहारी अपूर्णांक. खु

ठांइतक्याबा भाग, अंशसंख्ये इतका बेळ घेऊन जी संख्या बनते
तिळा अथवा त्या भाज्यांच्या त्या छेदाइतक्याव्या एका अं-
शाला अपू्णीक ह्मणतात.

७. अंशछेदाच्या चार जोड्यांपैकीं तीन भरकारच्या जोड्या
मात्र अपूर्णांक दाखविण्याच्या उपयोगी आहेत असे पूर्वी
(क. ५) दाखविठेंच आहे. त्या तिन्हींपेकीं परकार २ब प्रकार ३
ह्मणजे ३ रु० व हे अशा प्रकारच्या अपूर्णांकांची बाचणी ब
अर्थ हीं आतांच वरती सांगितलीं आहेत. भाता आपण

परिमाणसंख्या _ दरु०
पारेमाणसंख्या |. ३२०
असल्या अपूर्णाकाबद्दल विचार करूं.

अंकगणित भाग १ क० १६६ पमाणे त्य वयन -_ २ ह्मणजे ६

झपये हा राशि २ रुपये सा मापार्ने मोजळा तर २ हा अंक मा-
पांची संख्या दाखवितो, ह्मणजे ६ रुपये हे ३ रुपयांच्या किती-
पट मोठे आहेत, हे किंबा य ह्यांत २ रुपये ६ रुपयांचा कि”
तबा अंश आहे, हें ह्या अपूर्णांकार्ने समजते. एका संख्थेपेक्षां दु-
सरी संख्या कितीपट मोठी अगर लहान आहे हे दाखविणार्‍या
संख्यांस त्या दोन संख्यांचे उणोचर ह्मणतात. तेव्हां >

£ स्य भगर
वि 3 रुपये
त्य व $ असले अपूर्णांक गुणोचरें दाखवितात व हीं गुणो-
चरे अशा भागिले छेद अशीं लिहितात ह्मणून असल्या भाज्य-
भाजकांचे जोड्यांस अपूर्णांक ह्मणतां येतें.

८. अपूर्णांकाच्या वाचणीच्या पहिल्या तर्‍्हेंत भंश शेब्छाने
अपूर्ण परिमाण (टे रु० ) दाखविलें जातें. दुसर्‍या तऱ्हेच्या वा-
चरणांत अंश शब्दाने संख्येचा 9 भाग (ह० भागाकार ) दाख-
विळा जाती, आणि अपूर्णांकाची पर्दे सांगण्यांत अंश शब्दाने
भाज्य ( भळीवरचा राशि ) दर्शविला जावो. हे अंश शब्दाचे
निरानेराळे अर्थ लक्षांत ठेविळे पाहिजेत.

९. व्युत्कम-अपूर्णाकाच्या पढांची ह्मणजे अंशछेदांची अ-
दुळाबदल केल्यानें जी संख्या होते तिळा त्या अपूर्णाकाचा

६ भंकगणित.
व्युत्कम हणतात. जसाः--उे चा व्युत्कम डे आहे, उडे चा व्यु-
तम र॑ आहे किंवा ७ अ >,
र त वशद तत ती.
मर्दींत बदल न होतां तिळा अपूर्णांकाचें प येतें. जसेंः-प-७,
कु रट डै जै ६०. डर

हे रूपत्या त्या संख्यांचा ) ळा भाग दाखविते.

३9. अपूर्णाकाचा छेद हा एकंचे किती भाग केळे हे दाख-
चितो व अंश तसळे किती भाग घेतले हें दाखावितो, हणून अ-
पूणांकांचे अंश सारखे असल्यास छेद त्यांचा महत्वदर्शक होतो
वे छेड सारखे असल्यास अंश हा अपूर्णांकांचे महत्व दाखाबता.

३२. अपूर्णांकाचे प्रकार ६ कल्पितात ते असे.-- सम, व-
वम; भागानुबंध पुर्णाक; भागजाति, प्रभागजाति व मिश्र. |

ज्या अपूर्णाकाचा अंश छेढापेक्षां लहान असतो, त्याळा
सम (वास्तविक ) अपूर्णांक हणतात. उ० च टे, वरे इ०.

ज्या अपूर्णांकाचा अंश छेदावेक्षां लहान नसतो, त्याला बि-
बस ( ठिखाऊ ) अपणाकिे ह्मणतात. उ० है, ३, द, डे इ०.

पूर्णाक ब अपूर्णांक हे दोन्ही जींत आहेत अशा संख्येळा
भागानुबंध पुर्णाक हें नांव देतात. उ० रट, ४£रु० किंबा १
रुपयाचे ४४, इ».

या अशणांकाचा एकं ( परिमाण ) पर्णीक असतो, त्याला
भागजाते (ह्यः एणांचे भाग ह्या जातीचा ) अपूर्णांक ह्मणतात.
उ द. इ) हे इ* अपूर्णाकांचे अर्थ $ चेरेऔ$चे3,१चे शै
इ० होतात, हणून हे भागजाति अपूर्णांक होत.

ज्या अपुर्णाकाचा एक अपूर्णांक ( ह्ृ० भाग ) असतो, त्या-

पमागजात(. जाताचा ) अपूर्णांक हण-
गाकाचा अपूर्णांक हृणतातः

क्या व १
०
कडीत सत! / 3२” रठणाक हणतात. किंबा प्रमितिभाग-
"६ साजदावाचा भागजाति ) असें ह्मणतात.

व्यवहारी भपुर्णाक. ७

क

पुढच्या उदाहरणांत रेघांचे अपूर्णांक ब विविध पूर्णांक हे
ब्यवहारी अपूर्णाकांत मांडून दाखाविळे आहेत, ते तपासून पहा.

|. डॉ; शी८ - छु था स बहू 0 स कुद
८. हड; “न्य र; ४१ ऱ पोर, ८२१९ पे शेर
४॥-॥ ४ ना दच वद् याण
व्यं २रेरु० ३ भा ४पेस्रेरुन देई स्वर
वडा उ 4
> १) ऱ्म्( २--वद्चिणिवरश)रु०.
५ दिवस ६तास > ५दि-- घे (५-- ३४) दिवस.
व्य ५ बस

अभ्यासाकरितां उदाहरणें. क
४ & ६£ रुपये १५ पायली
-----_.ब्र-- ह्या प्रत्येक जोडीत अंश

न हि. १२ पायली
ब छेद कोणते? आणि भाज्यभाजकांचा अशक्य संबंध कोणता?

२. १२ एक ह्याचा एकेक १७वबा अंश घेतला, आणि१ ००१
एकं ह्यांचा एकेक १०००० बा अंश घेवळा,तर तें कसें मांडावे?

४. एक पंचमांश, एक पाव, नऊ अर्धके, तेवीस तिसरे बांटे,
पंचबिसांचा एकूणपत्नासाबा हिस्सा आणि पांचशे नब्वदांचा
प्रयुतांश, हे अंकांनीं मांडा.

- ) र्र - ्ा 1 -- रा ९्मण न ह अपणकि

पाहिले प्रकाराने हणजे अंशांच्या संख्या समजून बाचा

५. वरीळ अपूर्णाक हे अपूर्ण परिमाण, ब संख्या, ह्या दोन
अवयवांत विभागन मांडा

&. वरील अपणांक हे दसऱ्या प्रकाराने किंवा संख्येचे अंश
समजून बाचा. त्यांतील अंश ब छेद हीं पदे दाखवा, आणि
अंशांना छेढांनी भागून त्यांच्या किमती काढा

ग दै ती ट्ट शै £: , कुर्व? दट क ब वु ठी ह्या प्रत्येक
अपूणांकांचा प्रकार कोणता तो लक्षणावरून सांगा,

अंकगणित,

टं
भ्र
५८ 3 3. एंरू्वेश प
र्ट ९7 उ) "रण ”उ 2 ह
द्ृ १४
१
२
२ "३ £.
२॥मणाच १ च दच ह त चे डे;

ह्या अपणांकांत एकंचे भाग कोणते, अपर्णांकाचे भाग कोण-
ते, व भागांच्या मोजठावि कोणत्या,ते पाहूनह्यांचे प्रकार सांगा.

९. -॥॥ , ५-1॥ हे रेघांचे अपूर्णांक व्यवहारी अपर्णा
कांत मांडा

०. ४३३ तोळे, एद्रे पेन्स, ६वर मण, १३ बिती, >
पटका, उ< वष, द्र अयने, ह्या संयुक्त ब अपूर्ण संख्यांचे अर्थ
विविध परिमाणांच्या संख्यांनीं सांगा
व्यवहारी अपूणाकाचे रूपांतर

3३. पहिल्या पारमाणसंख्येच्या बरोबरीची जी दुसरी पारि-
माणसंख्या यते, तिळा पहिळीचें रूपांतर झणतात, बव दुसऱ्या
अरमाणाचे रूप हणतात. जर्सेः - २ रुपयांचे पावले किंवा च तु
थाश कल, हणजे २ रुपयांना पावल्यांचे किंवा चतुर्थाशां्चे
रूप [दळ असे हणतात, आणि २ हुपयांचें रूपांतर ८ पावले
किंवा -:- आहेत अर्से हणतात. त्या रूपातरांचा उपयोग अप-
गाक/चा (पळवणी, बजावाकी, इत्याडे कत्यांत कराबा ळागतो

४. मकार पाहळा. प्णाकास इच्छिलेला अक छेड्स्थळीं

पडळ अस हळक्या परिमाणाचें रूप यावमाचा

रीति.-इच्छिलेळे छेडानें प्रणाकास गणन ती गुणाकार अंश-
स्थळा लिहावा, व डच्छिळेळा छेद छेदस्थळीं लिहावा

उदाहरण. छडस्थळीं & थेतीळ 5 ह्या परणांकास अप-
णांकाचें रूप शि

गोताप्रमार्णे, ५२-०० द ऱ्य नकर हें उत्तर.
* ह परू आहेत असे हटले तर त्याच्या छेडस्थळीं ६ आ-
कण झणजे पत्येक पेरूच्या ६1८ क| करावयाच्या असें होतें
तव्हा ५ परूच्या फोडा ३८ हातात आणि -&& ह्याचा भथं, एका

पट
>
टॅ:

श्यवहारी अपू्णाक, "शू

परूच्या ६६ फोडी एवढाल्या २० फोडी घेणें असें होतें. ह्मणून,

उपपाते - एका रुपयांत भधेल्या २ राहतात, पावले ४ राह-
तात, व चबल ८ राह्तात; तसंच १ मध्यें द्वितीयांश २, वृती
यांश 3, चतुर्थांश *, इ० राहतात. अदा रीतीने कोणत्याही छे-
दार्‍ची परिमार्णे त्या छेदाइतकींच १ मध्यें राहतात, हणन ह्या
अपूण पारमाणांची नार्वे त्यांच्या छदांनी दासबिलीं जातात. ह्या
बिचारामें पाहतां ६ हा छेद्‌ 2े या परिमाणाला भसावयाचा, हणून
वरच्या उदाहरणाचा अर्थ ८५ या पूर्णाकाचे षष्टांश करणें असा हो-
तो. ५ मर्ध्ये षष्टांश ६ राहतात तेव्हां ५ मध्ये 3० राइतील. येथे *
हे परिमाण व 39 हा संख्या आहे. हीं गण्यगणकाप्रमाणें जोडली
हणजे -5- असें रूप येते. यांत दिळेळा पूर्णांक व छेदू यांचा गु”
णःकार अशस्थळा आला आहे. ब द्लिला छेद छेद्स्थळाीं आढा
भाह, याभमाणेच कोणत्याही उदाहरणांत येईल, ह्मणून होच काते
बरील रातीत सांगितली आहे

विविधांत भारी परिमाणाचे संख्येला हळकक्‍्या परिमाणाचें
रूप दता त्याच नमुन्माचा हा भकार आहे

अभ्यासाकरितां उदाहरणं. ख.

१. ८ आणि २७ ह्यांस प्रत्येकी ५ आणि २७ हे छेद थेतील
अशीं अपएणांकरूपें ठे.

२. ३४ आणि १३१५ ह्यांस प्रत्येकी १9 आणि ६५७ हे छेद
येतील अशीं अपूर्णाकरूपें दे.

४. ६, ९, १२ आणि २० ह्यांच्या अपूर्णाकरूपांत सर्वास
१५ छेद थेतील असं कर.

४. २५, ३४, १७, ११) ह्यांस २४ हे छेद येतील अशीं अ-
पूर्णाकरूपें ढे

न .::., ऊ, इत्यादे अपूणांकाचा विचार करितांना पहिल्यानें ६, ४

हे पेरू, आंबे, रुपये आहेत असें कल्पून भागांबद्दल मलांची समजत करून
घ्यावी; पुढे त्यांस सांगावें कॉ, पेरू, आंबा, रुपया, अशीं मापें अगर
परिमाणे धरण्याबद्दल ९ [ एकं ] हेच परिमाण धरल्यास, तेच विचार
झा अपणाकांस लाग पडतील, मग दिलेली उपपत्ति समजावन यावी,

१९ अंकगणित.

१५, प्रकार दुसरा. भागानुबंध पर्णांकास विषम अंपूर्णांका-
ये रुप यावयाचा. वि

रीति.-पूर्णांकास अपूर्णांकाच्या छेदाने गुणून त्या गुणाकारांत
अश मिळवावा आणित्या बेरजखालीं अपूरणाकाचा छेद लिहावा.

उदा. १ ल. ७३ ह्यांस विषम अपूर्णाकाचें रूप ठे.
रीतीभमार्णे, ७३ 2£डँ-* 3-५ > 3 हें उत्तर.

. उपपत्ति.--७३े झ्ांस विषम अपूर्णाकाचें रूप देणें ह्याचा अथ
७ पूर्णीक ब 3 मिळून एक अपूर्णांक करणें असा आहे. सजातीय
ब समान परिमाणाच्या संख्या असल्यासेर्रांज त्यांची बेरीज करतां
येणार माही, झणून ७ या पूर्णाकाचे तृतीयांय करावे, तेव्हां त्यांत
> मिळून एक अपूर्णांक होईल हें उघड आहे. पहिल्या पकाराप्रमणे
७ ना तृतीयांशार्चे रुप दुतां ७- 25> कसे येते. या बरोषरीत
$ मिळबिले हझषणजे--

| ७ डरना

ई इच्छिले रूप येते. येथे जी छाते केळी तीच असल्या को-
णत्याही उदाहरणांत केली पाहिजे. हणून हीच कांति बरीळ रीतीत
सांगितली आहे. |

' हाप्रकार विविधांवल्या उतरत्या भांजणीसारखाच हुबेहुब आहे.

उदा, २ रं.- २॥ ह्यांस विषम अपूर्णांकाचें रूप दे.
रीतीप्रमाणे. २॥ - २२ पे*घमाफ>न£$ हे उचर.

अभ्यासाकारितां उदाहरणें. ग.
खालीं दिलेल्या संख्यांस विषम अपूर्णांकांची रूपं दे.

१ डं ८. १५५्य | १५. २].
२. १०. | ९. १रेटक्टे | 9७. हे.
४. २२१न व | 9०. . ३ऐेफ्ट्ऊं | १७. ९॥-
४. 9३ेक्ड | 99. २००३३ १८. पुट
७. उ३ेरेन्डे | १२. १२पन्ये | १९. ७८
६. २००३३ १३४. ७५१४बवद् । ९०. टटी-
७, ७१क्डरे | १४. १०१३३ | ९१9. ६९०.

व्यवहारी अपूर्णांक. ११

२२. सात पूर्णांक तीनपंचमांश. ९४. आठ पूर्णांक सातनवमांश.
२४. एकोणीस सहासप्तमांश, २७. त्रेचाळीस नऊद्शांश

६. प्रकार तिसरा. विषम अपर्णांकास पर्णांकाचें, अथवा
भागानुबंध पूर्णाकार्चे रूप बयावयाचा

रीति. अंशास ठेदांने भागन भागाकार येईल तो पर्णाक

की

समजावा. बाकी राहिल्यास तो पूर्णाक व दुर हा अपूर्णांक मि-
ळून भागानुबंध पूर्णांक समजावा

उ. १ ल. अट ५ उ. ३ र. अष्ट ७

उ. रेरें. ४ २7१॥.१2-उ. ४ थे. २ 3९॥- ३३

येथे १ ळे उदाहरणांत “हः हे पेरू आहेत अर्से हटले, तर
१ पेरूचे सारखे ९ भाग करून तसले ९५ भाग अथबा ४५
फोडी घेतल्या आहेत, असा ह्या अपूर्णांकांचा अर्थ होतो. ब
ह्यास भागानुबंध पूर्णांकाचें रूप यावयार्च ह्मणजे ह्या फोडी
किती पेरूच्या आहेत हे काढावयाचे. हणून ४५ यांस र नीं
भागावयारचें. |

उपपर्ति.--विषम अपूणीकांत भंशापेक्षां छेद्‌ नेहमी कमी अ-
सतो हणून त्याचा त्यास भाग बरोषर जातो किंवा कांही एकं शेष
उरतात. शेष राहिल्यास त्याचा भाग पूर्णाकास जोडावा लागतो,
तेव्हां भागानुबंध पूर्णीक होतो.

अभ्यासाकारेतां उदाहरणं, घ॑

खालीं दि्लेळे विषम अपूर्णाकांस भागानुबंध पूर्णाकांची रूपे दे
ठी. ३१.१

की र वव
१9 ट१
् ०, त क. कड
शत -्दृ नु ५९० नटे उव ५७ "र्क
४, “६3 ११. १८२३ द. ८
क की वनवा रड
पय, १२ ४०७ ५१२ .>१२.७ १९ न १
> उद. क द
६. "९ भट अरज्प | १०, द
1. हि १४. "झप | २९१, “हो

$रै अंकगाणित.

१२. १५ पंचमांश. १३. ४० तृतीयांश,
२४. भकरा दशांश २५, बारा अष्टमांश
२६. एकशपचवीस नवमांश. २७. सत्तेचाळीस दाद्शांश.

3५. प्रकार चवथा. अपूर्णांकास पूर्णांकानें गुणावयाचा
रीति १ ठी.- दिलेल्या पर्णाकानें अंशास गुणावे
अथवा

राते २ री.---दिळेल्या पर्णांकानें छेदाळा भाग तुटल्यास
भागावें

उदाहरण १ ल्.--दे ह्यांस २ ह्यांनी गुण.
रीति लीप. 3<२ > ्ह
रीति ररीमभ, 32२८ "टे हें उत्तरं.

८-२

यथ ट हे रुपये आहेत, असे समजावें हणजे १ रुपयाच्या
८ 'चेवल्या करून ३ चवल्या घेतल्या असा या अपूर्णांकाचा
अथ होतो त्याभमार्णंच चेबल्या घेतल्या असाट्ह्या अ-
रणाकाचा अर्थ होतो. आणि ६-३ २ झणूनघ्हेटेचे
उ"पट भाहेत असे लक्षांत येईळ यावरून पणांकाने गणण्याची
उपपात्ते सहज बसे

उपपाचे.--एका माज्य राशीचे कांही समान भाग केले भाहेत
झशी कल्पना करा. झातां नागसख्या कायम ठेवन भाज्य दुप्पट
भगर तिप्पट केला तर प्रत्येक भाण दुसट अगर तिप्पट होईल
भाणि माज्य कायम ठेवन मागस ख्या [नमे अगर तृतीयांश केली
तरी प्रत्येक माय दुप्पट अपर पनपट्च हाइळल, हो गोष थोड्या बि
चारान कळणारी आहे. माज्य सापरुख्या ब एक भाग ह्यांनाच
भश, छद, च अपूर्णांक, ही नांवें दिलेला झाहेत, ह्यावरून

३८. अपुर्णाकाचा नियभ १ छा.-छेंद कायम ठेवन अंश
गणला किवा अश कायम ठेवन छद भागला, तर भपणांक
गुणळा जाईल.

उपप्चि २ री.--ए॒कं हा राशीचे काहीं समान माग कलेले

1.

व्यवहारी अपूर्णांक. $$

कल्पा, ञातां एकं हा रारी कायम ठेवन भागसंख्या निंमे भगर
तृतीयांश केली तर प्रत्येक भाग दुप्पट भगर तिप्पट मोठाला होईल,
भझाणि भागसंख्या दुप्पट झगर तिप्पट केळी तर, प्रत्येक माग निम्मे
भगर तृतीयांश हाॉइल

> पेरू असा अपर्णाक घेतल्यास ८ हा छेद्‌ ) पेरूच्या कि
ती फोडी केल्या हें दाखवितो. १ पेरूच्या ८ फोडी न करितां ९
केल्या तर प्रत्येक फोड पहिळीच्या २ पट मोठी होइल ब १६
केल्या तर निंपट होईल. उ पेरू ह्या अपूर्णांकांत, टे पेरू ह्मणजे
१ फोड. हें अपर्णपरिमाण ( माप ) अस्ते ब २ ही अपूर्णप-
रिमाणांची संख्या असते. ह्मणून,

१९. अपर्णपरिमाणाचा नियम.-एक कायम ठेवून छेठ्भा
गळा तर अपर्णपरिमाणाची तितकी पट होइल, ब छेड गुणला
तर अपर्णपारमाणाचा तितक्यावा हिस्सा होईल

अपर्णपरिमाणाच्या संख्येने अपूर्णांक दाखविला जातो, ह्या-
बरून संख्या व अपर्णपरिमाण ह्यांतून कोणाचीही पट केल्यानें
अपणीकाची पट होइल हे उघड आहे
उ. ररे. दे > रस्वेच्पदे. उ. इर. रणे ९3 ४३.
उ. ४ >४-३६-११३. उ.५वे. १४५६ ४ रेडे,
उ. ६ वें. १८ चार पैचमांश 5 २6वि न १४२.
उ, ७वें. १२ सहा तेरांश 3 पेड सवेत चवळ

२०, प्रकार पांचवा. अपुर्णांकास पूर्णाकानें भागावयाचा.

रीति १ ली.-दिलेल्या पूर्णाकानें छेढठाळा गुणाबें

अथवा

रीति २ री.-दिळेल्या पूर्णाकानें अंशास भाग वुटल्यास

भागावें.
उदा. ९ लै. दे यांस २ नीं भाग.
रीवि १ ली.म. दे: २ घर केळ हे उतर.
रीति र रीप, द २ व चे हई उत्तर

क्ट अंकगाणिंत.

डपपक्ति,--पर्पाचा भाज्य राशि कायम ठेवून मागसंख्या दु
प्पट अगर तिप्पट केली तर प्रत्येक भाग निर्मे अगर तृतीयांश हो-
ईल, आणि मागसंख्या कायम ठेवून भाज्य राशि निर्मे भगर तृती-
यांश केला तरी प्रत्येक भाग निम अगर तृतीयांशच होईल. हणून
पुर्वीचे नामनिर्दशावरून

२१- अपूर्णाकाचा नियम २ ख.-अंश कायम ठेंडून छेद्‌
गुणळा, किंबा छेद कायम ठेवून अंश भागळा, तर अपूर्णांक
भागला जाईल |

उपपत्ति २ री.--ही चवथ्या प्रकाराच्या २ र्‍या उपपत्तीच्या
आधोरें वियार्थ्यांनी सांगावी.

७ डा 9७ __ प्र क. र. 3 __ ६--२.... 3)
८4 पक ६७ होन

अभ्यासाकारेतां उदाहरणें. उ
१. इह ह्यास ९,१२,१८ ह्यांनी गुण ब ५,७,८ ह्यांनी भाग,
२. देटेई ह्यास ७,८,१६ ह्यांनी गुण व ८,२५ ह्यांनी भाग
३. हेरेड ह्यास २,२,४,५,७ ह्यांनी गुण ब ६,९ ह्यांनी भाग
४ हई ह्यास ७८,९१०, 9) ह्यांनी भागव ३, ४ ह्यांना गुण
७. पढे दिलेल्या अपणाकांचे छेद्‌ ४८ केल्यास त्यांचे अंश काय
येवील ? |
छे) झेड, |
&. पुढें दिलेल्या अपूरणीकांचे अश ६४ केल्यास छेदस्थानीं काय
संख्या येतील!
बन प न्य ज्ये > कुकू.
७. पुढील अपएणांकांत छत्षिसांश किती आहेत?
. सातबारांश; चारठतीयांश; पांचचतुथाश; सातनवमांश;
पांचद्वाद्शांश

र.
वर

”
| “५.
ह *

ह.
४)

१४७ कुक ० ब ह
द्र -. दृ र
८, पुढें दिलेल्या बरोबरीत सोडलेली संख्या मांडून दाखवा
वरून इता वृशेन र द मपेर दोर्स्क.

व्यवहारी भपूर्णाक, ६५१

२९, प्रकार सहावा. अपूर्णाकाला नेमलेल्या छेदाचे किंबा
अंशाचे रूप देण्याचा

रोति.-अश व छेद ह्या दोहाॉस एकाच संख्येने गणिठें
किंबा भागिलें तर त्या अपर्णांकाची किंमत बद्लतनाहीं. ह्या
नियमाचे आधारे नेमलेल्या स्थळीं नेमळेला अक आगावा.

उदा०-५ ह्या अपर्णांकाळा छेड १९ येईळ असें रूपदे,
आणि ईई$ च्या बरोबरीचा व १८ ह्या अंशाचा अपूर्णांक उ-
त्पन्न कर.

नेमलेला छेद १९ हा ७ चे २ पट आहे, आणि अंश १८

हा २९६ चा २रा हस्सता आह. हणून रांताभमाण

१५ _८५>८२_१० ट्ट

ठच

बरीळ.नियमाची समजत थोडक्यांत देतां येते ती अशीः--

र

1] | | | 1] ||| | |
शक ला
अपास्ून बपर्यंत अंतर ५ इंच आहे. आणि अपास्रन कपर्यंत
अंतर ९ इंच आहे. व अड हं अंतर १ इंच आहे. अब अंतर
१ धरल्यास अक अंतर डे होईल. आणि प्रत्येक अड अशा
१ इंचाचे ५५ भाग केले तर--
अक अंतर > ३ २ यण होईल. पण दोन्ही वेळेस
अक अंतर एकच आहे. हणून यज > य.
उपपात्ति.---इष्ट संख्येने अंश गणला, ह्मणजे अपूर्णाकाची ति-
लकी पट होते ( क. १७ ). नंतर त्याच इष्ट संख्येने छेद ग.
प्पळा ह्मणजे त्या पटीचा तितक्यावाच हिस्सा होतो (क. २० ),
अपृ्णीकाची कांहीं पट करून त्या पटीचा तितक्यावाच ह्र्स्सि

२५५८-४0 7

* मागें पेरू वगैरे एकं धरावे झगून सांगितलें. कधीं कधीं रेघांचा उ”
पयोग केला असतां समज़त कशी लवकर पडते हें वरील उदाहरणावरून
लक्षांत येईल. जथे जसे उपयोगीं पडेल तसे परिमाण घऊन मुलांची शि-
श्वकाने समजत करून द्यावी.

१६ अंकगाणित,

काढिळा, तर ह्या विरुद्ध कृत्यांनी मूळचाच अपूर्णांक भाला पाहिजे
ह उघड झाहे. अशाच रॉर्त[निं प्रथम अंश भागून मग त्याच भाज
कार्जे छेद्‌ भागिळा असतां अपूर्णाकाचा प्रथम हिस्सा होऊन नंतर
त्या हिरशाची तितकोच पट होते, हणून हाही दिरुद्ध त्यांनीं झप-
कारचा किंमत पूर्ववत राहते हे सिद्ध खाहे. ह्यावरून भझपर्णाकाचे
झरछदास एकाच संख्यने गुणिले अगर भागिले, तर त्याची कि
भत बदुलणार नाही हे उघड भाहे
उ० शर, उ३, क्व ईज्ह्या अपूर्णाकांना ४१२ हा छेद
भाणा,

आतां ४३१२-१२ ३६ सेणून वाह वरो हडळ;
त्से ४६२२ १६- २७ १ धि व उडे
ब ४१२-- २७२ १६ इज २ उउयेबहे, न ४३3६
उ० ४ थ. ३ ची ४ पट आणि हई चा ७बा हिस्सा ह्यां-
*्या किमती काढा.
काका

अभ्यासाकरितां उदाहरणें
१. उ, सेर व उट्टे द्या अपूर्णाकांना ८४ छेद येई शीं
त्यांच्या बरोबरीची रूपं या |
२. उड, इचे, वद्वच ह्या अपर्णाकांचा असा रूपभेठ करा
कीं, त्यांना ३२५ हा साधारण छेद यावा
३. ३७, इद, इव जये ह्यांना ७५६ हा साधारण अंश
येईल असे त्यांच्या बरोबरीचे अपर्णांक उत्पन्न करा
४. र, सेफ व देडेई१, ह्यांना अनुक्रम १३, २१, ब
२० हे छेद येतील अशीं रूपे दा
१४३, २५२ व १३८, ह्यांना साधारण छंठ १८ येइल
अर्शी विषम अपर्णाकांची रूपें द्या
६. ४४८, २३३३, ७३५६ व ९६ ह्या सर्वाना २९० छेद
येईल अशीं भागजात भपणांकाची रूपें द्या

व्यवहारी भपुर्णांक. ५१७

8
६५७ र १ 9३)
सेटे>ट८; मेघे>१३१; उव» १२; 0५३ > ७;

क्ट ऱ् १.
द्द दट डा
९-ज «१४७; ६२५ > ११
१ ळ १ 9 १४३
ष्ट क सिड ९; सर -<- ७; तेरे व) :: |, ४०४ "* १) १

दक री र वत णे.
व या अपणांकांत साठांश किवी आहेत?
0५. ३7. _ ५ 30 क ७: डॉ धड
वष! ₹०) व) द्व ब >

४) य
१५, पुढें दिलेल्या बरोबरींत सोडलेळे अंश ब छेद्‌ मांडून

ष्ज

दाखवा
- का 1] ९ कळना 1 विडी १ ५ -२ ..... लट
जक वव कड? वाडा उगेच त
१२ २८९८-१७-3७ वच ता वे,
आ हक ४-0 3 हट ह 6.3

२३. प्रकार सातवा. अपूर्णाकांस संक्षेपरूपें यावयाचा.

रीति १ ठी.- अपूर्णाकांचा अंश ब छेठ ह्यांस जो साधा-
रण भाजक असेल त्यानें भागावे. जो नवा अपएणक येईल
त्याचे अंश व छेद ह्यांस पुनः साधारण भाजकानें भागाबँं
ह्मणजे संक्षेपरूप येते. ह्याप्रमाणेंच साधारण भाजक आढळे-
नासा होईतवोपययत भागीत गेळें हणजे अपर्णांकाला अतिसंक्षेप-
रूप येईल.

उपपत्ति.---भ्षेश ब छेद ह्या दोहॉस एकाच संख्येर्न मागले
असतां ऱ्या अपूर्णांकांची किंमत बदुळत नाहीं, हे सहावे प्रकाराब-
रून लक्षांत भालेंच असेल. हणून बर सांगितलेल्या रीतीप्रमार्णे
केले हणजे दिलेल्या अपूणाकांची किमत न बदुलतां त्याळा
झतिसंक्षपरूण्ही देतां येतें

उ. $ऐउेद ह्यास अतिसंक्षेपरूप यावयाचे

रीति २ री.-अंश ब छेद ह्यांचा दढभाजक ( साधारण अ-
बयवांचा गुणाकार ) काढून त्यानें ते भागून एकदम अतिसंक्षे-
परूप दयावे.

ह्या रीतीर्ने रुत्य फार लांब पडते, हणून लोक हढभाजक

ष्ट अंकगणित.

क्हुटण्याच्या खटपटीत बहुधा पडत नाहींत. परंतु एखा्या अपू-
णाँकास आतिसंक्षेपरूपच याबयाचे असलें ह्मणजे, तेथे हढभा-
जकाचाच उपयोग करितात. उदाहरण उ£-३३ ह्याचे अंशव
छेंठ्‌ ह्यांस १92 ह्यांनी भागून उडे हें आतिसंक्षपरूप येतें, परंतु
ही भाजक संख्या हृढभाजक काढल्याबांचून समजणें कठीण
हणून अशा ठिकाणीं हढभाजकच काढावा ळागतो.

उ. २ रे. ३2े2ेडे ह्यास अतिसंक्षेपरूप यावयाचें.
आतां ४११७ आणि ९४८७ ह्यांचा इढभाजक १७९ आहे.
हणून १७९ ) डेक न चेडे हे उत्तर

अंश ब छेद ह्यांचा हृढभाजक ५६७४ आहे. ह्मणून
3

अभ्यासाकारतां उदाहरणें. छ.
पुढीळ अपूर्णाकांस संक्षेपरूपें या

» शे. हे. रे. सेड. ५३टे'
६. वव री वर द. वि ९. कोट
१०. पंधरा एकविसांश. ११. बेचाळीस त्रेसष्टांश

पुढील अपूर्णाकांस अतिसंक्षेपरूपं या

१२. उददईेठे? इेवउंटे! करव 1 जेऊर:
9४. झेळ्वेह्ेः वरडण जेवणिपेा उेईषये'
३४. उडे, इला शड पपेट,
३६. झंड्टर? अर्भक? सेशेरे

बड 0 0 च क

१८. . पैटेदरे,. डेईळड रेहेपेप

१९. झेऊंबेईा शडस्तक; शेवरेटेचे'

२०. अडतीस सत्तावनांश; बाबन अड्याहचरांश.

पिजजवययखयखय्ख्प्य

व्यवहारी अपूर्णांक. | 9९.

२४. प्रकार आठवा. पभागजाति अपूर्णाक्रास भागजाति
अपूर्णांकाचें रूप यावयाचा.

रीति.-सर्व अंशांचा गुणाकार अंशस्थलळीं लिहावा, आणि
छेदांचा गुणाकार छेदस्थलीं लिहावा, हणजे इच्छिलें रूप थेईल.

उ. १ ठे.-$ंचे दे ह्या प्रभागजाति अपूर्णांकास भागजाति
अपूर्णाकाचें रूप ठे.

| ठे चे ये बर्द हें उतर.

उपपात्ति.---डे चे दे घ्यावयाचे हणजे उ हाची टॅ पट घ्याव-
याची, हणजे 3 हांच्या ४ पटीचा ५ वा हिस्सा घ्यांवयाचा.
आतां चबथे प्रकाराप्रमाणे, जितकी पट करायाची तितक्यांनीं
अंशास गुणार्वे असें भाहे, आणि पांचवे प्रकाराभमार्णे जितक्याचा
हिस्सा घ्यावयाचा तितके पट छेद वाढवावा असें आहे, हणून
बरची राति अंशांनी अंद गणावे आणि छेदांनीं छेद गणावे भशी
निघाली. अथवा टे चे ट्‌ चाचा अथ > चे पंचमांग ४ असा होतो
हणजे 3 ह्या अपूर्ण एकंला ५ नीं भागावें आणि मागाकाराची ४
पट कराबी असा होतो. हीच कांति बरील रीतांत सांगितली आहे

२५. सूचना १ ली.-- चा, 'चे यांनीं जोडठेल्या अबथबांत
भागानुबंध पूर्णाक अगर नुस्ते पूर्णाक असले, तर त्यांस प्रथम
विषम अपूर्णांकांची रूपें यावी, आणि मग वरील रीति लावाबी.

उ. रर. र्ह्रेचे५चे३३- ह्या प्रमागजाति अपूर्णांकास
भागजाति अपूर्णांकाचें रूप दे

स.म.स्टेचेषचेशरेस्छ्चे$चे र्ट
ऱ >£ :- ९४टटे हं उत्तर

२६. सूचना २ री.--पभागजाति अपर्णांकांत कोणताही
अश व कोणताही छेद ह्यांस संक्षेप गेल्यास यावा ह्मणजे अ-
विसंक्षेपरूप येईळ

उ. इरें. जे चे ई चे ह्यास भागजातीचें रूप या

> 3 ही ।
घ.प. >ेचेद्र्चेकॅरच्जेचाडेचेचे

श्5 भंकॅगाणित
र उेयेगेटरे > ये १ हे उततर.
उ. ४ थें. २॥ चा .. चे ४ ह्या प्रभागजाति अंपूर्णांकास
भागजाति अपणीकाचे रूप ठे
हा प्रभागजाति व्यवहारी अपर्णाकरूपानें लिहितां,

शश £. 2 १५9१9 ६१५
रचा ति वा ता

म ऐेऊे% - २३६७ डं उचर

टीप १ ठी.- ठरे चेक याचा अथ उची द पट भसा
होतो. कोणत्याही भभागजातीचा असाच अर्थ व्हावयाचा.
ह्याबरून प्रभागमजातीचा एक अवयव परिमाण किंवा गुण्य दा-
खबितो, दुसरा अवयव संख्या किंबा गुणक दाखवितो, आणि
चा, चे, हे बर्ण < ह्या गणनचिन्हाचें कार्य करितात, असें ह-
टले पाहिजे

टीप २ री.--परिमाणपरिमाणांचा गुणाकार संभवत नाहीं
ह्याबरून परभागजातीमध्यें एकच अवयव परिमाणबाचक संभ-
बेल भर्थात्‌ बरच्या चवथ्या उदाहरणांत २॥ हे रुपये असले,
तर ** व ४2 हे भावसंख्या दाखविणारे असले पाहिजेत

अभ्यासाकारेतां उदाहरणं. ज.
| नु प्रभागजाति अपूर्णाकांस भागजाति अपूर्णांकांची

&-प
1.10.

* २. टचे

२रेचेदेचे७३. १०. हचेटंचे७र' |
१९. दये *चरचेध्टे. १२ उ3ेचेर>चा) श्‍ेळ्वे)
१४. वरष्चेश्‍वचे वे ७. ५१५ टचे घहैचेडे
१६. दचे १ ३चे ५ चा टे. १५७. १३चे
१८. ३*चे २२ चेडेचे उण. १९. कत चे रहेचेडेचे१०३.,
२१. २॥चे३॥वचे स्देचे७ २१.५ चेर-चेर
११२.१२-चेल्न्चे "चे ५०२४.) चाटचा)चा८-,

र्ता स््
2 ल्य
० “४४
तूळ

व्यवहारी अपूर्णांक, श्$

२४.५7 चे रेचे७।. ९२५. “-चा”“-चा”८चे ५.

२७. प्रकार नववा. मिश्र अपूर्णाकांस भागजाति अपूर्णांकार्चे
र₹*प द्यावयाचा

रीति.--अंशाचे अंश आणि छेदाचे छेद यांचा युणाकार
उअेशस्थानी लिहावा, आणि अंशाचे छेद आणि छेदाचे अंशी
सथांर्‍चा गुणाकार छेदस्थानीं लिहावा, झणजे मिश्र अपूर्णांकांस
भ्ाहागजाति अपूर्णांकाचे रूप येते. जसें.--

उदा. १ लै. - फम च्तेईऱहे हे उचर

उपपर्नि.--या उदाहरणाचा अथं उ ह्यांस दू हयांनी. भागान-
य्याच्य असा आहे. आतां टॅ चे ५ पट ४ आहेत हाबरुन हे स्पष्ट
अयाहे का 2 हांस * च्या पंचमांशांमी भागण्याबद्वूलळ नुसत्या *
म्वईच्य जर भागळ तर भाजक ९ ह्या छेदाइतके पट मोठा घेतरा
च्नाईंड, हणुन भागाकार यावा त्याच्या पांचव्या हिश्शाइतका लहान
च्येईल हणन पहिल्यानेंच > हांची ५ पट केढी भाणि नंतर त्यास
* गी भागले हणजे अपूण'काचे किमतीत फरक पडणार नाही.

१८, सुव्चना--सातवे प्रकारावरून असेही लक्षांत येईळ कीं
मिेश्व अपर्णाकाचे अंश व छेद यांत अंशाभंशांत ब छेदाछिठांत
स्पंस्तेप गेळा असतां बेळाशक यावा

८०.0.
उ. "पा ४७४ 71१०१ ८*
ण्ष खु
2 शट
ट्या मी
उ. ३२. ८-5 2११? ३४७> १३४
ध्द 1 डं
प क करी 0. पै द
100 य य 0 0 क यी
डाळीत १०) "क ३ ३ २५३८
घ्‌ च्‌ ऱ्ऱ बृ
ट्‌

का अ कक

णजे दिलेल्या अपूर्णाकांची परिमाणे सारखी करण्याचा
रीवि.--अतिसंक्षपरू्पी अपू्णाकास लघुतम समच्छेद्रूपे
केणे असलीं तर त्या सर्वांच्या छेदांचा ल. सा, भा. अवयव्रू-

शश भंकगणित,

पांत काढावा. त्या अवयवांतून प्रत्येकाच्या छेदाचे अबयव व-
गळून बाकी अवयव ज्याच्या त्याच्या अंशछेदांना गुणक द्यावे
ह्मणजे सर्वांच्या छेडस्थळीं दो ल. सा. ना. येऊन ते छेद स-
मान होतील.

> ब उरे ह्यांना लघुतम समच्छेदरूपे

४>३॥ ६-१) - ४-०, .. छे. ल. सा. ना. 2३-२"५-७

ह्यांतन ८ चे अवयव ९-२ हे वगळतां ३"५"५७> १२५ हा
पहिल्या अपर्णांकाच्या अंशळेदांना गणक आळा. ह्याप्रमाणं
दुसऱ्याच्या अंशछेडांचा गुणक २५-७२ ७० भाला, तिसमऱर्‍्या-
च्यांचा ४२०५-५६ आला. आणि चवशथ्याच्यांचा ४२४२
' भला, झणून रूपांतर पकार & पमाण

जं ६७४५५ __ ७९0 ७
दट कव्चकटडव)
११. पचे २८१0 -- र>- :
'वृकणापै€ ”*उ5 ण टाडा?
ह. क्ट 3 ८, ७. डड टी,
वषा वजय 0 दबव!

५७. 0 ७.» 0 _.. ८.८ ८

उपपार्ति.-- दिलेल्या अपूर्णांकास ळघतम समच्छेदुरूपे दुणे,
हाचा अथे त्या अपूर्णीकाच्या किमती पूववत्‌ राखून व त्यांचे छड्‌
राखवतील तितकं लहान राखून सम ( एकसारखं ) करण, असा
आहे. ह्मणजे तें झपूर्णाक लघुतम सम ( साधारण ) छेदाचे कर्णे
असा आहे

अपणांकाचा अंश व छेद द्या दोहीस एकाच संख्येने गणले, तर
स्या झपर्णांकांची किमत न बदुलतां त्याचा छंदु बदलता यता
ह्यावरून हाच रौतीरने बेगळाल्या अपणोकांच्या अंशछेदास बेग-
ळाळे गणक देऊन, त्यांना मूळच्याच किमतीची समच्छेदुरूपे देता
येतीळ हे उघड आहे. झा र्पांताल लघतम समधच्छेद हा पत्येका-
च्या ळेदाची ढघतमपट असाबयाचा, त्याअर्था तो सवांच्या छे
दांचा ल. सा. भा. भसठा पाहिजे. हणून द्लिऱ्या अपर्णाकांच्या
दांचा ल सा. भा. काढण्याचें वरील रीतीत सांगितळें आहे.

व्यवहारी अपूर्णांक. शड

दुसरे, ह्या ल. सा. भाज्याच्या अवयबांतून एका भपूणाकाच्या
छेदाचे अबयव वजा केळे हणजे जे अवयव बाकी राहतात, ते
त्या छेदाच्या कितीपट हा ल, सा. मा. आहे हे दासवितात. ह्य
णून ह्या अबयबांच्या संख्येने त्या अपू्णाकांचे अशछेद्‌ गुणळे अझ
सतां त्याची किंमत पूवबत्‌ राहून, त्याच्या छेद्स्थळीं हा ल. सा..
मा. येक्षेंल हे उघड आहे |
तिसरं, उदाहरणांतील अपूर्णाक जर अतिसंक्षेपरूप द्ळेळे
लसले तर त्यांच्या अंशळेदांतले जे साधारण अवयव ते छेदांच्या
ल. सा. माज्यांत राहतीळ, यामुळें त्यांना ढघतम समच्छेदुरूपें ये-
णार नाहींत, नसती समच्छेदुरूपें येतील. हणजे त्यांच्या छेदुस्थळी
त्यांच्या भातिसंक्षपरूपांच्या घतम समच्छेदाची त्या साधारण अ-
बयवधाहतकी पट येईल. उदाहरणार्थ, --ब ३ई हे भपूर्णाक, आणि
३ व ही त्यांचीं अतिसंश्षेपरूपें, ह्यांना वरील रीतीनें समच्छेदुर्र्न
देऊन, त्यांना येणारे छेद्‌ तपासून पहा. असा प्रकार हरएक उदा-
हृरणांत घडावयाचा, ह्मणून लघुतम समच्छेद्रूपे देण्याला अतिसं-
श्लेपरूपी अपणांक घ्यावे अर्से वरील रीतींत खुचविले आहे
३०. सूचना १ ठी.-- पहिल्या अपूर्णांकाला छेद येईल तीच
पुढीळ अपूर्णाकांना मांडीत जावा, ह्मणजे बेरेच गुणाकार करणे
टळतील

३१. सुचना २ री.--अपूर्णांकांचे छेद्‌ सारसे क्षाले ह्मणजे
7 हें अपर्ण परिमाण (माप) सर्व अपूर्णांकांस एकच होर्वे,

ह्मणून ज्याची अंशसंख्या मोठी तो अपूर्ण राशी मोठा, व ज्या-
"ची अंशसंख्या लहान तो अपूर्ण राशी लहान, असा अंशांच्या
संख्यांवरून अपूर्णांकाच्या राशींचा लहानमोठेपणा कळतो ब-
रीळ अपर्णाक हे प्रथम लहान व पुढें मोठा असे मांडले तर

3३9 अट . १७१५७८७ .
टं ड््ट १) ४०१ ८४० ब स४व् १

ह्मणजे टु? वण? ४१३१ न वश!
असा त्यांचा क्रम येतो. ह्यावरून दे हा सर्वात लहान ब
हा सर्वांत मोठा, भसे ढरत

ी अंकगणित॑.

३१. सूचना ३ री.-भातांडरेव ड्रेहे समान अंशाचे अः
पूर्णांक पहा. २ > २* ३ व डर - ३ ठे आहेत. ह्या दोहहो-
च्या संख्या समान आहेत, तरी पहिल्याच्या दितीयाश) ह्या परि.
माणापेक्षा दुसर्‍यार्चे * चतुर्थांश ? हे परिमाण लहान आाहे ह्मणून
पहिळा अपूर्णांक मोठा व दुसरा लहान आहे असे ठरतें. ह्यॉ-
वरून अपूर्णाकांचे अंश सारखे केळे तर ज्याचा छेद लहान
तो अपूर्णांक मोठा, व ज्याचा छेद मोठा तो अपूर्णांक लहान,
ह्या घोरणार्ने तेही क्रमाने मांडतां येतील.

रीति २ री.-र्‍भत्येक अपूर्णांकाच्या अंशच्छेदांना त्याखेरीज
अपूर्णाकांच्य़ा छेडांनी गुणावे, ह्मणजे सर्वांना समच्छेदुर्रप
येतील.

उदा० >, च $, ह्यांना समच्छेदरूप देणे.

ह्यांना सर्वाच्या छेदांचा गुणाकार हा साधारण छेड आण-
ण्याचे ठरवून, प्रत्येकाच्या अंशळछेठांना इतरांच्या छेदांचा गुणक
दिळा, तर रुपांतर प्रकार ६ पमाणे अर्से येते की, --

ी र काक च

च २ जट | भ्र .. ७७
४०" च ४७५ "१
७ 0 ४५१६ 07 १०७
६. ... > ६1» __. ९९
व फं * वं ा वळ्चछ,

३३. सूचना.-र्‍दिलेल्या अपूर्णांकांच्या छेदांना साधारण
अवयव नसळा तरच ह्या रीतीने त्यांना ठळ. स. र्पॅ येतील,
पण त्यांना साधारण भवयव असला तर त्या अपुर्णाकांना नु"
संतीं समच्छेंदरूणें थेतील. झणजे छेठाच्या ल. सा. भाज्याची
पट ही सर्वांच्या छेद्स्थळीं येईल.

अभ्यासाकारितां उदाहरणें. ज्ञ.
पुढील अपूर्णांकांस सम च्छेड्रूपें या.
32. जाद डू

१2 ऱ्ह
१ जै य ' खै ऊ २. द्व डझ?१ जळ) दरक"
ऱ र बज च ा -)
१ शो? दट ४. रु* रं कंद देटे*
१ ७, १५, 339, ७. ह. १3३,
७. इ*१ के? बट १ र ६. दृ१ द* हे! इट

व्यवहारी अपूर्णांक. २१

ह

पुढाळ अपणांकांस लघुतम समच्छंद्रूप या
गज ११ १ १६ २
क... मत. आदत कती चितेत.
टॅ य्‌ व १६ क. वड 9
८ कोळे. करके इ टे कट
भां जं ॥ १७ डी ११७
दु. क दती. वचत. त हट न्य
१9 9 २१ टी र
११. टँकर दडे है? वष ह डेट
"9 ८. ११ १०. 7८
५१, ग १ पुढा) डोज दट. छै १ ट्ट
ध्‌ [टं ह्‌ १ '३
:॥& डु! तट ४७१ १ ४८
च 4 1.7 २9 ं टॅ | । डु “>
५२३ १६१४7 त्रोा कढ! ट्र॥* १ ९५८,
डा १ चु ठा २
१४. ३.५ ५९१ द रेड टर)

१५, रेट १ शेदुण! रडु! ७० ५-? ४च

ऱ्ह
१६ अपूर्णांक मोठा कोणता उर का ५९--८ ?
1 न्न्टॅ 0
२ टी रके १९६--८ क
पुढीळ संख्या मोठेपणाचे क्रमाने मांडा.
दे. ९ १३. १५ १३7०-१0
१७, 5१ इय वे पजादय 3८.१०) १६ व वजय
1. प द ली
१५९, ८7१ ७ )* ल 7१ ४४३ | १०
पुढच्या संख्यांतीळ सवात ळहान व सर्वांत मोठा ह्या
संख्या सा कका
९. १ व 0. त्त ६, ३५ हेऊेः डप
१९, ९४ १ ७५७१ भक न टेडे'
२३ . व २ यांच्या मभामन किंमतीचा ब ८९ ह्या छ-

: आणि दै व उेई हयांच्या मधासमत किम
किती ते दाखविणारा अपूणाक काढा

२9. सट, देवे भव ८ ह्यांपकीं मध्यम किंमताचा अप.
२५ हे रॅ टे डोर. ३3) ह्या अपूर्णाकांना लघुतम समा”
अंशांची रूप ठेऊन तीं मोठेपणाचे कमान जुळा

टनी सतचच री वि क

व्यवहारी अपूर्णाकांची मिळवणी
३४. रोख्यांची नेरीज किंबा वजाबाकी करितां यण्याला त्या

१६ अंकगणित.

संख्यांत साम्य असावें लागतें. चार रुपयांत ठोन पाबळे मिळ-
बन त्यांची बेरीज सहा रुपय किंवा सहा पाबळे हणतां येत
नाहीं. चार रुपयांचे १३६ पावळे करून नंतर त्यांत २ पाबळे
मिळवावे, तेव्हां १८ पावले हीं त्यांची बेरीज येते. |

व्यवहारी अपर्णाकांत तुकड्यांची ह्मणजे अपूर्णांकांची बेरीज
किंबा वजाबाकी करणें असते; ते तुकंडे एका जातीचे ब एका
मानाचे असळे पाहिजेत. एका रुपयाचे ४ तुकडे करून त्यांतून
दोन घेतळे, आणि ८ तुकड करून त्यांतून दोन घेवळे, तर हे
दोन प्रकारचे तुकडे सारख्या मानाचे नाहींत. तुकडे सारख्या
मानाचे असण्यास छेड एकसारखे पाहिजेत.

२ सप्तमांश आणि ९सप्तमांश यांची बेरीज ७ सधमांश असें
ह्मणतां येईल. परंतु ३ सप्तमांश आणि ४ नवमांश यांची बेरीज
७ कांहीं तरी अंश, या बोलण्यांत कांहीं अर्थ नाहीं हणून,

रीति.-- दिलेल्या अपूर्णांकांस समच्छेद्रूप दयावे, नंतर. अं-
शांची बेरीज करून ती अंशस्थानीं लिहावी, आणि विच्या
खालीं समच्छेद्‌ लिहावा हणजे ती मिळवणी होते.

उ० १ ले. दे आणि २ ह्यांची बेरीज करा

ह्या उदाहरणांत दिलेले अपूर्णाकांचे छेद सम आहेत ह्मणून

दै चेय्येहे उत्तर
रं डे आणि र्‌ ह्यांची बेरीज करा.
ती 82 > >>२हेडे हे उत्तर.
३५५. सूचना १ ली.- उदाहरणांत कांहीं भागानुबंध पर्णांक
ब कांहीं नुसते पूर्णाक असळे तर पूर्णांक व अपर्णाक ह्यांच्या
बेरजा वेगळाल्या करून मग त्या दोन बेरजा एकत्र कराव्या.
उ० डेरे, र्देसा श्वव्ना एवदरया ४

न्रेन-रशेनस या शेनचाचे पवकरस के
प्न ६770 ४-->_'-

१४ र्क १४१६2
& १५३ हे उत्तर,

क शं

व्यवहारी अपूणाक. ३७

३६. सूचना २ री.--उंदाहरणांत॑ विषम अपूर्णांक अंसल्यास
त्यांस भागानुबंध पूर्णाकांचें रूप यावें; व प्रभागजाति अपूर्णांक
असले तर त्यांस भागजाते अपर्णांकांचें रूप यावे, आणिं मर्ग
समच्छेद करून मिळवणी अथवा वजाबाकी करावी

७

उ००९ थे. 33>--डेचे 3€-- स्ट्रेचे रववचे टना.
न्१षटेस्ठेनाशेट्रेस-५.

१९स३स्५स्टेनडेनडे
क नन टेट

न ररे) च्ट्े

न. २२4४ ह उत्तर

३७. सूचना ३ री.--उदाहरणांत कांही रेघांचे भपूर्णांक अ-

सल्यास अवश्य असेल तर त्यांस व्यवहारी अपूरणीकांर्चे रूप यावें

उ०५व. ९॥-- ७ २ ऊं २२९--३
ह उत्तर

बरीळ उदाहरणांत अंशांची मिळवणी करून विच्या खालीं
समच्छेद लिहीत आलो, ह्मणजे संख्यांची मिळवणी करून
तिळा साधारण परिमाण गुण्य जोडीत आलों. प्रभागजातींतीळ
अपर्णांक हे संख्या व परिमाण हेच अवयव ठाखवीत असतात
( प्रकार ८ टीप पहा ), ह्यास्तव,

३८. सूचना ४ धी.- प्रभागजाती अपूर्णांकांची मिळवणी
करणें असून त्यांत साधारण अवयव असला, तर असाधारण अव-
यवांची मिळवणी करून तिळा तो साधारण अबयव गुण्य जोडावा.

उ. त्रेचे दे आणिऊेचे ऊं ह्यांची मिळवणी करा

ह्या उदाहरणांत ३ हा अवयव साधारण आहे. ह्मणून,

चे येस चे पनसडे(वनड)

म डे ( डप उप)
नेते

शट भंकंगणितं.
अभ्यासाकरिता उदाहरणें. ज.
पुढील अपूर्णांक मिळवा.

१, पेसा अना डैसप-ऱडे . रै: हे टे? वह उक

३. हे झेणदे वरे. ४. हेण ट्रेण्ड

५. शडे वपिप पटे घडे, ६. हेकट करे.

७, देवक वसे ८, वळेपिकेचै्शपैनर्ह,

अपूणांक ब पूर्णांक हे वेगळाळे मिळवून पुढीळ बेरजा करा

९, श्रम ऊंटेपी वप यचेन हेर ररे-- पेस टेन ५
उ

छि
]७9
या

$० सेदैचा रे सावन शे :]
१9, प टेणदृणीवकर रण रेववा खण पैरयप्धण २ेड्यवक'
१२. देडे सावेपेसा सडे क्क नड
१३. १७ या केला पपव्पा ठे ण
१४, कश कणवदरेडेटेयर रेचार उेडेन-श्‍स्टेन-४३ ६.
पुढील बेरजा भागानुबंध प्रण
ठेऊन करा
१५. पट्रेसचे चे ७३ टक्क: ठेस७केस्टेचेडेचे१०
१६. रेट्धेचेश्‍ेजन दोरा रेसेचेशटेचे) टेन ४उेचेभसचेर2चे१
१५७, राचे नपरेप्ज्देचे शास-
१८, १)" चा८---डड्रे--घ्टे--६.
१९, ५ ना रोळस-इट्रेल-जेरे
पुंढील बेरजा असाधारण अवयव कंसांत मिळवून करा
२०. जच: चे २) व चे रे) चे चेसूब चेरटचे£.
२9, पव्चड: एत्चाडवपटेचेड; १२ूव्चेटेव) २-७
१२, ५ संकांचे द ५सकांचे हव५सक;७चे 3 भे
७चेर,७चे उर्वे७ |
पुढांल पदावळी सरळ रूपें देऊन सोडवा

पैच्च प रचे

व्यवहारी भपूर्णाक, १९

म २३या१३ 'ऐचेऊ चेक १३ चाक
१ टचेरे छंचा पे क1ेचेरडे शे३चे स]

ता १संचापवव , कतचेपछे १ऐेचेवद , ३४ चे शव |

रट - --ऱ-
रव्वचायचे उड्चाे टदचेइई १रेचेपरच
९६. एका मनुष्याने एका दुकानाचे र , टे, > व असे

भै
वेगळाल्या वेळीं वेतळे, तर त्या दुकानाचे किती कितवे हिस्से
त्यापा्शी जमले!

व्यवहारी अपूर्णांकांची वजाबाकी.

९९. रीति.--मिळवणींत सांगितल्पाप्रमाणें दिळेळे अपर्णांक

छेद करावे, आणि मग जोध्य ( मोठ्या ) अंशांत शोधक

( लहान ) अंश वजा करून बाकी राहील विच्या खालीं सम-
च्छेद लिहावा

सूचना. -- मिळवणी दिलेल्या सचना येथेही ळाग कराव्या.
उ० १ ठे. दू आणि € ह्यांची वजाबाकी करा.
रीतीपभमार्ण. द-येस्टे हे उचर.

३
यथ ३ ह्याठून ४ वजा जात नाहाव झ पणाकांताठळ ब-

जाबाकांत हातचे घेतों त्याप्रमार्णे पर्णाकांपेकीं एक परणक ह्मण-
जे £ अपर्णाकांत नेळे. तेव्हां

पले द वरि र जिकद ह ततर
उ० ५वे. ६-४डेच२-डे १5: |
उ" दवे. येचेररेचे१६-पचेचे५रस८-७$

. भंकगणित,

उ० ७ दे, इहे ह्यांतून रह व देह ह्यांची बेराच वजा कर,
हे पेर देईन ईई नक हे उत्तर.
उ५० < वें. भोसरीच्या जमिनीपासून तक्तपोशी ९टे फूट उंच
झाहे, आणि अंगणाची जमीन २ऱे फूट खोळ आहे, हझावरून
भंगणाची जमीन व तक्तपोशी ह्यांमध्ये अंतर केवढे आहे !

- येथें उंची व सोली ह्या एकमेक्षींच्या उलट दिशा दाखविणाऱ्या
हणजे विरुद्ध संख्या आहेत. हणून उंची -- चिन्हाने दाखविली,
तर सोली -निन्हाने दाखविली पाहिजे, झसरीच्या जमिनीची
उंची खोली शुन्य कल्पन तेथून ह्या विरुद्ध मोजदाती केल्या आ-
हेत, म्हणून तक्तपोशीची उंची ०-- टे फूट, व अंगणाची सोली
० - २३ फूट असें होते. ह्या दोन अंतरांची सचिन्ह मिळवणी
केली तर.

५ना९टन-०रेट्रेनन७सस्ऊई
हें भंगणापासून झोसराची उंची व ओसरीपासून तक्तपोशीची
उंची ह्या दोन उंच्यांमधील अंतर थेईल, हणजे एक उंची दुसरी.
हून किसी मोठी आहे हे समजेल, पुनः ,

(०-रटेफूट)-(०-९६्र)-१२९ फूट.
ह्याचा अर्थ आपण तक्तपोशीवर उभे राहून साळी वांकूल दोन्ही
अंतरे मोजलीं क्षणून तीं दोन्ही- टे फूट व - ट्रे फुट अशीं
लिहिलीं पाहिजेत, व -१२ फूट ह्याचा भर्थ तक्तपोशीचे खाठी

१२ फूटावर भंगण आहे. पुनः ,

(०--९ट्रेफूट)-(०- २३ फूट) १२ फूट,
ह्याचा अर्थ आपण अंगणांत उमें राहून मान वर करून ओस-
रीची उंची व तक्तपोशींची उंची मोजली ह्मणून जी उंची आपण
झोसरीवर उभें राहून खालीं मोजल्यामुळें -२2 फूट अशी मांडिली
होती ती भषातां त्याचे विरुद्ध द्शिनें मोजली आहे हणून ती
भाता -- २३ अशीच मांडिली पाहिजे. व 3३२ फुट ह्याचा भथ अंग-
णापासून तक्तपोशो १२ फूट वर आहे. हणून वरीळ प्रश्नांत अंग-
णाची जमीन व तक्तपोशी हझ्ांमध्यें भंतर केबरढे ञाहे ! ह्या प्रश्षा-

व्यवहारी अपूर्णांक, ३९

थी उत्तरे दोन होतील -- ५९१ - १२, दोन्ही उत्तरांचा अथे
बरतीं स्पष्ट करून दाखविळा आहे.

४०. सचना २ री.-धन व कण हीं चिन्हें संख्यांच्या ज्या
विझुद्ध प्रकारांची दुर्शक ठरबिलेळीं असतील, त्यांच्याच धोरणानें
त्यांचे अथ लावावे.

४१. सूचना ३ री.-दिलेल्या संख्यंत घन अगर कण जो
संख्या बजा करणें असेल, तिर्चे चिन्ह द्शिच्या धोरणाने वद्‌ठून
त्या सर्वांची सचिन्ह मिळवणी करावी, झणजे उत्तर येईल.

मजपाशी आज 3 हजारांचो इस्टेट आहे. माजे २ हजार ढो-
काकडे येणे आहेत, च मठा १ हजार देर्णे आहेत, मिळून ( किंबा
एकंदरींत ) मी आज * हजारांचा मांळक आहे. अस रली
बार्क्य आपल्या बोलण्यांत वारंबार येतात. त्यांमर्थ्ये * मिळून '
किवा ' एकंदरींत ' ह्या शब्दाने जी मिळवणी दुर्शविली जाते तीच
निळवणी वरील सूचनॅत ' सांचिन्ह मिळवणी ' ह्या शब्दांनी
दर्शविली भाहे.

अभ्यासाकरितां उदाहरणें. ट.
पुढील वजाबाक्या करा.

१. £>-$ पेटे वचा हेणडे

१. इंट्रे -१३ इटे - २४७ ५7 सडे; १९दैण हेते.

४. १ दे; ९7 २इपा ९७३ 7 ऐट; पव 7 रेईेप-
४. 1) २्ज्पा २-वेण; ४६५ ३व््ा २्- वव २४३४ २) डड
५. १ यार्ड १७उफाशो श्‍्दीडेचेड वळायचे कव

६. १डे चे ररे - रेवडी ५३ेचे ४३ - ३ेडेचे शस.
पुढीळ बजाबाक्या शोध्याच्या पूर्णांकांतून भर घेण्याच्या यु-
क्तीने प्रथम करा, आणि मग शोध्यांत व शोधकांत समान हो
तेच मिळविण्याच्याही युक्तीने करा.
१२ रण्डे १टटक एट २रकके १०८ ६कळ
पके वस 1रेइढे रेकडे डर पेडेठे

चुर आ. ठत

७,

€/३

अकगणिताच्या पहिल्या भागांत पदाबळीव कस? ह्या प”

-.. अंकगणित,

करणांत दिलेल्या नियमांच्या आधाराने पुढच्या पदावलींतल्या
बेरजा व बजाबाक्या करा
द. इट्रेणा टे - रेच १ष्टे 7७रेडेला १००१९६३.
९.्ये-स्ट्रें- दती ने १ ६फ्रेसा ऐेवक गर.

ही > डं
१०. ५ - र्‌: दे -७४८; न - घटे.

आ.

१9. ५॥ चे टया -रशचियेनाडण रीळ.
१५. २३३ -र्ट्रे ला पयेंचडूच१०

प

१७ "७-०. *२ख् न््पुव्टी

ककी
०८ १७
0

“009
1 की 0 “४

ध्य
४४
६-0
११104
क्या
छेड १?
|
रती त 0
“पाळ
न्न]
1

पुढील प्रश्न पढावलीच्या रूपांत मांडून त्यांची उतरे काढा

३७. वळ, इंड, उंद वयेट्टे ह्यांपेक्ता महत्तम व लघुतम अप-
णांकांची बेरीज ही राहिलेल्या अपूर्णांकांच्या वजाबाकोपेक्षां
किती मोठी आहे?

शट. टे, उव व इं ह्यांच्या वरजव काणता लवुतम अपूर्णांक
मिळवावा झणजे वेरीज पूर्णांक होइल!

५९, २५३ व १६६० ह्यांच्या वेरजंत १८4 व ५करुह्यांचे
भतर वजा कर |

२०. ठे चे उन्चे द्दे हे टे च ट्रे ह्यांतन वना करा; आणि
द चे 2१७२॥ ह्यांत बजा करा

$ ह्यांचा बेरीज ४३ ह्यांतून

२२, ३३ -- ९९ -५३ ही संख्या ८०३६ चे २वक ह्या संख्ये-
पेक्षां केवब्याने लहान आहे!

व्यवहारी अपुर्णाक. ३३

व्यवहारी अपूर्णांकांचा एणाकार.

४२. गणणं याचा अर्थ आवृत्तींची मिळवणी उत्पन्न करणें
असा आहे, ह्मणजे गुण्याच्या गुणकाइतक्या आवृ्तोंची बेरीज
आणणे असा आहे. उदाहरणाथ ऊेना दे नीं गुणणे ह्याचा
अथ 5 च्या दे आवृत्तीची मिळवणी उलन्न करणें असा होतो
ह्यावरून ७३% चे याचा अथ ऊं चे दे काढणें असा होतो. ऊं चे
दै हे रूप प्रभागजाति अपूर्णाकाचें आहे. ह्यावरून दिलेल्या
गुण्यगुणकांचा गुणाकार करणें याचा अर्थ ते गण्यगुणक जो
प्रभागजाति अपणाक दाखवितात, त्याला भागजाति अपूर्णा-
काचे रूप देणे असा होतो. ह्मणून ८ व्या प्रकारांत जी रीति
डिली आहे तीच थयेथेंही घेतळी पाहिजे

उपपार्ते.--3 या गण्याला गणकाची ५ पट जे 3 ह्यांनी
गणले तर गणाकःर £ येतो. गण्य कायम ठेवन गणक ५ पट धे.
तळा तर गुणाकार ५ पटयाववाचा (अ. मा. १ क. १५८) भर्थात्‌
६ ह्या ५ पट गुगाकाराला ५ नीं मागून उऊ हा खरा गुणाकार
येतो. ह्या रुत्यांत अंशांचा गुणाकार अंशस्थळी व ळंदांचा गुणाकार
छेंरस्थळीं माला आहे. ह्याच युक्तीने हृृएक गुणाकार याबयाचचा,
हझणूल -

रोति.-अंशाअंशांचा गुणाकार करून तो अंशस्थानी ॥ले-
हावा व छेंढाछेदांचा गुणाकार छेढस्थानीं लिहावा.

४४. सूचना.-उदाहरणांत भागानुबंध पूर्णांक किंबा नुसते
पूर्णांक असल्यास त्यांचे बिषम अपूर्णांक करावे; अंशछेदांस
संक्षेप गेल्यास द्यावा, आणे मग गुणाकार करावा.
चे१०हागुणाकारकरा'

उ० २ रें. ७४३३ > ४२ ( ७५- इज) ४३
-_ ७५9९ ४२ - रेडे -२२९२३३ेके हे उत्तर,

. अंकगणित.

क 3 त्र :4 -ं १२
>. १-१-- ४९%
व कड व (हे) फो
ी
श्‌ क
जल पुसट > च न- नरे -]

अभ्यासाकारेता उदाहरणें. ठ.
पुढच्या संख्यांचे कॉमिक गुणाकार करा

गय 320 रव शेवद्; ववे;
कृष्ष सटवजद्व'

२. उपे, रेईेव १००; १३डे, शदे व १डळ;
६डे चे २६ ब २१

२. स्शेचेरडवण्ट्रेचे १३; स्ैव१£चे
पैककचेटेचे १ उभ |

४.३ चे वडचेदेव कज चे ३३; ी्॑चेईंव
अनूचे रेशकेचे द.

पुढे मांडलेळे कनिक गुणाकार करा

उ १चेचे१रशे>रपेचे स:
र वि

२॥>३-- २३३ २॥> २ > १५7-३; १८- > १

पाचेच>२॥;३ेटेचे२॥ > १३३ -"ळ
८.७ चे६ाचेळेन२चेदू-७ाचे ट्रे >>>)
पुढील पदावली सोडवा
९. १ऐे% रय ो(चे-टे)* सवव ण (त-डे) > रट.
१०. छन हले) इ -(से-- जे )>२॥

१9. (१९च7०रे डे ) (श्‍्दे-श्डे) १९० २४% ९२५>२
१९प-रहे%(श्‍्दे-स्ट)

व्यवहारी अपूर्णांक. ३१

१२. घडे णट्रे- सेन ११2;
दडे (पट्टे-श्दे)> रईस $-

उढ्च्या उदाहरणांतळीं कार्ये पदावळीरूपानें मांडून त्यांचीं
उत्तरे काढा. |

9३. ९९इ$ट्टे ह्यांना ३२४ ह्यांनी गुणा; ९९९३५
ह्यांना ९९९ ह्यांनी गुणा; आणि ४७९ मध्ये १५४२ मिळवून
त्या मिळवणीच्या ६ गुण्णिकांची मोजदाद काढा. ( बर सोड-
विलेळें दुसरें उदाहरण पहा. )

१४. ४९३६६ ह्यांना ५०४ नीं गुणून त्यांत इपेद्द मिळवा.

१५. १३ आणि इ चा ३ ह्यांच्या बेरजेळा कष आणि रे.
ह्यांच्या अंतराच्या पावणेदोन पटीने गुणा.

9६. ११व ह्यांतून ररे, ३ेव ४ट्रे ह्यांची बेरीज बजा
करा; आणि त्या बाकीला २३ चे ६३ चे ६॥ ह्यांनी गुणा.

१७, इटे ब ४९ ह्यांच्या वेरजेंत ४८ व ५८ ह्यांची बजा-
बाकी मिळवा, आणि त्या बेरजेळा ११५५ ह्यांनी गुणा.

व्यवहारी अपुर्णीकांचा भागाकार.
४४. भागाकार करण्याची छाति गुणाकाराच्या उलट आहे.
हणून: -- र
रोते.-भाज्याला भाजकाच्या ध्युक्कमानें गुणावे ह्मणजे
इच्छिलेला भागाकार येईल.
उदाहरण. डे ह्यांस ऊं ह्यांनी भागा.

त. ७_ 3>७ २१_ ८. १ हं
शेणणनडे>पेन मआयाशेट इक हे उत्र,

उपपत्ति.--- डे सया भाज्याला $ ह्या भाजकाची ७पट जे ५
त्यांनी मागिर्ळे, तर भागाकार - येतो. भाज्य कायम ठेवून मा-
जकाचे ज'गी त्याची पट घेतळी तर मागाकार तितकावा हिस्सा
यावयाचा ( अं० मा० १ क० १५८) ह्या प्रत्यक्षममाणाअन्वर्ये
बरीळ मागाकाराची ७ पट जे 2 ते सरा भागाकार दासवितीळ.
शेंडे हे भःजकाच्या व्युत्कमानें भाज्य गुणून येतात, - हणून वराळ
रोले सरी आहे, ७ गी

३५ अंकगणित.

४५. सूचना.--प्रभागजाति अपूर्णांक, भागानुबंध पू्णीक,
किंबा रेघांचे अपूर्णांक हे उदाहरणांत असल्यास, भागाकार
करण्यापूर्वी त्यांस भागजाति अपूर्णांकांची रूपें यावी.

गेप--४--३%हआणि*र चे ६ ह्यांत फरक आहे,

रे
ह 1 तिरी
तो असाः--*" २ फन्क फक्कड
"र
2: १८ .- ३ ७ __ १'४
व रपस्चिपैया ध्या फाऱ्के* क म

%
द
20 न 0 स्त
उ० हेरे. २३ चे रेड अ ४३

..१० जन्या व - > ये व २९५ हे उतर,

भभ्यासाकारेतां उदाहरणें. ड.
पुढें सांगितळेळे भागाकार करा.

ह >) “क शा... ८ क री टि क च क षु
१.२९ ६ कु कु या इ रवदर शच
टं

प्र ण्श्
ण. ऊेचेरन्डरेचेडेचे७ ४३शेचाडच २१ चे दद
पुढ मांडलेले भागाकार करा.
५२. शेट्टे, _ठय

र्ड
छू, वर
शट १३य अक्ट
डु न क
७ धंवय, पवे, टडर, 0१५प

व्यवहारी अपुर्णाक. ३७

पुढीळ उदाहरणांतीळ रुत्ये पदावलीचे रूपांनी मांडून त्यांचीं
उत्तरे काढा

३२ ३3 चा १३. शेळेचे रवेड
धु र्ठेस्स | १ चै चाच डड चे टच
क १ द
चे रे १ वच च, ग्.. ९१] चे -३
ह 9
कू बाकि घ्य सळ छट १२९- २१८

पुढे मांडलेल्या पदाबळी सोडवा
(१३)नद)चे(पट्रेलचे) (४ ) चे

। :. २). चे २९

12 २ --.<
०
ता
८]
रया
<<
००
द
* «>
>“
५] १8)
डी

इ) चे(

वी

५.) ५ इटे चे दव
पढीळ उदाहरणांत प्रथम वरच चिन्ह घेऊन एक उत्तर
काढा; आणि नंतर खालर्चे चिन्ह धऊन इसर उत्तर काढा.

४७, ४ ४) ३ ६ __ १ 3 १
न र कन् व ढल पा व या तफ म यी
यी पा १ ग्र ् र गर
/ धि क डॉ त क न ० न्ट्टा ८
र ऑन अअअकयवीलया साटा गााच्खातातततकन्य ण र
६ २७ ऱ्ह ह टं चड न प्र 4 ट्‌ -_ र्-- ल
कातळ न्न मग ह) ल र कळ्या नयु नी 1»
उ ह. ० गड | )

द

आळम्याळ

-

१६. च पि

पुढील उदाहरणांतील दत्य पदावलीरने मांडून त्यांचीं उत्तर काढा
१४. 3: पडे? भाण? ह्यांचे बेरजेला बक! आणि न
ह्यांचे बजाबाकीर्ने युणून, त्या गणाकाराला उेटे चे १बैच
द्यांनीं भागा
११५ व च > च २९३ आझणि2ौच ४5४ । ह्यांवाल
लहानमोठ्या अपू्णाकांच्या बरजेला मधल्या अपूणाकान भागा.
४

की अंकगणित.

छै ह्यांशीं डे चे रटे मिळवून त्या बेरजेला
(त्रेचेहे)- ($--दे) ह्याने गुणा.
१७, २९३१ शेट्धे व ४६ ह्यांच्या मिळवणीला एट बळ्शह्या
च्या मिळवणीने भागून, त्या भागाकारांत १०३ व पटे ह्यांचे
अंतर मिळवा

१८. ह व ई ह्यांच्या मिळवणीला ७ ह्यांनी भागून, तो
भागाकार ३३ चे ६४टे ह्यांत वजा करा.

५१९. २३. ब ३३ ह्यांच्याबेरजेत ४३ व ५३ ह्यांची बजाबाकी
मिळवा, आणि त्या मिळवणीची ७$ :- ६३ इतकी पट करा.

बरील रीतींनीं मिश्र अपूर्णाक आणि पदावली सोडविता
थेतात. जसेः--

प
जु प्‌ पण
० १ले.र्‍रआ ८ ०॥०.. हे मिश्र अपूर्णाक सोडवा

पहिल्या अपू्णांकाच्या अंशछेदांस ५ नीं गुणितां,

दुसऱ्यांच्या अंशछेदांतील छेदांचा ल. सा. भा. १२ येतो
_ त्याने त्यांच्या अंशछेदांस गणितां

ददू--४३_ _१०२६-५६_ ५० _ २७

इटे ७ ४५-८९ १३१७ ६७
वर्षित अपूर्णाक हाळा अपूर्णांकाचे छेद सोडविण्याच्या क-

माने सरळरूप देतां येते. आणि ह्या अपूर्णाकांतील संयुक्त भा-

जक कंसांनीं ठाखतून ते कंस सोडविण्याच्या क्मार्नंही सरळ-
रूप देतां येतें

उ.शरे.५--

मा व... १
2 कक 9 त्ता त कक...
ण्-ऱ्े क चक २₹ै-्डृद्द

>. -
य र. या १७ २० ५ नन घी व्र ६१ ऱ्ह उत्तर

"ण
र्य
५.०
न
><-2
1, >
नन

शं
ह]. वि.

शा
कि.
9्ट
न्ण्‌ळ

४ 2

व्यवहारी भपुर्णांक. १९

शेन २२०६९ *५-(२५३))_]

र

-३--[२न३९-९४न५-
-३-[र२रनरेन नये
- ३५२३१ छे)

-०->0
त्9-
]]
भे
घे
><
खु श्व
रः
>-५

बड > ९ ५४८ बर्फ
ऱ्य म्य नस उचर
१--उचेजे नह
--वटपााणपण २ पाकाप 7७०२२
वत यापई)हंचे श्‍9( ७-२) डे
4 १ टू
_-----_-_>उ----ाश
र टं
2 ६ई ण हे%३३%टेदलड
६ -- १ --_१० . के
पै वचक इ हटकर डार मी इ३>( पिणे इयईाड

89० अंकगाणेत.

उ० ७ वें. १७६ ह्यांतून ९ट्रे आणे ४७४ मांचे अंतर बजा
करा आणि त्या बाकोळा ९ व ९३ ह्यांच्या गुणाकारार्ने भागून
उत्तर काढा. |
१७व२ (९४४) _ १७६९ न

पळ ऱ्े १ १»
१ ४

इष्ट भागाकार,

र > ९ र» -ज
क ये क
१२-टॅ "टेड टं४ हह टक ऱ्य
प्र 37212 वी र्क > |ड्र्प
ट्ट
८ &> ठे
ल सही. 3_-- >£- ह ज.1
१२९4 स्प ज्क > ड्प्र
-.१२-२>हे उ ।
“य रके हे उचर.

पु “जर. १३६ णे दव
_ए५र._, सडेचेश्टे
१ कण सेन डेट
श. क डय धी ; केके इडडेष : >्चेसफ्टूचे$
१7डचेवृ्र १-रडर> करे सेचेख-ईचेदे
इ" पेचे सय
३. २५. रवव, १८. दा
रेषे टब टोचे ४३ वि
छड्टे-वेवेर ८ _ चे ४ पिवत
१८शेरफे .. दक्े ११
४. 1 च ी ३२५३३ -२३ > २३
५> 30१ ३ रडे ,

१-- पट >()--६>) ४१५४३. > ४३-३१
१०५2 जया ४३४३३)

ती.

व्यवहारी अपूर्णांक,

शया "शप

शी | ठाक

३. अवे

9» ;9 | र की
& 3 «१
“9 371७
७४७८ हश | ती
हश
ईश | ग?
>
। विकी | 9“
डू ]
चो क
पन गजा
ण नश | र्त
38
ह >)
) ४
7 -! ज्र्ट
ष्ण * ४ ्
व] ण व्य
टि 319] >< 9
णाळणा2 ह ] ६ के
हळ टश)
र्गुर र्नु- ७७ १ एस
नरणीओ ७७ ।| |
८७ फळ हीही १4 *
| पला तर| ठ<
डे
श>२ म छ्भ ग
90 टु ह कळ
हा वा ही | हश

४९ भंकगाणेत',

3 २.१३ चे: १९ “3 वर
कवेल तड ने स्ग्म्च्चि डस!

3२. (शवक ४३)चे(3०- ७१) चे ५;
७७ २ . कि...
देववाा ( हजत्ते नत १0 कते त्य १:

१ कचल डड ग ( १ डे ,

व्यवहारी भपूर्णक, ४४

01 शज
रर. ७> न. ६०१८४ ( 8.8: इ /*
टि
00014)
वक ऱ् १
छे ८ 723 १ उ” १२
द्ध द ट्ट 1 थऱ्र
.>-. ढ हत ण
2 | ये १९
प 0 स्ट 1 क णा
७-ऊ ४०१ र उ१
न क -: १ १
रा टर ६-5 पेद
:: १ १ य

व्यवहारी अपूर्णाकांचा रूपभद किंवा
विविधार्शी सं्नध
४५. ह्याच्यासंबंधाने व्यवहारांत नानाभकारचे प्रश्न येत अस-
त, त्यांचा समावेश ज्यांत कारेतां यवा ते परकार येणेभमार्णे.-

४४ अंकगाणेत,

प्रकार १ ला.--एकंच्या किमतीवरून अपणांकाची हलक्या
परिमाणांत किंमत काढण्याचा आणि भागानबंध पर्णांकाळा
हलक्या पारेमाणाचें रूप देण्याचा.

रीति.--अपूर्णांक किंबा भागानुबंध पूर्णांक ह्यांतील एकंच्या
जागीं त्याच्या बरोबरीची हलक्या परिमाणाची संख्या ठेवावी
ह्या संख्येला अंशाने गुणून छेदाने भागले ह्मणजे त्या अपर्णा-
काची त्या परिमाणांत किंमत येईल, व ह्या संख्येला पर्णांकाने-
ही गुणून त्यांत ती किंमत मिळविली हणजे ह्या एकंदर संख्येळा
त्या हलक्या परिमाणाचें रूप येईल

उद्दाहरण १ ठछ.-एका रुपयाचे 3 ह्यांचे पाबळे करा

एक रुपयाचे ४ पावले ह्मणून,
>रु.स्टरे%४पा.ईपा.> २३ पा. हें उचर.
उदाहरण २ रे.-एका खंडाचे स ह्यांस पाथलींचें (बारोळी)
रुपया.
१ खं. - २० मण, व ३ म. -_ १२ पा. ह्मणून,
टैखं.न्दे>२०म.> चि म. 4.03
- रजे” पा. - 9१४४ पा. हं उत्त

४७, सूवचना.-- दिलेळे अएणांकाची किंमत काढा असें हा-
टर्ळे असेळ तेव्हां अपर्णांकास हळके परिमाणांत नेतांना भागा-
नुबंध पूर्णांक उत्पन्न करावा, नंतर त्यांतील पूर्णांक तसेच ठेवून
अपर्णाकांस माव आणखी खाळचे परिमाणांत न्यार्वे; याप्रमाणें
शेवटपर्यंत करावें.

उदाहरण ३ र॑.-एका रुपयाचे टे ची हलके. परिमाणांत
किंमत काढा.

१ रु. ४पा., ) पा.-४आ.,व ३ भा. १२पे ह्मणून.

दैरु.न्दे>९ पा. "ये पा.नर्दे पा.
यांतील २ पावले तसेच ठेवून राहि
चंपा. न्चे%४ आ. 5 ६ आ. २ १डे भा.

व्यवहारी अपूर्णांक. ४५

यांतील एक आणा तसाच ठेवून राहिलेले
देआ <१रेपेन्येन्पेन७दपे
डे रु. -२पा. 3 आ. ७३पे हें उत्तर.

रीति दुसरी--विविधाची.

रु. पा. आ. पे.
१ ० ० >

आह:

कु ये... १...
9 रे १ ७२ हे उत्तर.
रीति तिसरी--रेघांचे अपर्णाकांची
१ रु

9८ ३४

५) ३

.॥-॥ बाकी 21. हे उत्तर,

उदाहरण ४ भे.-९ खंडींचे 3 यांस वारुळे मापाने हलके
परिमाणांत आणा

९खं.चे>3स5खं. २३ खं.
पुनः सेखं.र्‍ठ्े>२०म. 5 म. > १३३ मण.
पुनः 3म. >>> १रपा. ळेपा. _ ४ पायली.

उचर. २ ख. १३ म. ४ पा.
रीति दसरी - विविधाची.

खं. म. पा.
९९ ० ०
>८ २
: ) टर 9 9

४६ भंकगाणित.

रीति तिसरी - रेघांचे अपर्णाकांची.

' खं.
> २
३)८ खं.

२॥३1 १ सं. हें उत्तर.

उदाहरण ५वें.-३खं. ४म. यांचे डेयांची हलके परिमाणांत
किंमत काठा.

ऱय्गशैच्खे चे श्र ै
सं. चेटेस र खं.>रठेखं.
पुनः ऐेखं.ये>२०म. ७ म. ८ म.
व उतर २ खं. ८ म.
दुसरी रीति. तिसरी रीति.
खृ. म. खं. ३०४
३ र; ९ छे.
७... ये ४)९॥२
४)९_ २ २१९ सं. हे उत्तर.
रे ८ हे उत्तर.

उदाहरण ६ वे.-ज ह्यांना दशांश, शतांश, ३० स्थळपरिमा-
णाचें रूप ४ स्थळांपावेतो दे.
१ एकं > १9० दशांश; ३ दशांश १ ० शतांशः
१ शतांश > 9० सहस्रांश, हणून,
वळे एक सवे >, १० दुशांशन् दे$ दशांस.
ऱ रववृदूशांश.
पुनः उ्पदशांशस दक > १० शतांश वश शतांश.
र ७बकशतांश.
पुनः दवे शतांश देणे > १० सद्दतांश र रर्बब्सहस्रांश
“ उत्तर बवे ९ दशांश ७ शतांश २९ सहस्रांश दवे
दरासहश्रांश,

|

व्यवहारी अपूर्णांक. ४७
भअभ्यासाकरितां उदाहरणें. ण. |
. ७ खंडींचे चे ह्यांची किंमत काढा.
. 9१० गुंठे १२ आणे यांचे 3 काय दाखवितील ?
. एका दिवसाचेड्रे चे ट्रे चे डे यांस हलके परिमाणांत न्या.
. ५रु. १२ आ. यांचे उप ह्यांची किंमत काय ?
. एका पोंडाच्या अशमांशाच्या सात पटीची किंमत काय?
. . ६. एका गिनीचे डे आणि एका कोनाचे से यांची बेरीज व
बजाबाकी काढा.
७. एका मेलांचे उ, एका फ्लांगाचे छे, आणि एका पो-
लाचे कढ, यांची बेरीज सांगा. |
८. १॥- रु. चे , आणि > चे ठं, यांची बजाबाकी
काय होईल ?

९, व्यव घ. यार्ड, आणि रेटें घ. फूट, यांच्या बेरजेत घन
इच किती !

८. ७८ 4४. /५. “५७

स्की

_१_ हा१६ दि , २२ मि. यांचा
१०. "प द वा * अपूर्णांक आहे. याची इलके परिमाणांत
करच १३ किंमत काढा

५११. ३ खं. ७ म. ही संख्या कोणत्या संख्येच्या ₹॑ब-
रोबर आहे ?

पुढील अपूर्णांकाच्या पूर्णाकांत किमती काढा व

१२ टन; केणे एकर; १ फलागारचे पटेटे; १ मे-
लाचे 'दादेणट

५३. > दिवस; वळण एकर; १ हं. वे. चे शवेहे चे कफ!
शैव एल

१४. ३६५ दिवसांचे प्रश 9
११-ेटे ह
हन्न--------- आठवडे
१४

शट अंकगणित.

| 9
१५, १5९ ग्या. चे क्र रळ

| ९-्डे ररे ऱ्ऱै ४
पुढील पदावलींच्या पर्णाकांत किमती काढा
१६. ७2 पो. -- ७3६ शि. -- ६३ पे.;

३८ पो. -- टे शि. -- ४३

१७. उ हं. बे. -- ८६ पो. -- ३४७ ओ.; १ टनाचे डे -
१ह.वे.चे£--१५पो.चे2

१८, ३३ मेळ - ७नदे फ.-- २५३६ पो.; उ चौ.मे.
"क एकर--ट॑रुड.

१९, आठवड्याचे दे -- दिवसाचे 8 -- तासाचे $
मिनिटाचे ३ -

४८. प्रकार २रा. एक मानिठेल्या संख्येच्या कोणत्या अ-
पूणीकार्ने ( किंती कितव्या हिशशांनीं) तसळीच दिलेली संख्या
दाखवितां येईल ते शोधण्याचा.

उदाहरणार्थ ८ च्य़ा कोणत्या अरर्णांकार्न ५ दाखविले जा-
तात? हा भश्न विचारांत व्या. अपर्णाकाचे लक्षणाप्रमाणे पाहतां
८ चे टॅ ५ येतात. ह्यावरून £ हं ह्याचें उत्तर होतें.
तर्सेच ) रुपयाचे ३९६ - 3 आ. ६पे येतात ह्यावरून )
रुपयाचा कोणता अपूर्णाक ) आणा ६'े दाखवितो! ह्या
पश्नाचं उत्तर डोह हे होते. आजमितीस १ शिलिंगाची किंम-
त सुमारे १) आणे झाल्यामुळें ) पोंडाची किंमत सुमारें १३ रु.
१२ आ. होते. ह्यावरून १२ रु. १२ आ ह्या किमतीच्या ना-
ण्याचा कोणता अपूर्णांक 3 रुपया दाखवितो? या प्रश्नाचे
उचर 56 हे होत

ह्यावरून लक्षांत येईल कीं, विविधांत ज्याला चढती भांजणी
हणतात, किंबा हलक्या परिमाणाच्या संख्येला भारी परिमाणा-
- खे हव दे्णि हणतात, तोच हा प्रकार आहे. वरील प्रश्नांचे

व्यवहारी अपुणांक, ४९

अर्थ दुसर्‍याही रीतींनीं सांगतां भेतात. ते असे. ५ मध्यें अहे
(आठाचा समुदाय) किती राहतीळ तें अपणःकरांत सांगा. १आ
६ पे. ह्यांना अपूर्णाझांत रुपयाचे र्पद्या १२३२. ३२ आ.
कि मतीचे १ नाणें हाटळें, तर त्या नाण्याचे किती कितवे हि-

ह्या प्रश्नांचा उद्देश पाहिळा तर दिछेल्या एकंचे संख्येमध्ये
मानळल्या एकची संख्या केवडी राहील तं शोधावे किंवा मो-
जावे हा असतो हणन

रीति १ ठो -दिळेल्या एकंचे जागी मानळेल्या एकंच्या

“2: हनक

नांबाचा त्याचा किमत ठेवावी अथवा

खात २ रा.-दांन्हा संख्यांच्या एका परिमाणांत किमती का-
ढाव्या, आणणि ढिळेल्या संख्येच्या किमतीळा मान पा एकं-
च्या कमतान भागाव. हणजे मानिळेल्या एकंची मोजदढात
येइल

उदा १ ल, ५ पर्यांना आण्याचे रूप या

१ प उद आणा हणन
५ पया २५ तई भा. > उ आ. हे उत्तर,

् क 1
ह: ी ल. >
र्‍ प >क्क्र्र.न रेक रु. हे उत्तर
न्य र्त ही जा च न आळ न
उद, ३ र, ६-५ दवस यांप वर्षारचे रूपया,
ह अळी ह. ही “3. हाच क क.
२६८५, डर ाडे.-१ व
६3 > --53:5:
भे य ५.>--च डं.
- ५ 2०
हणन ६३ 3- 3५५० -::_ "उज ट. __ 3>3 1» तं
[न ६३. चावपऱ् वरद ममल > दाडदई
ह की
--. य ऱ्ड क ४ ढा न
"चद *शळ्ज्व, -इडडणजव. हे उतर.

उदा. ४ थ. ११५ आणे आणि २९५ पाबळे मांची
ब बजाभाको यांस रुपयांची छपदयया.
ध्ड

षः अकगणितं.

२५. पा. १०१) आढ

हणून बेरीज. वजाबाकी

११५॥- आ. ११५. आ.

१०१ झा. १०१ आ.

२१६॥- आ. १४॥- आ.
व २१६. भा. 2-३ रु. १३डेरेरु बेरीज.
तर्संच १५॥* भा. कर्त रु. उई रु. वजाबाकी.

उदा. ५ वे. एक गुंज ही ९॥ तोळ्यांचा कितवा अंश आहे!
१ गं. ळा

उदा. ६ वे. ४ मण १७ शोर ह्यांचे उ हे १ खंडी ८ मण ह्यांचे
( सुमारें ) टनाचे ) अंश ह्या रूपाने मांडा

१ ४ > ७२१४ पणाचे उ
का बह 101019 तही 0000010043

न रट दी पट
१ सव. ट मण. "वे, मण,
_23म. चे$ _ अवे म. _ >९
हड: मा ओमा ण्य "०" रदढ
१ 2 -5>- मण "कुण्सण

यू
येथें १ खं. <म. ह्यांचे २००
७ हा इच्छिळेळा अपूर्णांक हे उत्तर

उदा. ७ वें. २ गिनींच्या छे च्या इ चा कोणता भागजाति
१५ शि. ९पे. ह्यांच्या € चे ड्रे दाखवीळ !

१५टरे शि. चेईचेड
इृ्भागजाति पटया पारा
-:अ $ंचेडु

व्यवहारी अपूणाक. ५११

उदा. ८वे. ३ टन १६ ह.वे. ३ क्वा. २२द पोंड चे
(५६ - ३2३ ) ह्यांचा कोणता अपूर्णांक ५ह. वे. ३ कका

अक क |: र कळ
३३ पोंड चे “फा चे ७डे दाखबील?

द्‌ हं. बे, : कका 3 र्से पेड षद ह. वे. :_ का. ३ऱे पोंड.
ण्डी च्ह । *
उए्पक्ता. २$ का.
८4: ऱ्ट
८६१८दे पौंड ६४७. पोंड.
> डे
६४७३ पॉ. चे -5उचे्दे

.. दृष्ट अपर्णाक - शशणापाओायापे यापा
दष र्ट कि ८६१ द्येपो (५-३ )
| १२९५ >.१५ >) >
२0-२५ ८ फडे ऱ्य अत ररश> रेती
म्या द्य उतर
उदा. ९ वे. २ पो. १० आओ. अबाडुपाइजचा कोणता अपू-
णाक १ पो. ८ आ. त्राथ्र ह्यांशी मिळविळा, तर बेरीज ३ पोंड
७ ऑं. १० पेनिवेट येईळ ? |
३ पो. ७ ओ. १०पे.बे ह्यावरून २ पो. १० औ।
१ पौ. ८ औ वे. वे. अबार्ड. चा कोणता अप-
पौ. ११ओ. १०पे.वे णांक ) पो. १५ ओ.१ ०पे.वे

देईल तें येथे शोधणें आहे |
आतां ११ औ. १०पे. वे._ ११ औओ. ब्रास-रे्पो. ता.
अडे पो. ञा.
१ पौ. ११ ओं. १०पे.वेस १३ट्टे पो. बा. १ >ट्रे <५७६० ग्रेन
आणि रपों.१ "ओं. आवाई- २३ पौ. आवाई.- २४५७००० ग्रे.

ट><५००६ ये
२५:०७ "०फभ् इथे पदेही नजेदेफपून

, इंड भपूर्णांकर

ष्र भंकगणिंतं द

अभ्यासाकरिता उदाहरणं. त
६, १२ पोंड हा २३ गिनींचा किंतबा अंश आहे?

िन्

९, एका मेलाचे 6६ हे एका याडाचे कोणते अंश
होतील !

क कका, *__ _ "९७५ को अपण!
/२. अर्ध्या क्रीनाचे 2 चे क हे ९पोडांचा कोणता अपूर्णाक
होतील ?

४, एका मणाचे डे यांची ५७ पट जर एका खंडीत वजा केली
तर बाकी कायर राहील!

उ, ४१. ओ. १५ पे. बे. १५ थेन ह्यांना वायपा्डांच रूप अप-
णाकांत या, आणि मग अवाडुपाईज पोडांचेंही रूप अपूर्णा-
कांतदया

६. १५ह.वे. २ का. १७ पों. ८ आ. ह्यांना हंड्रेडवेटांचें
ब टनांचे अशीं दोन अपूर्णाकरूपं या

७, ५ बुशेळ २ पेक १ ग्यालन ह्यांना काटरांचें रूप था.

८. ३ का. २७ पौ. ९ ओं. १२३४ द्राम ह्यांना हड्रेबवेटांचे
अपूर्णांक रूप या.

_ ९.३ फ्ळाग २९ पोळ ४ याई १ फ़ूट ९ इंच ह्यांना एका
मेळाचें अपूर्णांक रूप द्या.

१०, ४ पो. १ ओं. ८ पे. वे. १५ यरे. ह्यांचे किती कितवे
अंशहे १पो. १ ओं. ९पे. वे. १५प्रे दाखविवीठ?

/५१. २॥ यार्डांचें माप घेतलें तर २९॥ फुटांची मोजकात
काय येईल?

* १२. मोजणीचे माप ५ इंचांचें असळें तर ३४७ मेळाची
मोजढात काय येईल?

_ १३. २ एकर ३७पो. ह्यांचा कोणता अपूर्णाक ३ एकर
९ रूड १ पोल ह दाखवील!

४९, प्रकार ३ रा. एका देशांतील परिमाणास डुसऱ्या दे-
कांतीऴ परिमाणात नेण्याचा,

व्यवहारी अदू्णाक, प्द्छ

रोते.--सांगितठेळे परिमाणाचे जातींपैकी अ पारेमाण इ-
च्छिळेळे परिमाणाचे जातीच्याशीं ताडळेळे असेल त्या परिमा-
णांत पहिल्यानें दिलेल्या परिमाणार्चे रूपांतर करावें. नंतर त्यास
इच्छिळेल्या जातीच्या वाडळेल्या परिमाणांत न्यावे. नंतर त्या
संख्येचे इच्छिळेळे परिमाणांव रूपांतर करावें. |

एका देशांतील परिमाणास दुसर्‍या देशांतील परिमाणांत नेणें
झाळें, तर त्यास ताडळेळे परिमाणांचे वादेनेंच न्यावे लागेल हें
स्पष्ट आहे.

उ. १ छळ. १४रु. १२ आ. ह्यांस इंग्लिश चलनी पोंड शि
लिंग यांत न्या.

१ रु. > उत पॉड.

उ. २ रे. ५तो. ३ मा. २ गुंजा इतक्या वजनाचा एक
सोन्याचा दागिना आहे. तर त्याचें इंग्लिश मानाप्रमाणे काय
वजन होईल ! |

| 1 तोळा? १८८ आय ग्रेन.
५तो.३मा.२गुं.५३ेळेतो.

|]
200
क्क््टी

-त
नता :
ळय
तप

“१ टी

ग

द्व

टी

“न्न

उ.३र२.२ टि. ४ अ. ३२ मि. ह्यांत १ वि. १५ घ.
१९ प, वजा करून बाकीला दिवसांचे रूप या.

५४ अंकगणित,

१ अँवर॑ > २॥ घटिका.
हाणून ९ दि. ४अ. १२ मि. २२ दि.१०६.३०प.
यांतवजा १ १५ १९
बाकी ५ ५५ १८

५५घ. १दप.सपपचर्चच, स ५५३० देव दि.
ऱ्स १६८६ '” ६ दि

अभ्यासाकरिता उदाहरणं. थ.

//$. एका होदांत ढरतासास ४९० ग्याळन पाणी सेतें, तर
एका दिवसाचे 2 इतक्या वेळांत त्या होदांत किती हांडे पाणी
येईल तें सांगा. (9 हांडा? ७ ग्यालन.)

२, १२० सिकिनच्या मोहरा करा.

३. २२० ग्यालनांचे दे चे फरे करा.

४. १२॥२॥ खंडी धान्याचे बुशेळ किती होतील? (४ पुण्या-
च्या पाथयळी >. ५ ग्या.)

७. एक लक्ष फ्रैचमिटर,* हे एका कोसाचे किती पट होतील !

&. एका बिव्याचे दे ह्यांस एकराच रूपया

७. बारुळे मापाच्या खं. ५५८7२ यांचा, वे सोळुळे मापा-
च्या खं. ५८२, यांची वजाबाकी सोळुळे मा्पांत सांगा

७०. प्रकार ४ था.- अपूर्णाकाच्या किंमतीपासून ताज्या
एकंचा अपर्णांक आहे तो एकं काढण्याचा

उ. २ ठे. ज्या संख्येच ३९० येतात, ती संख्या कोणवा !

५ एकंचा ७वा हिस्सा? २० आहेव, तर ५ एक > ३०
सर्ते २१० येतील. तर्सेच ५ एकं > २१० आहित; तर एकं
२३९०-४२ येवीळ. हे सरळ रूपभेद पुढीळ पक्कतीन मांडतात.

$ एकं > ३०
हि ५ एकं ऱम्र ३० > ७ २१०
र. एकं - 32 :- ४२ हं उत्तर,

तहाण टाहतत णा ण-प्ाणा » प गणक ाणाकत ण ४४०00 व्यावडाडवडय की

% १ फ्रेंचमीटर ६३९३७ इंच,

व्यवहारी अपूर्णांक, पप

रीति.--अपूर्णांकाच्या किमतीला त्याच्या छेढानें गुणून अं-
शार्ने भागावें, हणजे त्याचा एकं घेईल

उदाहरण २ र॑. अशा संख्या सांगा कीं तिचे ३$ घेतले तर
७५ शिलिंग ६ पेन्स येतील.

प्वतीने. विधविधानें.

3 "शि. ६प

वैफ एकं ५ शि. ६पे. ही.

१० एक ९३ शि. &घे. ।10)९३शि.६पे.
एकं > ९ शि. ४संपे. उचर. शि. ४८पे. उत्तर,

अभ्यासाझारतां उदाहरणे. द

9. कोणत्या काळाच्या £ नीं ३ ता. ९२० मि. ढाखविता ये-
ताळ ! कोणत्या काळाच्या $ नीं ३ दिवस ठाराविळे जातील !

“२, कोणत्या रकमेचे उं ३ शि. ६ पे. आहेत? कोणत्या
रकमेचे ७ पों. १२ रि. ६ परे. आहेत?

४. अशा संख्या सांगा की एकीचे *५- २५ याई यावे,
आणणे दुसराच बव्क्> ७ फट यावे.

४. २ भोस ३ पेनिवेट हे कोणत्या वजनाचे तीन-सत्रांश
आहेत ?

५. १७पॉ. २ आओ. हेऊ्यनीा ठाखविण्याळा एकं केवढा
पाहजे ? १५३ हेदेब्ेट हे ५5 नीं दाखविण्याळा एकं केवढा
व्यावा ?

६. १७ हे ज्याचे रे आहेत असा एकं सांगा. तसेच ५३
हे ज्याचे उ आहेत असा एकं सांगा

७, ५ पो. १२ शि. ६ पे. हे उ होण्याळा पर्ण किंवा एकं
केवढा पाहिजे ?

एका जमिनींत १७ जणांचे सारखे वांटे आहेत. त्यांवीळ
५ वांट्यांची जमीन २ रूड २० पर्च भरळी, तर एकंदर जमीन
केवढी भरेळ?

९. केवढ्या काळाचे 5£ हे २३ चांडमास होवीळ ?

षद अंकगणित,

दर्शांश अपूर्णाक,

७५. स्थळसेकेत-- २२२ २००-- २९० -- २ ह्यावरून पू-
णाँक संख्येत अंक जसजसा उजवेकडे मांडला जातो तसतशी
त्याची किंमत ३० वा हिस्सा होते हणजे, एणांकांदळठ पत्यक
स्थळपरिमाण हे त्यांच्या डावीकडच्या स्थळपरमाणाचा १० वा
हिस्सा असते. (अ. भा. १ क. १३) ह्याच संकेताने एकंच्या मा-
थ्याशी* ठशांशचिन्ह नांवाचा विंड किंबा अळे ( आलय ) क-
रून त्यापढे अंक मांडित गेळे, तर त्या अंकांनी प्णाकाच्याच
पद्धतीनें दशांश संख्या ठाखविल्या जातील, उदाहरणाथ,
३४५६७८९१ किंवा ३२४५६७८९३१ ह्या संख्येत ५ हे एकं ठा-
खविवीळ, त्यांपृढचे ६ हे उशांश ठाखावंवाळ, त्याठुव्चे>ह
शयांश ठाखविवीळ, त्यांपुळचे ८ हे सहखांश दाखाविवाळ; अशा
रीतीनें, पर्णांक व दशांश ह्या दोन्ही भागांतील अंकांचा किमत
पांच्या स्थळांनीं ठाखविळी जा [तां ह्या संकेताम माणे
पणणांक्नांतीळ एकं हा पूर्ण व अप्रण ह्या दोम्ही जावींच्या परिमा-
णांना सावारज असल्यापुळें ह्याच्या डाबाकच्चा 3 ला अंक
दशक ठाखवितो. तसाच दशांशचिन्हाच्या उजवीकडचा 93 ळा |
अंक दशांश ( दहावा हिस्सा ) दाखवितो. एकंच्या डावीकडचा
२ रा अंक शतक दाखवितो. तसाच दशांशचिन्हाच्या उजवी-
कडचा २ रा अंक शतांश दाखवितो. ह्यापमाणें जशी एकच्या
डावीकडची परिमाणे दसपटीनें मोठीं होत जातात, तशींच दशा"
शचिन्हाच्या उजबीकडचीं पारेमार्णे १० व्या हिश्शानें लहान होत
जातात, हणन ह्या परिमाणांना ददाकपारिमार्गेव दर्शांशपरिभाणे
अशीं नांबे देतात. येथें १३०, १००, १०००इ. भअंकहे १०चा १,२,
३ इ. घात दाखवितात. ह्यावरून डशांशाच लक्षण ठरत तेअर्सः--

५२. दद्यांशा अपूर्णाऊ--ज्या संख्यांना ३०, १००, १०००

नक्त: :८४८६५८४५४४४ीशशी?0शशिश्शथॅण्0णण?
* दोन संख्यांचा गुणाकार दाखविर्णे असला, तर तो ५-६ असाही
केव्हां लिहितात. ह्या गणनाबिंदूडून दशांगाधिदु वेगळा दद वेण्यासाठा> द

शांशाविदु हा माथ्याशी देतात, आणि गुणनाबेदु हा मध्यभागां दुंतात

दशांश अपूर्णांक. __ एुऊ

इत्यादि १>चे घात छेड अस्रन, ते दशांशचिन्हापढच्या स्थळांनी
दाखविळं असतात, त्यांना दशांश किंबा वशाशाअपूर्गाक हृणवात

उदाहरणाथ, ३४५ ६७८९१ ह्या संख्येतील दशांशचिन्हापुढचे
अकपहा.हे अंक ३, टेव्ट्वर्उववई० अपूर्णांक दाखवीत असून
ह्या अपूर्णाकांचे छेड डशांशचिन्हापुढच्या १ ल्या, रे र्‍या, 8 र्‍या,
इ० स्थळांना दाखावेले आहेत म्हणून हे दशांश भपणाक होत

५३. वाचन -दरशांशांची संख्या स्थळपरिमाणांच्या नांबांनीं
बाचतात, अथवा एकंर्चे स्थान दशांशचिन्हानें दर्शवून नसवीही
बाचतातः--जशीः -- १४५ पर्णांक ६ उशांश ७ शतांश < सह-
स्रांश ९ दुशसहस्रांश ब 9 लक्षांश, अथबा ३४५, दशांश-
चिन्ह, सहा, सात, आठ, नऊ, ब एक अथवा १९५ पूर्णांक
६७ हजार ८ शे ९१ लक्षांश.

दूशांशाबिंडू पुढे जितक्याव्या स्थळीं अंक असेळ वतितक्‍याब
१० चा घात हा त्याला छेड असतो, अज तो त्या बिंडूपठच्या
प्रत्येक अंकाच्या स्थळाने दाखविला जातो. ह्यावरून ठशांशांक
हे पूणांकांप्रमाणेंच स्थळपरिभाणें दाखवितात हें लक्षांत बेईल.

वरीळ प्रकारच्या दशांश अपूर्णांकांच्या रांगा ह्या पूर्णांकां-
च्याच पद्धतीनं उत्पन्न होतात, थास्तव प्रणांकांसंवंभी एकंठ्र
नियम ह्या रांगांना ळाग असले पाहिजेत.

पूर्णसंख्येंतीळ वेगळाळे अंक वेगळाळीं स्थळपरिमाणे दाख-
विवात, पण ते अंक झुळून बाचिळे म्हणजे ती संख्या त्या रांगे-
तीळ ळघुतम परिमाणे दाखवित. जशी-२४ ह्या अंकपंक्तीची
बाचणी चो-वीस ही २४ एकं ठाखविते. हा नियम दशांशांतीळ

पंकांनाही लागला पाहिजे. म्हणन. --

७४. नियम १ ला--पूणकथक्त दशांश हे पूर्ण (एकं ) आणि
लघुतम अंश ह्या दोन नांबांनीं ञऊळून वाचळे, तर त्यांच्या बरा-
बरीचा भागानुबंध पर्णाक दाखवितात; आणि हे लघतमस अंशां-
च्याच नांवानें जळून वाचळे, तर त्यांच्या बराबरीचा बिषम
अपर्णाक दाखबितात

ष्ट अंकगणित.

* पल 3 १७ धर
पडताळा. २४२७५ - २४-. कुळ णि ठव ण बवकेळ
>>> 300 रन्- ७०७ १»
२४--व०व्द दा कहो. आ 'ढुठठेढठ
च्या 5'०(-० .__ १४४०-११
रे र्ट कुठ ढा मात ्वात्वित

आतां बेरजांच्या संख्या २४५ ब २४३७५ ह्यांना १० चा
३ घात हा छेद असून तो सळच्या संख्येत दशांशचिन्हापुढच्या
३ स्थळांनीं दाखविळा जातो, मारतव '२१७५ व २९'३७५ ह्या
संख्यांनाही वरील लक्षणाप्रमाणं दशांश अपूर्णांक म्हटळे पाहिजे
हें उघड आहे. म्हणन २४२७५ ही संख्या चोबीस पूर्णाक ती-
नर्शे पचाहनर सहख्ांशा अशी भागानबंध पर्णाकापमाणेंही
वाचतात. भआाणे चोवास हजार तीनश पंचाहचर सहस्तांश
अशी विषम अपर्णाकाप्रमाणेही बराचतात

ह्यावरून लक्षांत येईळ काँ, दशांश अपूण।काच्या रांगेचे सम-
च्छेद्‌ करून तिळा भागानुगंध परर्णाकार्चे रूप देणें, व दशांशां-
तीळ भागानुबंच पूणांकाळा विषम अपूर्णाकाचे रूप देणें, हीं कार्मे
दशांशांत प्रत्यक्ष करावीं ळागत नाहींत, जसत्या बाचणीनेंच दूर्श-
वितां थेतात. ही ह्या अपर्णांकांमध्ये मोठी सोइची गोष् आहे

५५. ठेखन.-दशांशसंख्येंत कांही स्थळीं अंक नसळे अगर एकं
नसले, तर त्या स्थळीं शुन्में मांडवात. उदाहरणार्थ, ०.००१०४०२
ही संख्या पहा.

पूर्णांक दशांशरूपांत मांडणं ज्ञाळ, तर त्यांचे माथी दशांश”
चिन्ह करून दशांशस्थळी शून्ये मांडतात. उदाहरणार्थ २४५०००
ही संख्या पहा.

व्यवहारी अपर्णांकाळा १० चा घात छेद असून, तो अप-
णाँक दशांशांत मांडणे असळा, तर तो छेद १० चा जो घात
असेल ( ह्मणजे त्यांव १ वर जितकी शून्यें असतील ) तितके
अंशाबरचे अंक मोजून त्यांच्या डावीकडे द्शांशचिन्ह करितात.
अशांत तितके अंक नतळे, तर त्यांच्या मागे शून्ये देऊन अंक पुरे
करतात. आणि त्यांच्या डावीकडे ठशांशचिन्ह करितात. जर्से:-

9 ठी. ६५ न. कर
वैटेट र्ट वें ० ०१२३.
क्व पंप “7 ५१ श्‌ ५) दु. ८ दा, का ०9 ७0 : ४ १

दण्णांहा भपूर्णांक. प्९

ह्यावरून दशांश अपूर्णांक व्यवहारी अपूर्णाकांत मांडणे
झाळा, तर,
रीति.-- दशांरातंत्था ही ढशांशचिन्हावांचून अंशस्थलीं
मांडावी, आणि दशांशस्थळांइतका १० चा वात ( दशांश
त्यळांइतकीं एकावर शून्ये देऊन तो ) विळा छेद मांडावा.
उदाहरणें.
२०२ स रेव अथवा बेळेटे'

५ त
बळी जि 9 ९ _.. 300--

२१, १४५९ स दणी धढेडा पी १ढोकाळाण णव

ट_

भ्र

ल. १५००१ १७बदव अथवा सवक

६. १९७५ न १ रेक 33१३2 अथवा १३॥.

७, २३१०६२५ २ २५2८० ऱ्म्रे २्व्द्व र्‍या ९१८८,

पर्ण संख्येला १० नीं गुणणें असळें तर त्या संख्येवर आपण
एक शून्म देऊन त्या संख्येंतळें एकंचें स्थान एक स्थळ उजवे-
कडे सारतों. तसेंच पूर्ण संख्येळा १० नीं भागणे असले तर
आपण त्या सैख्येवरचें एक शून्य कापून त्या संरख्येतळें एकंर्चे
स्थान एक स्थळ डावेकडे सारतों. दशांशांची परिमाणेही एक
किंबा दशांशबिंदर ह्यांवर अबळंब्रन असवात. म्हणून,

५६. नियम २ रा.-र्‍दशांश संख्येळा १०, १००, १1०००,
त्यादि १० च्या घातानें गुणणे असळें, तर तीतील दशांशचिन्ह
त्या घावाइतकीं स्थळें उजवेकडे सारावे, आणि भागणें असले
तर तींवीळ दशांशचिन्ह त्या बाताइतकीं स्थळें डावीकडे सारावे.

उ.१ ल. २४६८१०० - २४६८.

कारण दशांशतिन्ह २ स्थलें पुढें नेल्याने ८ सहस्रांशांची १००
पट होऊन ते दशांश झाले, ६ शतांशांची १०० पट होऊन ते एकं
झाळे. ४ दशांशांची १०० पट होऊन ते दशक झाले, आणि २
एकची १०० पट होऊन ते शतं झाले, ह्याममाणे मत्येक परिमाण

६९ भैकगाणित.

१०० पट झाल्यानें प्रत्येक अंकांची १०० पट झाळी, म्हणून एकं-
दर संख्येची १०० पट झाली इं उघड आहे. परिमाणांच्या दस"
पटींचा संबंध दर एक दशांशांत असावयाचा म्हणून हा निपमम
कोणत्याही दशांशसंख्येळा लाजू ज्ञाळा पाहिजे.

७. ९ र्‌. २'७६८ -- १००० > *००२७४६८.

कारण दशांशचिन्ह तीन स्थळें मागें सारल्यानें २ एकं होते
ते सहस्रांश झाळे, ४ दशांश होते ते दशसहस्रांश साळे, ६ शवांश
होते ते लक्षांश काळे; आणि ८ सहसत्रांश होते ते दशलक्षांश क्षाले.
ह्याप्रमाणें प्रत्येक अंकाच्या परिमाणाचा सहस्तांश झाल्यानें त्या
प्रत्येक अंकाचा सहसखतांश क्षाला, म्हणून ह्या एकंडर संख्येचा सह-
स्रांश क्षाळा हे उबड आहे. परिमाणांच्या द्सपटीचा संबंध हर-
एक दूशांशांत असावबयाचा, म्हणून हाही नियम कोणत्याही द"
शांशसंख्येळा ठाग झाला पाहिजे.

उ. ३ रें. २४६८ > १००० :- २४६८०.

उ. ४ थे. २९'६८-- १००० > *०२४६८.

पूर्ण संख्येच्या ढायी कडे शून्ये घेतल्याने तातीळ अंकांच्या
परिमाणांत बडळ होन नाहीं, म्हणून त्या संख्येची किंमत बद-
ळत नाहीं. ह्यावरून,

५७. नियम ६ रा.-- देशांशसंख्येचे पुढें कितीही शून्यें मां-
डिलीं तरी त्या संख्येची किंमत बढळत नाहीं.

उ. '२५ मव नवववव २५०.
_ कारण दशांशावर शुन्य दिलें असतां त्या अंशाची दसपट
होते. पण त्याच शन्याने त्या दर्शांशाचें स्थळही वाढे जाऊन
त्वाच्या ठेदाचीही दसपट होते, त्यामुळें किंमत बदलत नाहीं.
म्हणून ज्या संख्यांत दशांशस्थळें कमी असवील त्यांचे उजवे
बाजूस शून्यें देऊत सर्वांची दशांशस्थळें सारखी केलीं म्हणजे
सबीचे समच्छेद होतात. जर्से--'२५ व, '५ यांचीं समच्छेइ-
रूपे '२५ ब '५५ हीं आहेत.

दशांश अपूर्णांकांचे उजवे बाजूस कितीही शून्यें दिलीं तर

दुशांश भपुर्णाक ६१

त्या अपूर्णांकांची किंमत बंदळव नाहीं, परतु जर डावीकडे शून्य
दिळीं, तर त्यास 9०, १००, 9००५, इ० ह्यांनी भागल्यापरमाणे
होतें हे नियम पढच्या उदाहरणांत तपासून पहावे.

मव्कार 1] डा
ऱ्य द टि २३ कुळ
__ 30 : 2 2
9 फय दा फप-तनाळ ल्य वड.
र पुवळक हि पज ००५ ""दवठव्वढ
__ 9300... 3 12 ड़
३१०० पटव म्यकठ नणय ०९७७ प्यऱवाठ
पु७व्ढ ठ प्छ
ग] नु ण च न ७ ०2००

अभ्यासाकरिता उदाहरणें. ६.
पुढील संख्या दशांशांत भांडा.

१. तीन आणि पांच दशांश; चार आणि सात शतांश वब
तीन दशांश ; सहा आणि आठ शतांश व चार दशांश; सहा
दर्शांश ; चोदा शतांश; एकर्शे पस्तीस सहस्रांश; चार शतांश;
पांच लक्षांश

२. अडावील प्रणीक पेचवीसशे सच्यायशी दशसहस्रांश; प
नास पूर्णाक, चार हजर सहा दरसहस्तांशा; सातर्श नऊ को-
व्यंश; आठ लक्ष सडाशें दहा अब्जांश; चार हजार सहाशे
आठ दशलक्षांश.

३. आठ हजार चारशे तीन शतांश; चार कोटी सत्तेचाळी-
सर्रे पंथरा सहलांश; अडाबीसर्श चार दशांश; सात हजार चार
शवांश; नव्वदशं आठ सहस्तांश

४. चार, सात. द्शांश टिंब, आठ, पांच, एक ब चार; स-
हा, द. चि. शून्य, चार भआाठ शून्य शून्य, पांच ब दान;

पुढीळ दशांश भ्रथम संख्यांच्या रांगांनां वाचा, नवर भागा-
नुबंध पूर्णाकाप्रमाणें वाचा नंतर विषम अपूणांकाभमा्ण बाचा

५३७: ०९9 «१५? "८५६०७८९, ००१%०१'१

& ९८७६१ १2१२१ २१५०७००००० १५६७८५

पुढीळ गुणाकार ब भागाकार दु. चि. मार्गे किंवा पुढें सा-
रून मांडा.

-

र अंकगाणित.

७. ८'००१०५६ ह्यांस १०० नीं, १००० नीं, आणि
१०००० ह्यांनी गर्णा,

टॅ. ' ०१७रेट ह्यास १० नीं व १००० नीं गुणा, आणि
“००५२२६ ह्यांस १9०००००००० नीं गुणा.

९, ७१'५३ ह्यांना १० नीं ब५०००२नी भांगाब १३'७१६५
ह्यांना १०० नींब 9१००० नीं भागा.

१०. ५७१२७ ह्यांना १०००० ह्यांनी, १ ळा १००नीं आ.
णि '००१ ह्याळा १००० नीं भागा

पढीळ दशांश अठूण!क व्यवहारी अपूणाकांच्या ख्पांनीं मां-
इन त्यांचीं अविसंक्षेपरूषे काढा

११. ४ २१७५; ८३२५ '२७८४५५; २३०४०९६

१९. ०?'००६८'७५५: ५ ००?९६८७' २२२४६४

पुढीळ संख्या भागानुअंध पणोकाच्या रूपांनी व्यवहारी अपू-
णाँकांत मांडून, त्यांतील अउूण भागांना आतिसंक्षेपरूपें या.

१३. ११०४६७५; ९'२२२१८५५; २२'०२६८७'५

५2 ८ट८९'०१ २३ ०७-५५ १२'०८०'५६६८८९० २२९२
. पुढील व्यवहारी अपूणांकांस दशांश अपूर्णाकांच्या रूपांत
मांडा.

१११ जे. 0 0८ २०.50 0१-१

५५१ "पेठा? कव)! व 55३३

ह. सप 112 लीच
१६. व: १ ०००? दवु०००० वळवळ डठढाढठक

१७, २ ठशांश -- २ शतांश -- २७ दुशलक्षांश.
$८. ११ दशांश -- ११ सहस्रांशा -- ११9 लक्षांश.

१९. १२--२ सहसखरांश - ५ दशलक्षांश.

२०. १०३ दूशांश--१० सहस्तांश -- 4०१ दुशलक्षांश.
पुढीळ दशांश अपूर्णाकांस व्यवहारी अपूर्णाकांच्या रूपांत मांडा.

२9, '०१७; "०००२; "२५; _ 'रऐेऊप,
२१९. ०२०७५; १२२५; "१८७५; ३'रेरेष,
२४. ०००६८७५; '०२2०९३७५; २३०१८१२.

१४, १५२०३१ २५; '००२३४१७५ ४'००७८१२५,

_ दशांश अपूर्णांक. ६३

दज्ांश अपर्णाकांची मिळवणी व वजाबाकी
७८. रीति-दिलळेल्या संख्यांची दशांशचिन्हे उभ्या रांगेत
थेतील अशा संख्या मांडून, त्यांवरच्या रिकाम्या स्थळीं शून्ये
कल्पाबीं हणजे एकेकाच नांवाचे अंक प्रत्येक उभ्या रांगत
येतीळ, हणजे सर्व संख्यांचे समच्छेड होतील
नंतर पर्णाकाप्रमाणे एकेकाच नांवाच्या अंकांची मिळवणी
किंवा वजाबाकी करून, ते अंक त्यात्याच अंकांखाळी मांडीत
जावें.उदाहरण करितांना दशांशचिन्ह नाहीं अस समजून चाळाव
नंतर दशांशचिन्हाखाळींच दशांशचिन्ह करावे.
उदाहरण १ छळ. २८१९६, ०९१८, ८, '८७५ ,
3१२७८८, ४'००८७ ह्यांची बेरीज करा.
उदाहरण २ रें. २४१८० आणि १'२२३४ ह्यांची
बजाबाकी करा.
उदाहरण ३ रें. ४६८; ९६४; १०००८९; ४८२३
आणि '६ यांची बेरीज १२७२०९ ह्यांतून बजा करा
हीं उदाहरणें खालीं सोडविळीं आहेत

उदाहरण ? छं. उदाहरण २ रं. उदाहरण दर

२'८१९८६ २१४१८० २२७२०९
"०0९३८ १'२२३९ * ८०7०४६८
ट'७००० ग ५७६ ९'६४०५०
*द'७५० १७१००८९
११'२७दट | ४'ट२१०

_ ७५००८७ ०*६००८
"७०७०९ ट'६०१'०

अभ्यासाकारितां उदाहरणें. न.
१. ११ रेत १४-००४-/०००न२े३१ ००१.
२. ३२१'९--१२--२११६१ ५४०१२२१ ४-०४१४५ ६२.
१. '००१२१३१-४५'६११२--२२४००१ २--१४१००५६,

६2 अंकगणित.

४.११००००१२३१--३११'१--११७'१५४--२१४२१'००८--०००२

५, १२'००१-१२'९९९; २३ ४५-- ०००९ट,

६. २११४१५-२'००८; १४१२-२'९९९८७.,

७, २२'०००१-२'९९९९; २४१॥५'६-२४१४'५९८७,

टॅ. ००१०7० ००९९८७; २९ ००४-९'८७५१६'५.

९. १"०१५४२-*१७४२; २१'०५४-१०१५४. |

१०. *०१२३-०१०९०८७; १'१३-२'९८७६५.

११.७'६५४२१२७-'३७९३०८६--९'०६९९-००९९९--३४.५

१२.१६'९४५-२९९४२१८७-०६७१५-०००७--९५३--०'८

१५. २७ दशांश २४५ शतांश १७ सहस्रांश आणि ४२५६
दूशलक्षांश ह्यांची बेरीज करा.

१४. १४७ दशसहस्रांश आणि ३४७ दशलक्षांश ह्या संख्या
दुशांशांत मांडून पहिळींत दुसरी वजा करा.

$५. वतुळाचा व्यास एकं हाटळा तर वर्तुळाचा परिघ
२१'१४१५९२६५३५ येतो ह्या मानाचे जागीं ३१४१५
ब ११४१६ ह्यांतून कोणतें स्थूळमान घेण्यांत चुकी
कमी होईल तें सकारण सांगा.

दशांश अपू्णाकांचा गणाकार.

५९, रीति.- गुण्य ब गुणक हे एणांक कल्पून त्यांचा गु-
णाकार करावा

नंतर ह्या दोहांवीळ दशांशस्थळांच्या वेरजेइवकी अकस्थळे
गुणाकारावरचीं ढावीकडे मोजून त्यांच्या मार्ग द्शांशचिन्ह करावें.

ह्या बेरजेपेक्षां गुणाकारांतीलळ अंकस्थळें कमी असळीं तर
त्याच्या डावीकडे तितकी शून्ये देऊन, त्यांच्या मार्गे दशांश'
चिन्ह करावें.

"नाणी 0000000 लर करना च राप 7-0): ०० 2 ९८ 0 टाकत ०००

* संख्या एकदम लक्षांत यावी हणून सखवल्पविराम चिन्हांन' ती तोडून
लिहिण्याची चाल आहे. जसें १०,०००-२१० हजार; ५,१५;३२२ २४ लक्ष
१५ हजार २ रें र्र,

द्शाहा अपुर्णाक, ६

उपपात्ते.--वबर दिलेल्या दुशांशगुश्यांताल दू. बि. ४ स्थळें उ-
जवेकडे सारावे आणि दुशांशगुणकांतील दु. चि.) स्थळ उजवे कढे
सारां तेव्हां ते गण्यगुणक पूर्णीक कल्पिता येतील. या स्थठावरून
पाहतां पर्णाक कल्यिळेला गुण्य दुर्शांशगुण्याचे १०,००० पट मोठा
असला पाहिज व पूर्जीक कल्यिळेला गणक दूशांशगुणकाचे १ ० पेट
मोठा असळापाहिन. आता (अ. भा. १.क. १५८ १ दुशांशगण्या-
चीच १०,००० पट केली तर तो गुणाकार दुर्शांशगुगाकाराचे
१०,००० पट मोठा येईळ णि दूशांशगुणाकाराचीही १० पट केली
तर तो गुणाकार दुशाशगुसाकाराच्या 9०,००० पटीचे १० पट
मोठा येईल. झावरून हा पूणाकी गुणाकाराला १०,००१०>१० द्रा
छृंद्‌ दिळा तर तो इच्छिळेला दुशांशगुणाकार दाखतील. भाता ह्या
गुणाकाराळा १०,००० > १० हा छेद देंग्यासाठी हा. छेदांतील
झुन्थांच्या ( झणजे गुण्यगुणकांतीळ दुशांशस्थलांच्या ) वेरजंइतडी
स्थळे मोजून गुणाझारांत देशांएचिन्ह कुळे पाहिजे. ह्यावरून बरील
राते सिद्ध आहे.

उपपात्ति २ री.--हा गुणाकार व्यवहारी अपूर्णाकाचे आधारे
असा येतो की,

०

ह्यांत गुण्य व गुणक हे पूणीक असल्याप्रम णेंचे त्यांचा गुगा-
कार येतो. आणि गण्बगुगकांतीळ दूशांशस्थळांच्या नरजेइतकी
शूर्न्ये १ बर, हा स्याला छेद येतो. किवा त्या बेरजेइतक्या स्थळा-
च्या मार्गे दुशांशचिन्ह होते, झणून त्याच झति करण्यास बरळ
रीतींत सांगितळे साहे.

झू ७. कट १ «>, ] ळे, ह
1 ७ (0 “. ना, नी, न टि « १ रर
न टर सर पळ कट कद न्य ६0 ८7...

उदाहरण र रें. *००४८ ह्यांस '००००पेरे ह्यांनी गुणा,
आणि १'००५ > ०१०५ * “००६७९ दा गुणीकार करा,

६६ भरॅकगपणित,.

*“०शेट १*७५८१'-
“50006१२ *७०'५
7777772५9६ हे उचर. ००५०२९५

००८१९
२०१०९
२३०१'५०

*5०2००>ऐ२१६००-१००००२१०९९ ८ उ,

अभ्यासाकरिता उदाहरणें. प.
», २२'५> २२'१६ ;, ४४१ > २२३२१,
“०००१ ><'००१ ; रै२'१ > २'११.
,*'००३२१% २१'४५ ; ०००२ >३'०१,
, २२'५><०२४१५'००२४; ०००३ >< "०१ ५०००००,
, २'७>% '२७% ०२७>६ २७०,
, *२9>'०४ > "००८ > ६४००५,
७, १"१ > ०११ १०१ > ०१०१,
टॅ. '०१३>१ ६>'००७>६३१*०५.
९ ३२५ दशांशांस ५४७ दशलक्षांशांनीं गुणा, भाणि
१२८ दुशसहस्रांशांस ७८१२९५ कोव्बंशांनीं गुणा.
पुढीळ पठावठींच्या किमती काढा.
१०, ( की ) > "७०३; १७'१ - १९०८ > "१७०३४;
*०५>*०२५> ०००२५.

8 द. 6७.0 टॅ७% 0

६१. ४९9 १०५> '००६ > ०००७>८०००० ७;
*ट९५>»9२*००१७ > ७४ > ०९ १००००,

दशांश अपर्णीकांचा भागाकार.
६०. रीति.--भाज्य व भाजक हे पूर्णांक कल्पून त्यांचा
भागाकार करावा,

दशा अंपूणाक दृश

भाज्यांतील दशांशस्थळें भाजकांवल्याहून कमी असळीं, तर
तितकीं त्यावर शून्ये देऊन, मग भागण्यास लागावे

नंतर भाज्यांतील दशांशस्थळांत भाजकांतीळ दुशांशस्थळें
वजा करून, त्या बाकीइतकीं नागाकारावरची अंकस्थळें डावी-
कडे मोजून, त्यांच्यामागे दरशांशचिन्ह करावे.

उदाहरण ५ छे. ०८०५ ह्यास २३ ह्यांनी भागा.

२'१) ०'८०५ ( ०'१५ हे उचर

शन , "कूक शं क्य
ट्र्ट ०270 क

६९ उपपाति. --येये भाज्य पूर्णाक क-
१ न नाग्या ण्‌ नोन पुचि
१११ एपल्याल त्याचा १०७७ पट दांत, आझण
र ह कस्य भन भ््य् न्ि ऱ्ची न
१1. भाजक ५०५: काल्पल्या त्याचा १०
क्क क. अजब भाज्य य
9०9९ पुत क, परसा मोज्य १००० पठ माठा
क्यो र्म म मुकला च 4७. 8 * **. र. र
घेतला हणून हा भागाकार १००० पट मोठा नसा पाहिजे. त्सॅ-

च भाजक १० मोठा घेतला झणूच हा भमागाळार १० वा ह्स्पा
लह!नही भघतला पाहिजे, ह्यावरून ३५ हा मावाकाराला 9०००
मीं मागूभ १० नीं गुणळे झगजे शता भागाकार येईल, आतां
दुशांशांतील नि. २ प्रतार्णे ५५ ना. १००० भी भागावयाचें
हणजे त्याव्राळ दुश!श ज्यांतल्या दुशापस्थळाइतचकाी स्थळ
डावीकडे साराब्याब (ज | 3, आणि ह्या नागाकाराला 9०

( गणावयाचें दाणजे ते दुणाता विळे भाजकांतल्या दुशांशस्थळां-
इतकीं स्थळे तेथन उजवीकडे सारावमाचे ( जर्रे ०'३५ ). येथ

(७,

माज्य व भाजक ह पणा

कल्पून भागाळार केळा, आणि त्यावरचे
दशांशचिन्ह भाज्यांतःल दु. स्थ.-ामागकांनीोल दू. स्थ, इतका
स्थळे डावीकडं सारल्यान खरा न.गाजार काळा, म्हणन टाच फत
करण्यास वरील रीतोत सांगतल आडे

व $ क वी ८७(५ _.. २३
उपपाचत २९ शा ल्य पठ भ्ड शे - म्य दुषाढठळे ४ 'दोढे
--- ८७५ / ९१0 ..- ६९७
मम बुढ्डठ > दष - ९५ > वाढवत
न क लही
| म वृक > २९५ ४ उत्तर,
ह्या व्यवहारी अपूर्णीकाच्या रीतील आपण भाज्य त भाजक

ह्यांचा मागाकार (३५ हा) एणीकाधमार्णेच उत्पन्म खेळा, नंतर

६८ भंकगगणिक,

माज्यांतील दुर्शांशस्थळांश्‍तक्या १००७ सा मधल्या शून्यातून मा-
जकांतील दु्षाशस्थळांइतकीं ५३० मधलो शून्य वजा दिळी, आणि
थाकी (२) हततके भंक भागाकारांत ( झणजे 3५ त ) मोजून
त्यांच्या मार्य दुशांशतिन्ह केले, हाच कति हरएक उद्डाहरणांत या-
चयाचो हणून हो रीति खरी आहे.

उदाहरण २ रे. ८.०५ ह्यांस '२३ आणि '००२३ ह्यांनी वे-
गळालं भागून कारण सांगा.

ट* > "र ७॥/ 3 टा"6५१
ी शब डडड्ॅक्स त्र ट्‌ कळे 'मिलललामले. श
कार0 ८76!» टत > टॅ७ ५६७०
] र्ण क हय ७८७ "न पददा 'टदु"ठिठे >< "४७7
८७- ._.. 5-१
रडे ली: केण
तर्सेंच 0 0 त तात
७००८५5 पव पे0०काणादेठटर "णणाड्वाटणा
८८७१० टे

६9. सचना. - भागाकार करतांना जेव्हां भाग बरोबर तुटत
नाहीं, तेव्हां भाज्यांकांवर आण्ब शून्ये यादी, व तीं भाज्यां-
कांतीळ दर्शांशस्थळांवळींच आहेत अथे मानावे. भागाकार
पुरा करतवेळीं भाजकाच्या निमाक्षां अधिक बाळी राहिली,
वर तो भाग एकाने वाढधावा ग्टणजे कसर कमी जाइळ.

उदाहरण ३२. २'५ ह्यांत '३२ ह्यांनी भागा, आणि
१ ह्यास "०१३ ह्यांनी भागा.

३२) २५००००० (७८१२५ '०1३)१०००००००(७६९२३०
> "४

- बु. ह त्ता
र कुठे ऐट. याकीबद्दळ १
- ६. ष्ञ्ट्ट
"४० ्ट्
57२ ६५५७
£र तः
4५६20 ९
८2 ८८ 2
“उत्तर5'ट१२५ उनर ७६'९२३११,
आ क प्र न्द् यी व पं ज्घृ _ ढ वा
रीति २ री-भाजक्रांवग्या ठादीकरल्या ज्या अंझानें भाग ब-

अ.

सविर्णे असर्तीळ त्याचे पुढें द. चि. साहनतो अंक एकं करावा.
ह्या छतीते जिकडे जितकी स्थळे भाजकांवळे दशांशचिन्ह सार

दशांश भंपूर्णाक. ६९

रिळें असेळ, तिकडे वितकींच स्थळें भाज्यांवळें द. चि. सारावें
नंतर ह्या एकंनें भाज्यांतल्या ज्या परिमाणांकाळा पहला भाग
बसेल त्याच परिमाणाचा तो भाग समजावा. झणज भारभा-
पासूनच प्रत्येक भागाचे स्थळपरिमाण समजत जाव

उदाहरण. *०११५९५ ह्यांस '२७५ ह्यांना भागा.

५3५) “० 6१५९९५० ०५८

कोकीळ उपपर्ति. भाजकार्च दु. चि. एक
-... स्थळ उजवेकडे सारल्याे त्यांतला
2... डावीकडचा अंक एकं होतो. हणून
दिलेला भाज्य व भाजक त्य: दोह ींड्री दू. चि. एक एक स्थळ उज

बीकुडे सारून ते संभानपट स
ब भाजक या दोहोंच्या समान पटी केल्या तर भागाकार वदूढत
नाहीं, हणून बाजूचा नागाकार हा शक्छिदल्या भागाकाराइतकाच
येइल.

कझातां २ या रळंने 9५ या शुतांशांना लांगिळ तर « दा शर्ता
शांचाच भाग ठांगरेळ. झारण ९ एक हा टणक न ५हा गण्य
चांचा गणाकार १५ शतांशांत बजा होण्यासाठ! शताश दारखा[पेणारा
नाला पाहिन. गणक एकं असला तर गुणाकार गुण्याच्या जाती-
न्या बाबचांचा, कझणूश ५ हे शतादच असल पाहिजेत. यावरून
एकुनें ज्या परिमायाळा भाषाच त्याच परिमाणाचा भागाकार या-
बयाचा असा बहिवाटीचा नियम निबता, हा! नियमाप्रमाणे ५
शतांशांचे स्थडी मांडून मागाडार पुड चाढावला, तेव्हां ५८ सहृ-
सां ह उचर आल.

केन्क

अभ्यासाकारेतां उदाहरणे. फ.
१, १५'६२५-- २५; ०१५२२५ ५ २४.
२. १५६२'५--१०००२५; १ ४५६रकया २५०००.
३. १८११४-- १०००३१७; १७१९९ २०३.
४. ९०६५: *०४९; '०९० ००).
३. ४२३ १९११७ 60५ १७ ६८,

छे अंक॒गाणिर्त री

६. १५-- ६'२५; १७'२८-- ०१४९.

७. दत्त गा दा या 0 तिर ७१८०*७४५९२५९-:- ०००२९.
द, '०००२-- ०१६३; ४९-००२५५,

९. १११ - १९५७६: '*०१२१-५-३२'१.

०, २'११७-- ००9७३; *०१२-- २१३७.

'१ ला '०१ नें भागा; '०१००१ ह्यांना "००१ ने
भागा; ९२'७ ह्यांना ०६ ह्यांनी भागा; आणि ९९ ना '०००९
ह्यांनी भागा.

'२१३४१९'५९६ ह्यांना '१००१३०३ ह्यांनीं भागा;
२५. ह्याळा *०२९'५ ह्यानें भागा आणि ००१ ह्याळा '1००१
ह्ांनीं भागा.

५१३, २ ब २२ शतांश आणि ७७४ दशसहसत्रांश ह्या संख्या
दूशांशांत मांडा आणि पहिळीला दुसरीने भागून भागाकार काढा

पुढीळ भागाकार सांगितलेल्या स्थळांपाबेतो करा.

१४. "७६५९३५ 5 १५९ २१) ६. स्थ. ५; ५ ७६'९१२१४२
ठढ.स्थ. ८६

५ '०४६-- ०९०१५६२०८९ डु.स्ट्र. ४; '३२१६५५-
'>०५३१५२१६ दु. स्थ. ३.

१६. '०११८५ > ६१ २१५» - २०५» २१८११२९२१६ ८
( ट'९९ > २०'८),

१७, '३९९ > '5०७-- ००००१९३ २०५ > २१७--
"००४९१.

१८. १५८४०२ >< १'६८९ :- ६७२'४ द्‌. स्थ. ६;
२०६५९ -- १८७२ > '००१ द स्थ. ५.

५

(*4
“5०७५५८२१११ , **२५८५> ००६४. जं. २११२५८
००७०0००. के नक चच की क्क् क क त
र

ह्यांचा सरळ रूपं या.
"2६५, २०९५, १७'१५, २८४५७ भाणि १६'१६८५
ह्यांच्या बेरजेला '०२९९६ ह्यांनी भाग

दुक्ादा भपूणांक. ७१

२१. २०'३२ आणि *०११७ ह्यांची बेरीज, वजाबाकी, गु-
णाकार ब उठट सुलट दोन भागाकार हे करून ह्या सर्वांची
बेरीज सांगा,

२२. -रटेर > र्‍्येणरोर्ट हयांच्या सरळ रूपाळां '०१२५
ह्यांनी भागा. क.

व्यवहारी अपूर्णाकास दशांश अणूणीका्चें रूप देणे,

६२. रीति.-व्यवहारी अपूणीकाचे अंशावर पहिलें, इसर,
इत्यादि शन्भे घेत जाऊन किंबा एकदम कांहीं शन्ये धेऊन द-
शांश भागाकार करावा. येईळ तें दशांशरूप होय. ह्या त्यांत
भाग तुटळा तर उचर खरें थेईळ, नाहीं तर नियमित स्थळापावे-
तोंच उत्तर खरें हेईल.

उदाहरण १ छे, ३४ ह्यांना दशांशाचे रूप या.

1000 -)) उपपत्तिः--१५ रकंवर पहि शून्य घेतलें,
ह्मणजे १५ एकंचे दुशांण १५० होतात. वारण, १ एकं १०
दुशांश. ह्या दुशांशांना १६ एकंनीं ९ दुशांशांचा भाग लागतो,
आणि बाकी ६ ही दुशांशांची उरते. ह्या बाकीवर दुसर शून्य घे-
तळे हणजे, ६ दुशांशांचे ० शतांश होतात. कारण, १ दुशांश >
१० शतांश. हछांना १६ एकंनी 3 शतांशांचा भाग ळागतो, भाणि
बाकी १२ शतांश राहते. ह्याप्रमाणे पहिळे शून्य घेऊन लावलेल्या
मागाला १० चा १ घाःत झ० १० छेद येतो, दुसरे शून्य घेऊन
लावलेल्या भागांठा १३ चा २ घात ह्म० १०० हा ठेदु येतो, ह्-
णजे जितकी शून्ये ययावीं तितक्‍्याबाच १० चा घात छेद्‌ येतो.

येथें १५ बर एकदम * शून्यें घेऊन त्यांचे द्शसहस्रांश केलेले
कल्पिळे तर ह्या दृशसहरत्रांशांना १६ एकंती ५३७५ दुशसह्खा-
शाचा भाग ढागळला असे हट पाहिजे, आणि हा भागाकाराला
१० चा त्या शुन्यांदतका ह्मणजे ४ घात हा ळेंद्‌ जोडिला पाहिज,

अथवा अपूणीकाचे अंशछेदांना १० च्या समान घ.तांनी गुणले
तर त्या अपूर्णांकांची किंमत बदलणार नाहीं हणून,

७२ अंकगणित.

हाही विचारे बर्रील कृत्याची उपपात्ते जुळते,
६४. ह्या कत्यांत अपर्णाकाला जो छेद असतो तोच छेद्‌
त्याचे प्रत्येक स्थळींच्या बाकीळा असतो. हाणून त्या बाकीची

किमत तेथल्या एका स्थळपरिमाणापेक्षां कमी असते. उदाहरणार्थ
बरीलळ कृत्य २ दशांशस्थलांपावेतोंच केळें तर ६ ९२३३ ये-
ताव, व भाग तुटेपर्थत केठें तर उेहू > ९२७५ येतात. ह्यांत
शतांशस्थळींची बाकी १२ आळी आहि. ती जर १६ आली अ-
सती तर तिची किंमत ) शतांश असती, व ३ चे जागीं ४ हा
भाग लागला असता. परंतु हिची किंमत शतांशापेक्षां कमी
आहे, हणून पुढीळ ठुत्यांत ह्या बाकीचे जागीं *००७५ आले
आहेत. ह्याप्रमाणे कोणत्याही स्थळींच्या बाकीबरोबर त्या स्थ-
लावरची एकंद्र द्शांशपंक्ति असावयाची. ह्मणून, |

६४. नियम 9 ठा.- कोणत्याही स्थळींच्या बाकीची किंबा
स्थलाबरच्या दशांशपंक्तीची किंमत ही त्या स्थठांच्या १ परि-
माणापेक्षां कमी असावयाची.

ह्यावरून उई. च जागीं '९२ ही किंमत घेतळी तर बाकी १२
सोडल्यासारखें होते. आतां ही बाकी १६ असती तर ३ बद्दळ
भाग ४ चा लागला असता. ह्मणून बाकी सोडल्याने जी कसर
जाईल ती केळ पेक्षां कमी जाईल, व '९२७ ही किंमत घेतली
तर पळत पेक्षांकमी कसर जाईल

उदाहरण २ रं. £5 ह्यांना दशसहस्रांशापावेतो खऱ्या किंम-
तीचे दूशांशरूप यया

येथें भागाकारांत दशसहस्रांशाचा भाग लागेपर्थत करीत
जाऊनं पुढ बाकी सोडून दिळी पाहिजे. अथवा १०००० नीं
अशळेदांस गुणिले पाहिजे

द
हषांतीलु घे ची किंमत वरील नियमातमाणें १ दइशसहस्रांशा*

दशांश अपूर्णाक. ७३

पेक्षां कमी आहे, ह्मणून *०४६८ हें छो रचे इच्छिलेले रूप
आहे. हणजे दशसहतस्त्रांशापावेतो खर्‍या किंमतीचे रूप आहे.

६१५, वरीळ रीतीवरून असें दिसून येईल कीं, दिलेल्या अ-
पर्णाकाच्या अंशछेढांना १० चे समान घात गुणक जोडावे,
नंतर अपर्णांकाचा छेद आणि अंशस्थळींचा १० चा घात ह्यां"
ना संक्षेप जाऊन त्या छेद्स्थळीं १ राहिळा तर दुशांशरूपाचा
शेवट होईल, आणि छेंदस्थलळीं दुसरा अंक राहिला तर तेथ
दशांशरूपाचा शेवट होणार नाहीं.

आतां १० चे अबयब २ >< ५ हे आहेत, हणून १० च्या

कोणत्याही घाताचे अवयव २९ चा तेवढा घात > ५ चा तेवढा
घात हे असावयाचे ह्यावरून अपूर्णाकाळा अतिसंक्षेपरूप दिलेलें
असलें, व त्याच्या छेदांत २ व ५ ह्यांचेच घात अवयसवरूपाने
असले, तर त्यांचा संक्षेप जाऊन छेढस्थळीं १ राहील. ह्मणून,
_ ६६. नियम २ रा. -- अतिसंक्षेपरू्प दिलेल्या अपू्णांकाच्या

छेद्स्थळीं २व ५ ह्यांचेच घात अवयसवरूपाने असळे वर त्यां-
तीळ मोठ्या घाता इतक्याव्या स्थळीं त्याचें दशांशरूप संपेळ

उदाहरण ३ रॅ. :पव्व् ह्या अपूर्णाकाचे दशांशरूप कित-
व्या स्थळीं संपेळ ते सांगून, ह्याळा दशांशरूप द्या.

ह्या अपूर्णांकाच्या छेंडाचे अवयव ५ > २ हे अहित. ह्या-
पेकीं अवसव अंशांत नाहीं, ह्षान ह्याच्या दशांशरूपाचा शेवट
७५ व्या स्थळीं होइळ. जसा,

(क
2१ जं >< पवळे त:..... १.१ 1.» 9८
१२१५०० २५७०७ ६०७०००७ ८५८२ दु

टं ०७५ २2१ >< 3

०-० या पिं डे ब्ागब्बबुख््स्ब॒बआअ व्य कमलखथथा क्य

५५ १> १००००७ “] वः

ट्ट ६८
६ १००००० ००७००७

६७. नियम ३ रा.--भतिसंक्षेपर्पी अपूणाकाच्या छेद्‌स्थ-
ळी २व५८ त्यांच्या घाताख॥ज मक असला, तर त्याचे द्शाश
इप कोटेंही संपणार नाहीं, भाणि रूपांत त्या भंकापेक्षां कमी
स्थळांची अंकपकि पुनः पुनः येत जाऱ्ल

ज्छ | अंकर्गजित.

उदाहरणार्थ इ हा अपूर्णांक घ्या. ह्याचे छेद्स्थळीं २ "७
अवयव आहेत, हाण्टान क्रमिक भागाकारान दूशशरूप दता
संत. पढच चखत्य पहा

य. सिता तणागत हा भागा

१०७१४२८५७१
स्थळें येऊन संपाबथाचा परंतु ह्या भागाकाराळा ७ नीं भागू
ळागळें असतां १० मध्ये ७ हा अवयव नसल्यामुळें प्रत्येक
भागापटें ७ द्या छेदाची बाकी रहात जावयाची, हणून ह्या भा-
. गाकाराचा शेवट कोठेंही होणार नाहीं

दुसरें, ७ नीं भागतांना प्रत्येक वेळची बाकी ७ पेक्षां कमी
रहावयाची, झणून फार तर ६ वेळ बेगळाल्या बाक्या राहताल,
बरच्या भागाकारांत १, ३, २, ६, ४, ५, ह्या क्रमिक बाक्‍्या
राहतात छा तपासून पहा. हझापुढ पूर्वीची बाकी पुनः राहून
तिची पर्वापमार्णेच १० पट व्हावयाची, हणून तिळा पू्वाचाच
भाग पनः ळागेल ब त्यापुढे पू्वांचीच दुसरी बाकी पुनः येईल,
हाणन असल्या अनत ओकापावितो चाळणाऱ्या भागाकारामध्यें
फिरत्या भोंबऱ्यावरच्या अंकबळठपाप्रमार्ण एकदा आठलांच अ-
कपक्ति पुनः पुनः येव जाईळ हे. उघड आहे. ह्याप्रमार्णे वर ,
डिळेला आवर्व दशांशाचा उत्पादक नियम सर्वाशी खरा आहे.
आदर्त दुज्यांश

६८. आदर्त दर्शांश.--ज्या अपूर्णाकामर्ध्ये नेमळेळेच अंक
तशाच क्रमानें एनः पुनः येतात, त्याळा आवर्व दशांश ( भोव-
याचे दशांश ) हणतात, आणि त्या नेमलेल्या अकांना आव-
ताक किंवा आवर्तपा्कति हणतात. जर्से १३७५ ३७५ २७५६३०

६९. ठेखनसंकेत.--आवर्न दशांश मांडणे असळा हणजे
त्यांतल्या आवर्ताकावर किंवा आवर्वेपक्तीच्या आयंतींच्या अं-
क्वांबर टिंजे देतात. ह्या संकेतानें हे दुशांश अनंत स्थळांपांवेती
प्ांइळे जावात.

आवर्त दशांश अपूर्णांक. ७५

उदाहरणार्थ पुढीळ अपूर्णांकांच्या बरोबरीचे दशांश ब त्यां«
तीळ आवबतीक किंवा आवर्वपैक्ति पहा.

म. गी ता
दु सा *४'- ्झ र २५९७
डु ४२८५७ &- '१०७१४२८५

११

सदु“ ९२५९२.

७०, आवर्व द्शांशांत दोन प्रकार आहेत एक खु ब॑ दुसरा मिश्र.

७५. शुद्ध आवर्त दक्षांश.-ज्या आवर्त दशांशांत द्शांशचि-
न्हाशींच आवर्तैपक्तीला आरंभ होतो, त्याला शुद्ध आवर्त द्यांश
हणतात. उदाहरणार्थ वर दिलेळे डाव्या बाजूचे दशांश पहा.

मिश्र आवर्त द्यांश.- ज्यांत दशांशचिन्हापुर्दे कांहीं दूशां-
शाक आल्यावर आवर्वपक्तीला आरंभ होतो, त्याला मिश्र आ-
वर्त दद्यांश हणतात, आणि चिन्हाजवळच्या दशांशांकांना!
अनावर्ताक किंवा अनावर्वपंक्ति हणवात. उदाहरणार्थ वरती उ-
जव्या बाजूस दिलेले मिश्र दशांश आहेत भणि त्यांतील
०, २, व १०, हे अनावर्ताक किंवा अनावर्तपंक्ति आहेत.

७२. सूचना १ ली.-र्‍्वरचीं उदाहरणे ब दशांशरूपाचा नि.
२राव ३ रा द्यांवरून लक्ष्यांव येईळ को, छेद्स्थळीं रव,
५ ह्यांसेरीज अंक असळा तर आवर्तपेक्ति येते, तशीच २ब
५ ह्यांपेकींही कोणाचा घात छेद्स्थळीं असला तर त्या घाता-
इतक्या अंकांची अनावर्तपंक्ति येते. दुसरे १० चा घात अंशा-
मर्ध्ये अवथवरूपार्ने असळा, तर आवर्तपक्तीचा आरंभ पूर्णी-
कांतच होतो ( शेवटची संख्या पहा ) तरी आवर्तपक्तीचा
आरंभ कोठेही कल्पिता येतो, ह्मणून तो आपण दशांशचिन्हा-
पासन कल्पितो.

. ७३. सूचना २ री.-- एकाची पट कोणतीही संख्या असते ह्या
धोरणाने जर अंशस्थळीं १ घेऊन त्या अपूर्णांकाला थोडेसे
दु्शांशरूप दिलें भ्षाणि त्या दुशांशरूपांवळी बाकी त्यावर भरू-

७््‌ अंकर्गाणेंत॑.

णाँकरूपानें मांडळी, वर त्या दशांशरूपाची पट करून ते रुप
पाहिजे वितर्के वाढवितां सेवे.
उदाहरण. उ ह्यास दशांशरूप यावयाचे

आतां वर ०५२६३वक'

रः वो > १1५७८९

ब पुरून ०५२६११५७८५

०. वृक “४७३६८४२१०५ र

हणून दोरऱ'०५२६२१५७८९४७१६८४२१०णबर

ह्याप्रमाणें पढे करीत गेळे असतां द्र खेपेस अंक दुपटीर्ने
बाढत जातात.
वरच्या उदाहरणांत १८ स्थळांपळीकडे फिरून तेच ते अंक
भथेऊं लागले, ह्मणून भागाकारांत आवर्तपक्तीच्या खुणा खालीं
दाखविल्याप्रमाणे कराव्या.
वद :०५२६११५७८९४७३६८५४२१.,

________ अभ्यासाकारितां उदाहरणे. ब.
पुढच्या प्रत्येक अपूर्णांकाचें द्शांशरूप कोणत्या स्थळीं संपेठ
तें प्रथम ठरवून, नेतर त्यांस दूशांशर्पें या.

आ. त हि > १७७७,
१३. खळ; शपळ) द; व्स्प
१०६. ६५७ ४०००0 >
2९. युर; 1११)वरणवळ; रपच्; प्झ्द्
१३. ले १० ८१>
४. >इ४; ष९&$ दर्डढेळ; गेवैकवरफड'
४ १ १००२८ 13...
भी पव )? 'द०<४ >) १४००५१ एष
१
कची ८4 १
* ""्ण्पि--7) चे दृरपव्ळ; वर चे १ ज्ण्चेउं
१६. ६९३

पढच्या प्रत्येक अपूर्णांकाच्या दुशांशरूपांत अनावर्वपॅक्ति
किती स्थळांची येईळ, व आवर्तपंक्तींत कोणापेक्षां कमी अंक
येतील तें ठरवून, त्यांना दशांशरूर्पे या,

६ १) गो0 3 . ह १ 9
७ आाकाााक्क्ावा

आवर्त दांडा अपूर्णांक. ७७

४१ ११ २२_ २,
फ़, हे "०३२९? बघ्च्य १ १३दधरक
ट टू ९ ८4. ह. ह ही ४१११

०७ शरुांरर्टर १ «वा 9 ४ ९श्‍लटवव्१ 'चचकढ
१ >९१_ २९७_ 30७८ 1953९

९ दडऊठ०ठ १ इ९० ३१ रर ) ज्उउ्णप्र

त ह पका प _१_: हि

५०, वृऊ १ . राड >) दारू? शप

पुढील अपूर्णांकांना आवर्त दशांशरूपे या, आणि त्यांच्या
छेदस्थळींचा १ अंकाची पंक्ति देणारा अंक ९ मर्ध्ये, २ अंकां-
ची पंक्ति देणारा अंक ९९ त, ३ अंकांचा पाक्ते देणारा अंक
९९९ त, अशा क्रमाने आढळतात कीं नाहीं तें तपासा.

र रा ग द १
११, 5५३३ 5२) 33) ३०३ त,
४. बोते. १. 0.
३२. ५०५२? २3.११? ५९८११7१ ११
9३. झोऊ कर्टेव; की; ऊब
2. दो वडर वचा
१४. ऊ; क$; ३.११ 39१.)

आवर्त दश्यांशास व्यवहारी अपूणांकाचें रूप
देण्याचा प्रकार.
७४. उदाहरणार्थ ३५७ ह्या शुद्ध आवर्व दशांशाळा व्यव-
हारी अपूर्णाकाचें रूप देणें आहे अर्से समजा. आतां,
अपूर्णांक - *२५७ ३५७ ३५७ ३५७ इ.
१००० अपूर्णांक > ३५७ २५७ ३१५७ ३५७ इ.
वजाबाकीर्ने ९९९ अप्रणांक > ३१५७
र अपूर्णांक > टेरर
ह्या उदाहरणांत आवर्वपक्ति ३ अंकांची होती, हणून अ-
पूर्णांकाची १००० पट करून एक आवर्तपपक्ति पूर्णांक केली,
हणून वजाबाकींत तीच पंक्ते रिळक राहून तिळा ३ दांच ९
छेदस्थळीं आले आहेत. ह्या रुतीर्ने केवढ्याही आवर्तवपंक्तीला
व्यवहारी अपूर्णाकाचें रूप देतां येईळ. ह्मणून,
रीति.--शुद्ध आवर्व दशांशास व्यवहारी अपूर्णाकार्ये रूप

प्ड्टु अंकगणित,

द्यावयाचे झाल्यास ते आवर्ताक अंशस्थानी लिहून त्यांच्या
स्थलसंख्येइतके ९ छेदस्थानीं लिहावे. पुढें भूमिति अेढींव ह
प्रकरण पहा.

२ २७
उदाहरणे.
१.00 तटी
४०८ ७४ इह

क. 30७८,
१ क 3.
क 5११८

७५. सूचना १ ली.--शुद्ध आबर्व दशांशाचे शेजारीं द-
शांशाचिन्हाच्या अलीकडे एकादा एणाक असला, तरतो
भागानुबंध पूर्णाकाभरमाणें मांडावा.

उदाहरणें.
३४२ इटे; ५४६ २ ५४हे'

७६. सूचना २ री.- दिळेळे सर्व अंक उणा दशांशचि-
न्हाच्या अळीकडच| पूर्णांक, ह अंशस्थानी लिहून छद्स्थाना
, आवर्ताक स्थळांइतके ९ लिहावे.

उदाहरणें.
“ "डा रट ऱ "था
13. आ आती 1
५-८ _. ८४३ -- ५ -- 0९५३८ -_- "४३.
1-1. क १008... 3 61
ह्या रीतीची उपपा्चे पुढाळ लिहण्यावरून समजल
व्यक. १०0 प्रेरणे सेयटे
भि ९ वि ९ न ९
४३९2६९७4५२ ५(१९००- ०र्य र पपप्यणरता

१३ ळाड च त्र च्य (९ 7), “६.६

मिश्र आवर्त द्ांशास व्यवहारी अपुर्णांकाचे
रूप देण्याचा प्रकार.
७७ उदाहरणार्थ--१९८७२ ह्या मित्र अपूर्णाकाळा व्यव-
हारी अपर्णाकाचे रूप देणें आहे असे घ्या. येथ,
अपणीक -_ १९'८७२७२७२७२
१ ९००९० भपूणाक- १) ४८७२'७२७२७२७२०२ ३६

भवित दुक्षांच अपुर्णाक, 1

व्‌ १० भपर्णांक र १४८"७२९७२७२९७२७२ इ.
वजाबाकीने ९९० अप्णांकन १४८७२-१ ४८
क अपूर्णांक - 3४८ हेक र स्सेटेदेब हे उ

येथें एक आवर्तपक्ति पर्णांक व्हावी असा प्रथम गुणक घे-
तळा, आणि अनावर्वपंक्ति पूर्णांक व्हावी असा मागून युणक
घेतला, ह्यामुळें ह्यांच्या वजाबाकांत अशस्थळा पूणाक येऊन
छेद्स्थळीं आवर्तपक्तींतील ३ कांइतक ९ आले, आण त्यांवर
अनावर्वपक्तींतीळ अंकांइतकीं शन्ये आलीं. ही रुदि हरए
उदाहरणाला लाग होणारी आहे. हणून

रीति.--पर्णांक, अनावर्व, ब आवर्त, ह्या सवे संख्येंठून
पर्णांक व अनावर्व ही संख्या वजा याबी, आणि तिळा आव-
ताँकांइतक्या नवांवर अनाबर्ताकांइतकीं शून्ये चढ्वून तो छेद
द्यावा, ह्मणजे तो इष्ट अपूर्णांक होईल.

उदाहरणें.
१९ पक्क टेड
*०१४- >ेभ्स्डे ऱ्य "दव
५४३ पटकेक चधेरेडन हेर
००५४३६ > दरड न स्पडेई
२४६ न रव ककत २ २

अभ्यासाकरिता उदाहरणें. भ.
« शे; न ७"; "४ डं “७२९.
२. ०२४; '०४१२; ३१००६७२; २'०४रेरे.
७. ३४१८5 *०९९२३; ११४५); "००४९९.
४. ४०५३१६; "७६५३१; २३९४५; 1०९३१८.
५. २०९०९; "५४९५०३; १'०४२८५७१.
६. २६४२८५७, ; ५१९२१८; १४1२८७.

वित ेळ्आययययखबहिवा्बाहिमयय

८८6 अंकगणित.

आपवर्त दशांशांचा विनकसर कृत्ये,

७८. बर जी आवर्त दशांश अपर्णांकास व्यवहारी अपर्णा-
काचे रूप देण्याची रीति सांगितली तीवरून असें होतं कीं, जर
९ हा आवर्ताक आहे तर >> १ होईल. आतां ह्याच्या उलट
काते केल्यानें 3) > ९९९९ इ. आणतां गेत नाहींत ह खरे
परंतु थोडेसें लक्ष दिळें वर ९९९ इ. पुष्कळ ९ घेवळे तर त्यां,
पारखून जो दशांशांक थेईळ त्यांत आणि ३ ह्यांत जें अंतर पड-
णार तें लक्षांत आणण्याजोगें नसते, हणजे फारच थोडं
असतें. पहा.

१-९९९९९९९९९९-०००००००००१-रवबषकववळवठळठ'

ह्यावरून स्पष्ट लक्षांत येईळ कीं; ९ जितके जिवके अधिक
घ्यावे तितकी तितकी कसर कमी होत जाते. तेव्हां हे॑उवड
आहे कीं, ९ अनंतापानेतो घेत गेळें हणजे शेवटीं कसर शून्य
होईल.

ह्याभमार्णे शेवटीं कसर शून्य होते म्हणन १ > '९ कारण
९ ह्या आवर्ताकानें _ ९९९ इ. अनंत अंकांची पेक्ते स्रूचित
होते. ह्याचभ्रमाणें कोणताही आवर्ताक आणि कोणताही व्यव-
हारी अपूर्णांक ह्यांच्यांमधीळ कसर शून्य होव आहे तर तो भ-
पूर्णीक त्या आवरते दशांशाबरोब( आहे. असें म्हणतां येईल;
कारण आवर्ताक पाहिजे तितके वेळ घेऊन कसर हवी तितकी
कमी कारेतां येते. म्हणन,

७९. सूचना.--ठशांशांत ९ हा आावर्तांक येतो, तेव्हां तो
परससून टाकन मागच्या अंकांत १ मिळविण्यास चिंता नाहीं.
जसें "४९९९९ इ० > '५,. हें रीतीप्रमाणे करून पाहिळे तरी
येईल

आर्थत द्शांदा अपूर्णांक. 2१

दर्शांशाचे हिशेब करतांना बाकी सोडावी लागते तेव्हां उत्तरे
बिनकसर पिळत नाही, परंत आवतपंक्ति सांपडळीं अंसंतो
उतर बिनकसर मिळतें | ७ भं
उदाहरण १ ठे. १२५; २'०२५;१११'०००४;३'१४१'५९;
२०२७; ह्यांची बेरीज बरोवर येई अशी करा.
शे ळा जेया सक
३:१४१५९१५६१५९६० > मांत मोठी अनावर्तपंक्ति तीन अं”
3१"७०६८६८१५०५८६६) कांची आहे, तेव्हां ह्यांच्या बेर
जेत दशांशाचिन्हापुढे ३ अंक अनावत येतीळ. ह्या रकमांत,
१, २, ब ३ अंकांच्या आवर्तपक्ते अस्रन त्या अंकांचा ठल. सा
भा. ६ येतो, तेव्हां ६ अंकांच्या रांगृंत एक अंकाच्या पाक्ते ६,
दोन अंकांच्या पेक्ति १, व तीन अंकांच्या.पंक्ति २राहून ववे
स्थळीं ह्या एकंदर पैक्ति प्रण होतीळ. अथात ह्यांच्या बेरजंत
६ अंकांच्या आवतपेक्ति थेतील. ह्यावरून ३नीं ६२ नऊ अं-
कांपावेतो बेरीज खरी आली पाहिजे. ह्या बेरजेत रकमा थो-
इया आहेत, यासाठीं २ अंक फाजील घेतल्याने ही बेरीज बिन-
क पयरेईळ, हणून ५१२ अंकापावेतो बेरीज केली. ह्या बेर्जेत
तीन अनावताकांपुढे सहा अंकांची आवर्तपेक्ति समग्र मिळाढी
आहे, हिने ही बेरीज अनंत अंकांपावेतो बिनचूक दाखविली
जाईल हें उघड आहे. झणून १३१"७४६८६८१४० हं उत्तर.
आवतपेक्ति मोठी येते असळी, तर जितके दशांशस्थळांपर्थंत
बेरीज बरोबर पाहिजे त्यापेक्षां दोन किंबा तीन स्थळें बाढवाबीं
हणजे बेरीज तितक्या स्थळांपावेतो बिनचूक येईल वे
उदाहरण २२. १०२३४३ ह्यांतन '६९८ हे बजा करून
बाकी खरी आणा
०22222

"फरशा उचर '१९९५२

८०. आवर्त ठर्शांशांचा गणाकार किंधा भागाकार करणें
झाल्यास, त्यांस ब्यबहारी अपूर्णांकांची रूपें देऊन त्यांत गुणा"

टश अंकगणित.

कार किंबा भागाकार करावा, आणि तदनंतर पाहिजे तर त्यांस
दशांश अपर्णांकांत न्याव. जसें -”

उ. १ ल. २५५ ९१६ नत अररेसारप ०९२९

उ. २२र. '१६-८ ००२७ दळण ररऐवढना “2६११

अभ्यासाकरिता उदाहरणे. म.
पुढच्या छुत्यांची उचरें ७ दशांशस्थळांपर्थंत बरोबर पाहिजेत.
"१ ३८-- ७२८५७ -- २८१८ -- २०६ -- ४२६३ न
“००८५४९७११३. |
२१ १३७'२६--'२६--७'५२--'२९७--३'९७३--८--४'७५-.
७४'०१६७-- १२४१,
, '१-'०९ आणि '०१९-'००७६९२३८,
_७-६५४२८५७ आणि ४२ - ०६६.
, १७२३६ :< '२६ आणि ७५२ < '२९७,
. ३१९७३ > ८ आणि ७४०३६७ > ४'३५.
“३-९ आणणि '*४-'५६९२१०.
, ७--'५॥९२८'५७ आणणि *०४२-५-१०१६.

68 6 ८. ४. 60. /५४

सार्दातप कृत्य

८३१. बेरीज वगेरे ळऱ्यांव कितीही द्शांशस्थळे उ"पन्न होत
असळीं. तरी व्यवहारांत इतक्या बारकाईचा उपयोग मुळींच
होत नाहीं, हाप्टान पाहिजित तितकेच अंकर उपग्रोीगास लावून
त्यांवरीळ अंरू सोडन यावे ळागतात. उदाहरणार्थ तूप, गूळ
वगेरे पडारथींचा टर शेरावर ठरतो, तेव्हां ह्या पढार्थार्चे वजन
१ पैसाभार किंवा ४ शेर ह्यापावितोंच देतात घेतात, आणि
ह्या पडार्थांचा ठर पछ़र्‍यावर ठरतो, तेव्हां ह्याचे वजन पावशेर
किंवा उड पल्ला ह्यापाबितो देतात बेतात. रुपयांची देवघेव 3)
पै किंवा वक रुपया ह्यापावेतांच होते. तशीच पोंडांची देव-

दशांश अपुूर्णाकाची संक्षिप्त कृत्य. ट८$

घेव १ फाईन किंवा पटक पेंड ह्यापांबेतोंच करिता येते. ह्या-
बरून लक्षांत येईळ कीं, उत्तराचा एके जर तूप, गळ वगेरे पदा-
थांचा शेर असला तर उत्तर शतांशापावेतो पर॑ होईल. उत्तरा-
र्‍चा एकं जर तूप, गळ, बंगेरे पदार्थांचा पला असला, किंवा
रुपया भगर पोड असला, तर तें उतर सहस्रांशापावेतो पुरें हो-
ईळ. तर्सेंच उचराचा एकं टन असला, व तें उत्तर १ पौंड किंवा
कळ टन ह्यापावेता बारकाव्यारने पाहिजे असलें, तर त्या
उत्तरांत चार दूशांशस्थळे घेवळीं ह्मणजे पुरे होतीळ. अर्थात
असल्या हरएक उदाहरणांत ह्या आवश्यक स्थळांवरचीं संख्या-
ही निरुपयोगी ह्मणून सोडून दिली पाहिजे.
"४८२. कसर.--भावश्यक स्थळावरील संख्येचा पहिळा अक
जर ४ किंबा त्याहून ठहान असला, तर त्या संख्येची किमत
आवश्यक स्थलपारमाणाच्या अधापेक्षां कमी असते, हणून ती
संख्या कसर ( क्षुलक ) ह्मणून सोडून देतात. परंतु. आवश्यक
स्थळावरील संख्येचा पहिळा अक जर ५ किंवा त्याहून मोठा
असळा. तर त्या संखेची किंमत आवश्यक स्थळपरिमाणाच्या
अधीपेक्षां अधिक असते. भर्धाहून अधिक किमत साोडल्या-
पेक्षां अर्धाहून कमी किंमत फाजील घेण्यास चूक कमी होते
ह्मणन त्या संख्येबद्दळ १ हातचा कसरेचा हाणून आवश्यक
स्थळीं भिसळन मग ती संख्या सोडून देतात. उदाहरणार्थ,
२'६८४'५१ ही संख्या शेरांची असळी, तर २'६८ शेर हे उत्तर
समजतात. परंत ही संख्या जर पल्ले, रुपये किंवा पौंड दाखावे
णारी असळी, तर २'६८५ पहले, रुपये, किंवा पॉड, हे उत्तर
समजतात. येर्थे आवश्यक स्थळपरिमाणाच्या अधापेक्षां कमी
संख्या पहिल्या उदाहरणांत सोडून विळी आहे, ब दुसऱ्यांत
आळ घेतळी आहे. ह्या सोडून दिळेल्या व फाजील घेवळे
ल्या संख्येला कसर क्षणतात.

ह्यावरून संक्षिप्त कत्याचें लक्षण असे होर्ते कीं, जरूर नस-
छेल्या स्थळांतून हातचे व कसरेचे हे अक घेऊन जरुर भस-

८४ - _ __ _ भैकगणित.

लेल्या स्थळापावेतोंच खरं रुत्य करतात, तेव्हां ह्या कामापुरत्या
कृत्याला संक्षिप्त कत्य हणतात.

| संक्षिप्त बेरीज व वजाबाकी.

_ ८३. रीति. - दिलेल्य़ा संख्या दुशांशाखालीं दशांश, शतां-
शाखाळीं शतांश, अशा मांडून त्यांच्याखालळीं आडवी रेघ
काढावी आणि त्यांतीळ आवश्यक स्थलांपुढें उभी रेघ
काढावी. .

ह्या उभ्या रंबेपुढच्या एक दोन स्थळींच्या अंकांची बेरीज
अगर वजाबाकी करून, तींतून हातचे ब कसरेचा अक घ्यावा
आणि मग रेवेच्या डावीकडे वहिवाटीप्रमाणं रुत्य करून त्यांतील
ते अंक मांडीत जावें. उदाहरणार्थ पुढीळ त्ये पहा.

बेरीज, बेजाबाकी.
२ दूशांशस्थळांपावेतो. ४ दशांशस्थलांपावेवो.
३१४१ ५२३१४५६३१४
२७'७८ | ९७ ७'६६६६|६६

५४५६ न्ट ७ "६७८९६८
हर जोक ४९६७९८
६२९२७ ६७
११७९८

| संक्षिप्त छ'गांकार, |

८४. रीति.-- प्रथम गुण्य मांडाबा. गुणाकारांत जितकीं द:
शांशस्थळें पाहिजे असतील तितकी स्थळें गुण्यांत चिन्हापासून
उजवीकडे मोशून त्या अंकावर खूण करावी. |

ह्या खुणेच्या अंकाखाळीं गुणकांतीळ एकं येईल अशा बेतार्ने
गुण्यांकांखाळीं गुणकांक उळट मांडावे. गुणकांतळे उजवीकडील
पूर्णांक गुण्यांकापुर्ढे वाढळे, तर त्या गुण्यांकावर शून्यें यावी,
आणि शेवटख्या गुणकांकापुढे उभी रेघ काढावी.

नेतर प्रत्येक गुणकांकाने त्यावरच्य़ाच्या उजवीकडील तेढ्या

दशांश भपूर्णांकाची सांभ्षित्त कृत्ये ८प

('तिरप्या ) भकास गणून, त्या गुणाकारावेरचा अंक रेघेपुढे
मांडावा, आणि त्यांतीळ हातचे घेऊन त्यावरील अंकांपासूनचा
गणाकार रेवेच्या डावीकडे मांडावा
सव गुणाकार मांडले ह्मणजे संक्षिप्त बेरजेच्या रीतीनं त्यांची

बेरीज घ्यावी, आणि इच्छिलेल्या स्थळीं दशांशचिन्ह करावे

"ट७५,. सूचना. गुणाकार तंतोतंत पाहिजे असला, तर ते-
ढ्याच्या गुणाकारांत त्या पळीकडून हातचे आणून ते मिळवीत
जावे, अथवा गुणाकारांत एक स्थळ जास्ती उत्पन्न करावे.

' उदाहरण. ९६४७२५३ ह्या संख्येला ६१'८९५0२ ह्या
संख्येने गणन, तो गुणाकार २ दशांशस्थलांपावेतो खरा आणा.

' ह्या उढाहरणांतीळ वहिवाटींवल्या रीतीचा संपूर्ण गुणाकार
क. खालीं दिळा आहे, आणि वरीळ रीतीचा कामापुरता किंवा
संक्षित गुगाकार ख. खालीं दिला आहे. हे दोन गुणाकार प
रस्परांच्या तुळनेने पहा

क. ख,
'९६४५७२५३ '९६९४५०२'"५२
६३'८९९२ २४९८३६
पु्टट|३५) ८ पुटट ३

२८९)४१'७'५९ २८५८

५७७ १७८०२४ ७७!१ |

ट६८२"५२७७ 3:
बट:८ट९,.०१२ ठे
१9१९२९९५०६ ६१६५४

६१'६४|०३१५१२६३२६

_ ट६. उपपाचि.-- गण्याला गुणकारने त्यासालच्या मारी परिमा-
. णाच्या अंकापासून गुणिळे, तर ते गणाकार एकेक अंक पूर्ढे सर-
तसे मांडळे पःहिजेत. हाप्रमार्णे कलेला गुणाकार क. सालीं
दिला आहे

गुणकांतील क्षंक उलट मांडले, तर ते अंध डाव्या क्रमाने घेऊन
त्यांचे गुणाकार क. येथील नमुन्मानंच एका्साली एक मांडता ये

टे ी

द६ अंकगाणेत.

तीळ, हणून ख. येथील संस्षिप्त तींत गुण्यासाळी गुणक उलट
करून मांडला आहे.

क. साली २ दुशांशस्थळांपुढ दिलेली उभी रेघ पहा. ह्या रेघेच्या
उजवीकडून प्रस्येक गुणाकारांतले हातचे, सर्वाच्या बेर लळे हातचे,
ब येईल तर कसरेबद्वळ हातचा, हे कामापुरते भंक घेऊन रेघे-
मा्गर्चे संपूर्ण कृत्य केलें पाहिजे, हणून इतक्या-पुःतेच भंक ख,
सालच्या संक्षिप्त रः्यांत उत्पन्न करून मांडळे आहेत. ते असे! -<

एकंने ज्या स्थलपरिमाणास गुणार्वे त्याच स्थळपारिमाणाचा
गुणाकार यावयाचा, हणून इष्स्थळाखाठी एकं (३) माँ-
डुन, त्यार्ने त्यावरच्या (६) हा इष्स्थळांकापासून मार्गे अंक
गणील जाऊन, तो गुणाकार उभ्या रेघेच्या डावीकडे दुसर्‍या रांगेत
मांडला आहे. |

गप्यगुणकांतून एकाची पट घेऊन दुसऱ्याचा तितकाच
हिस्सा घेतला, तर गणाकारांत बदुळ व्हावयाचा नाही.-<
ह्यावरून इषस्थळाचा १० बा हिस्सा ले सहस््रां] त्यांना एकंचे
१० पट जे दुह त्यांची गणिळे, तर तो गुणाकार इष्टस्थलींचे
दु्शांशच दास्वील. हणून इष्स्थलापुढच्या सहस्रांपासाळीं दह
मांडूब, त्यानें त्याबरच्या ( ४ ) पासून डावीकडचे अंक गुणून,
तो गुणाकार उभ्पा रेघेपासून डाबीकडे पहिल्या रांगेत मांडळा आहे.
हयाच रीतीर्ने राहेळेळे अंडांती गुणून त्यांचे गुणाकार दुसरी,
तिसरी, इ० रांगत मांडले आहेत. |

इष्टस्थळी त्यापुढीळ अंकांच्या गुणाकारांतले हातचे मिळाले
पाहिजेत, हणून तेढ्यापुढचा भंड गुणूत त्यांतून हातचे घ्यावयाचे
असे सांगितलें आहे. इषस्थलापुढच्या ( झणजे उभ्या रेघेपुढच्या )
दुसऱ्या स्थळाच्या बेररजेतळेही हातचे इषस्थळी येत असतात, हछ-
णन तेढ्यापुढील अंकाच्या गुणाकारांतूज कसरेखुद्धां हातचे घेण्यास
सांगितळें आहे. ह्याप्रमाणें ही संक्षिप रीति जरूरीपुर्श्तेच काम क-
रण्याळा सुख आहे. गुणाकार तंतोतंत पाहिने अतला, तर हे सत्य
उभ्या रेघेपुर्ट भाणसखी १ कंड मांडून करारबे हणजे झाळे,

द्ांरा अपूर्णाकाची संप्तित्त कृत्यं ८७

संक्षिप्त भागाकार.

८७. रीति १ ली.--भाजकासखाळलच्या अंकाने भाज्याखाळच्या
अंकास भाग बसटडन, त्या अंकांच्या स्थळपरिमाणांच्या भागाकाौ
रावरून त्या पहिल्या भागाचे स्थळपारेमाण शोधावे. नंतर ह्या
पहिल्या भागाच्या स्थळपरिमाणापाखछून इच्छिळेल्या स्थळपरिमा-
णापावेतो जितके अंक भरतीळ, तितके अंक भाजकाखाठचे
ठेवून त्यांबरीळ अंक कापन टाकावे. अथवा भाजकांत अंक
कमी असले, तर त्यांवर शून्ये चढउन पुरे करावे. नंतर ह्या-भाज-
काने पहिळा भाग बसवून, शिक राहिलेळे भाज्यावरचे अंक का-
पून टाकावे, व कमी आल्यास शून्ये ठेऊन पुरे करावे. अथवाः--

८८. रीति २री -भाजकांवळे द्शांशचिन्ह सारून त्याखा-
लचा भाग वसविण्याचा अंक एकं करावा. ह्या करण्यांत भाज-
कांतळें द्शांशचिन्ह जिकडे जितकी स्थळें सारावें लागले असेल
तिकडे तितक्री स्थळे भाज्यांतळे दशांशाचिन्ह सारावें. नंतर भा<
ज्यांवल्या ह्या चिन्हापढे इच्छिळेल्या दशांशस्थळाइतकीं स्थळे
मोजून, व्या स्थळांकावर खूग करादी. स्थळें कमी भसल्यास
शून्ये देऊन प्री करावी, ह्या खुणेपार्बेवा भाज्यालळा भाग बस-
विण्याळा जेवढा भाजक पाहिजे असेल, तेवढा भाजक क्रापन
घेऊन त्याने पहिळा भाग बसवावा, आणि भाजक अपुरा असला
तर बाकीवर खुगेचा अंक घेतळा जाईल तोंपावेता भाग बसंबावे,

नंतर बाझीवरतीं भाज्यावरीळ एक अंक घेऊन भाग बस-
विण्याबददळ भाजक्रावरीळ एक अंक कापून भाग बसवांबा,
कझ्षाणि त्या भागानें कापळेळा अंक गुणून त्या गुणाकारांतील
कसरेसुद्धां हातचे पुढील गुणाकारांत मिळवून तो गणाकारवजा
करावा. ह्याप्रमाणे शेवटपावेती करीत जावें |

शेवटचा अंक कापतेवेळची शेवटची बाझी त्या भंकाच्या
अधापेक्षां अधिक असली, तर शेवटील भाग १ रने वाढवावा,
आणि इच्छिळेली दशांशस्यळे मोजून त्यामार्ग दशांशचिन्ह करावं

उदा. ६१'६४ ह्या संख्येळा '९६४७२५३ ह्या संख्येने भागन

भागाकार ३ दशांशस्थलांपावेतो आणा

"ट्ट - _. २: : _ अंकगणित.

*९६,/४,७२ ५३) ६१'६४००| (६३८९४

_ येथ ९ ह्या दुशांशांनी ६१ क कन्यका क
७ अ पड

यो एकंना &चा भाग लागतो. पा
एकं क र ८ &७२९३
नू प णय ळी र्‍दुशक, ११ १७५ ८८
दशा 3 र्ट
ह ८६८

यास्तव ६ हा पहिळा भाग दुश- र
3८

कांचा लागतो. ह्या मागाकारांत

पर्णाक २ स्थळे ब दुशांश > स्थलें मिळत ५ रथडें ञागिळी पा-
हजेत, हणून माजक ८५ झंडी कापून घेतला, त्याळा पुरा पड-
ण्यासाठी भाज्य. ६ अंडी पुण करून घेतला, झाणि पहिला भाग
६ दुशकांचा थसाबेल', अथवा --

२ र्‍या रीतीप्रमाणे ९ ह ए$ं काण्यासाठी मःजकांतळे दु्शांश-
चिन्ह एक स्थळ उजवीकडे सारून, मःज्यांतडही दुशांशबिन्ह
एक स्थळ उजवीकडे साहत्लि, त्यापुढे इच्छिडेढीं 3 दुशशांशस्थल
करून घेतलीं. ह्या ६ अंकी भाज्याला माग बसविण्याला मा-
जक ५ अंडी कापून घेतला, आणि त्याने पहिला माग ६ दुश-
कांचा धसबिळा

मंतर माग ६ व कापलेला अंइ ५ ह्यांच्या गुणाकारांतून क
सरेशदा हतचे धऊन, खालच्या संख्येचा गुणाकार केळा झाणि
तो भाज्पांतूत बजा द्िळा, बाकी 3७५६५ आली हिंजवर नबा
अंक घेण्याटद्ूळ भाजकाबरचा एक अंक कापला भाणि त्या
भाजकाने दुमरा माग 3 चा बसगिळा. असा दूर बेळेस माजकां-
तीळ एक ए५ अंड कापून हा संक्षिप्त भागाकार केला,

सस्षिप्त गणाकारांत जे पोटगणाकार एका क्रमाने उत्पन्न करून
मिळगिळे होते, त्याच रकमा वरीळ मागाकारांत त्याच कमाने
उत्पन्न करुन बजा केल्या ञाहेत, हणून हो रु.ते च हिची उप-
पर्सि ही संक्षिप्त गणाकाराच्या धोरणाने बळून येतील,

र ययस्ससय

इृशांश' भपुर्णांकाचीं संक्षिप्त झ्त्ये, ट्‌६

अभ्यासाकरितां उदाहरणे. म

१. २७००३१५०३५, ३'७६७६, ।'२५९६५१९६, आणि
००१४५, ह्यांचा बरींज शतांशापावेतो खरी आणा. आणि
३१५८५४७१४२ व ४७'९५०३७५ ह्यांची बजाबाकी शतांशा-
पावेतोंखरी आणा. | र.

२. सहस्रांशापावता खरी येइल अशा बेताने ।०७९५,
६१७२१४८३२३, ८२९१, व २५'८०८०८०, ह्यांची बेरीज करा,
आणि १३'१८३१५४६ व '९३६८) ह्यांची वजाबाकी करा.
/”8. ३८५३८५, १९७५७७७७७७, ०५ व
६'७८९७८९७, ह्यांची बेरीज आणि २३'१४५१३४५१९ ब
७छ'टटटटटटट ह्यांची बजाबाकी ह्या ५ दशांशस्थलांपावेतो
खऱ्या आणा

४. ४८०'१४९२६ ह्यांस २७२४१६ ह्यांनीं गुणा, असें का
गुणाकारांत दशांशस्थळ ९ येवील

५ २४९०'३०४८ ह्यांस ०५७३२८६ ह्यांनी गुणा, अशा
रीतीनें कीं गुणाकारांत दशांशस्थळें ५ येवीळ, __

६ २१२५७०१४२८ ह्यांस ७२१८३१३१९३ ह्यांनी गुणा, गुणा-
कारांत द्र्शांशस्थलें २ पुरे आहेत.

७. १४४२१३ ह्यांस २१८१३ ह्यांनी गुणा, असें कीं गुणा-
कारांत दुशांशस्थलं २ येतीठ.

८. २८२३१०३ ह्यांस ३५६७९ ह्यांनी गुणा, असें कीं
गुणाकारांत १ दर्शांशस्थळ येईल.

९, १9१२३७८ ह्यांस १२२५१३१८९७ ह्यांनी गणा, गुणा-
कारांत द्शांशस्थळ मुळींच नको.

१०, 9१'२३>< ५२४ ह्या गुणाकारांत द्शांशस्थळ ) पुरे.

१9. ०'२३४ >८ ८'७३४; '०२१४ > "७८५४;
०००१ > ०००९८; १'९९९९ > '९९९९; ह्या गुणाकारांत
दशांशस्थळ एक पुरे आहे

१२. ७८'१३१> ०००९७; १०० ०००१; ह्यांत ९ दशांश-
स्थळ आलीं ह्मणजे परे आहेत

९५ _ अंकंगागित.

_ १३, पुढीळ भागाकारांत २ दरशाशस्थळें येतील असें करा,
. १५७'०३८-७९'६१८; २६८१ ४--७'२९; १९'०७६--१८"७२९,

$४. पुढीळ भागाकारांत दोन दशांशस्थळे थेतीळ असें करा.
७'४१०१६*-२१९'६; २२'०७९--६८४५४'७; १३'७२--४'१९६.

१७. पुढीळ भागाकारांत तीन दशांशस्थळें आणा.
१४"७२३- ६१८; २०९८ - ६३५७२; १४०७३ - २१९८.

$६. पुर्ढीळ भागाकारांत दोन दशांशस्थळें आणा,
*००७१--६९२३७; ८'१२४७१--६'२१८९;५१'२४५७--८१३७६५.

१७, पुढीळ भागाकार एक दुशांशस्थलापावता करा
३१"५६८९--२७४३२; ०१६५४१-७१९८;३१'२७५--६८५५४,

पुढील उत्तरें अगर ( किमती ) त्यांत सांगितलेल्या द्शांशास्थ-
लांपाबेवी खरीं आणा.

६८. १०९५० ६२५ १०१५० ६२५; १*०५१० ६२५; ।
भ्रत्येक ४ ढशांशस्थळांपाबेतो आणा

१९. १'०३७५: आणि ९८७६२५ < १०१७५ ही रुत्स
५ दुशांशस्थलांपावेतों करा

२०. १०४२५ आणि १३५७'६ --3"७४२५ ह्यांचा उचरं
४ दुशांशस्थलांपावेती खरीं आणा.
१२५७५ १ देरे५"७५

०४८५ १०४५ «षण
हीं ५ द्शांशस्थळांपावेवो खरी आणा

१०४५ )

साधारण पश्च

२२..३२(६३-- २ड्रे-३) ह्यापढावळीलादशांशार्चे रूपया
आणि '७--व्न्चे 'ट८२५--४'१३ ह्याला व्यवहारा अपूण
कार्चेरूपया

२३. ( इक चे २४५-वृटेव्चे '०२) 5:12०० हा पदा
बली दूशांशांत मांडा

२४. पुठच्या पदावळींत लघुतम कोणता ब महचम कोणता
तं सांगा.

दशांश भरुूर्णाकाची संतल्षितत झुत्न, ४६

(१) ह, (रे) 1४१४२१ , (३) हेप पैन
१५ १०'०१ आणणि '००९३ ह्यांची बेरीज, वजाबाकी,
गुणाकार, व उलटसुलट दोन भागाकार, यांची वरीज सांगा,
२६. २२२९'१६ ५१०४५७५ ह्यांची सहस्त्रांशापर्यंत खरी
किंमव काढा.
२७. पठील संख्या महत्त्वाच्या क्रमार्ने मांडा.
(वा हर) क्यु यात (र) दतशपेरर,
२८. १२५३१६ आणि २३१'४८३ २९'५५ आणणि
११३'९; १३६७९५ आणि ५७'९८; व २१७६'१०१४ आणि
१०८३; ह्यांचे इढभाजंक काढा.
सूचचना:--दिलेल्या संख्यांची दशशांरास्थळे समान कराबीं
(नि. २), नंतर त्या संख्या पुणीक समजून त्यांचा इढभाजक
काढावा. आणि त्यांत तितकी द्शांशस्थळं मोजून दशांशचिन्ह
करांवें. कारण दोन संख्यांचे जे परिमाण असेल, तेच परिमाण
त्यांच्या टढभाजकाचेही असावयाचे.
२९. पुढच्या पदावळींचीं सहा दशांशस्थळांपावेवो उचरें काढा.
त क का |

सूचना: -- पहिले पद दशांशरूप देऊन मांडावें, नंतर त्याला
५ नीं भागून ती संख्या त्याचेच खालीं मांडावी. अशा कमाने
इच्छिल्या स्थलांपावेतो खरी किंमत काढावी.
ख. ----क प ञणा प्रण *
9 जि १ ्$
र, 3 39०४ १ ७.४. '- ६
७0000 की क 0
येर्थे कंसांतील प्रत्येक पदाळा दशांशरूप क्रमानें देत जावे.
घ. १ ------ र

१
नः ---पापश त
६.२ १०२... २" ४ १ « '२. "इ.

येथे पहिल्या पदाळा २ नीं भागून २२ पद, त्याला ३ ना
भागून ३ २ पद, अशा क्रमान्‌ संख्या उत्पन कराच्या,

९९ झअकगणित,

१, पै. 9 १ १ १ १ .... 10:72
ड्‌ व |. नुर व्या. खी पाट चळळ र्य 1.) य मी न वलन हक्क न «> कै ्ळतमाळाळ ्
डर ण 3 डु प ण ९ प ३ ्

प्रथम र, उ! अ ३० ह्यांची दशांशर्यें कमानें उत्पन्न

करावीं, नंतर ह्यांच्यापासून इच्छिळेल्या पदांची रूपें उसन
करून मिळवावी
६ १
तकी ही त
प्रथमतः कंसांतीळ १ ठे, ३ रे, ५ बे, अशा विषम पदांना
दशांशरूपें देऊन ती मिळवावी; नंतर ररे, ४ थे, ६वे, इ-
त्यांदे समपदांना दशांशरूपें देऊन ती मिळबावीं. नंतर ह्यांच्या
अंतराला १६ नीं गुणावे, आणि शेवटीं डर याचे दशांशरूप
त्यांतून वजा करावें.

ल
रै दढ

व्या नया आदत
क ग "१४६0 शर

ह व्या
क्र त न

दशांश अपुर्णाकाचा रूपभेद किंवा विविधा्ीा संबंध.

८९. पूर्वी जे व्यवहारी अपूर्णांकाच्या रूपभेदाचे नियम सां-
गितले, तेच दशांशाळा लाग होतात. फरक मिळून इतकाच कीं,
व्यवहारी अपूर्णांकाचे छेद्‌ प्रत्यक्ष असतात, आणि दशांश अ-
पूर्णाकाचे छेद दुशांशाचिन्हानें दर्शविळेळे असतात

_ ९५०. प्रकार १ ला.--दशांशाची हलक्या परिमाणांत किंमत

काढण्याचा, आणि त्याळा हलक्या परिमाणाचें रूप देण्याचा

रीति--एकंच्या जागीं त्याच्या बरोबरीची हलक्या परिमा-
णाची संख्या ठेवावी

ह्या संख्यने नुसते दशांश गणून दशांशचिन्ह केळे, तर त्या
दर्शांशाची पूर्णाकांत किंमत येईल. नंतर त्या संख्येने पुढचे
पूर्णाकही गुणून त्यांत ती किंमत मिळविली, तर त्या एकंदर
संख्येला त्या हळक्या परिमाणाचें रूप येईल

डदाहरण १ छे. १ रुपयाचे ७५ ह्यांचे पावळे करा.

*७५रु > *७५>४पा. > ३'०० पा. हे उत्तर.

उदाहरण २ रं. २'६५४ खंढी ह्यांच्या पायळी करा.
आणि १ दिवसाचे *५४९६७५ ह्यांचे वास, मिनिटे आणि
सेकंद करा

दुशांशाचा रूपभेद किंवा विविधाशीं संबंध. ९९

उदाहरण २ लें. उदाहरण र र.
२'६५४ खं० “५४९६७५ दि
२० रे
५३'०८ मण. १३'१९२२.. तास.
1 ६०७
६२३६९६ पा. हें उत्तर, ७९१'५१२२-... मिनिटे.
ध्‌ >

ए७१२९५-९२....सेकंद हे उत्तर.
उदाहरण ३ रॅ. ) रुपयाचे '६ आणि ९ सखंडींचे ह्यांच्या

१ रु म्ऱ्ऱरु रु. र
"३१६ आ. ४_
-१०७ आ. २३'१खं

>आ.ऱे>१२पे. प्रक
-- टपे. २'२९म

१२
२'६ पा.
१ क »
र ग जळ आभा. टॅ भाण
उ ७ ञात् त आणि

४खं.चे ७>-३खं.२म. २६ पा.
उदाहरण ४ थे. ३ खं. ४ म. ह्यांचे '७५ ह्यांची प्रणीकांत
किंमत काढा.
३्‌खं.४ म. यांचे ७५-३'२सखं. चे '७५- २'४ खं.
ब '४खं. -'४*५२०म. > ८'० म.
,, ३ खं. ४म. ह्यांचे ७५-२२ खं. ८ म. हं उत्तर.
उदाहरण ७वे. ५'३४७९५ टन आणि '८४४५७९१६ पौंड
ह्यांच्या पर्णाकांत किमती काढा.

"-. * आवते अंकावर तेच अंक जरूरीपुरते कल्पावे, भाणि त्यांपाप्तन
हतचे व मांडण्याचे भावते भंत हे खरे उत्सक्ष करून व्याप.

९४ अंकगणित.

५३४७९५ टन '८७४४७९१६ पोंड,
२० २०
६९५९ - है. वे. १६८९५८३) - शो.
४__ १२
३८३६ क्ा. १०'७५ पे.
र्ट
२३४०८ पोंड .'. १७ शि. १०३ पे. हें उचर.
१६
६५२८ ऑंस
१६.
ट'४४८ द्राम.

', ५८.६हं.वे. २ का. २३पों. ६ओ. ८४४८द्रा हें उत्तर.
९१. प्रकार २ रा.--हळक्या परिमाणाच्या दशांशाळा भारी
परिमाणाचें दशांशरूप देण्याचा.
रीति.--हळलक्या परिमाणाच्या जागीं त्याच्या बरोबरीची
भारी परिमाणाची किमत ठेवावी, किंबा हळक्या परिमाणाच्या
दशांशाळा तीं परिमाणे त्यावरच्या परिमाणांत जितकीं राहतात
त्या संख्येने भागावें. हा कम इच्छिळेल्या परिमाणापावेतो चा-
लवावा हणजे इच्छिलेळे रूप येईल.
उदा. १७ ४९२९७४५ रेसांचे रुपप्रे करा.
४९१९४'५ रे. - ४९२९४५ वेब पा. > ४९२'९४५ पा.
-_ ४९२९४५ > ३ रु.
>. १२२१४९८६२५ रु. हे उत्तर.
उदा. २ रें. ३२"५ शेर ह्यांच्या खंडी करा, आणि ५ आणे
७॥ पे ह्यांना रुपयाचे दशांशरूप या.

१० | ३५ शेर. १२| ७'५पे.
%४| ।३५ धडे. १६| ५६२५ आ. |
२० | *५८७५ मण. "३५१५६२५ रु. हे उत्तर,

*>९४९३'७'५ खं,

देशांक्षाचा रूपमेद किंवा विविधाशीं संबंध. ९५

कांहीं उदाहरणांत उतरती व चढती अशा दोन्ही भांजणींची गर-
जलागवे,ह्मणून वरच्या दोन्हीभकारच्या रीति योजाव्या लागतात.
उदा. ३ २. '२२५ बारुळी खंडीच्या सोळुली खंडी करा.
यांत साधारण परिमाण पायली आहे, क्षणून बारुळी खंडीच्या
पायल्या करून मग सोळुळी खंडीच्या पायळी केल्या.
"२९५बा. सं. >'२२५%२०बा.म.-४'५-.- बा. म,
-. ४५>१२पा.- ५४ पा
> ५४ > तू सो. म.>३'३७५सो. म
१२७५ 5० सा. ख.
> १ ६८७५ सो. सं. हे उत्तर
उदा. ४ थॅ. ५ फलळांग १८ पोळ ३ याड २ फूट ११'४ इंच
ह्यांना ) मेळाच्या, ब रद मेलांच्या, दशांशांचीं रूपें या,
आणि '७८९३६ गिनींना १ पोंडाच्या दशांशार्चे रूप या.
"७८९३१६ गिनी.

|]

२)
१२] ११'४ इंच. २० | 9६५७६५६ शो
३ | २९५ फूट. दरेटदरट पौ
३९८३ याई. हं ३ रे उत्तर.

*|

११ | ७९६
४० |१८'७२५ पो.
दट | ५४६८१०६ फ.
“६८२१५१३२५७ मेल हें १ ले उत्तर.
ण
१३ | २४१७५६६२८७
"२६२८८९७१४४५२२ हे स्टेमे. रूप व २ र॑ उत्तर
उदा. ५ बे. रपो. १५ शि. ९३ पे. कफा. हे
१ गिनीचा केवढा दशांश आहेत! आणि ४॥ गिनींचा केवढा
दुशांश आहेव !

९७ भंकगणित.

४1 २'९४फा --
कुर रव्य ६५७१४२८९८५ हे एका गिनीचे
३ [प्‌ शि. ९ | (3१४२८१५८७१
२१ क ७६३ हे ४३ ह. हनक
७]१ ५९०४७६३) हे ४३ गिनींचे.

_उदा. ६वें. १२ ओस १५ द्राम ह्यांचे दशांशांमध्ये आय
पोड करा.
१६ | १५ दा
१६| १२९३७५ अस
८०८५९२३२७५ पो. अवाईपाइज
१७७०७
न ८ | ५६६०1१५६२५ . ग्रेन.
२] ७०७'५१९५३१२५
२० | २३५'८३९८४३७'५ पेनिवेट.
१२] 3१'७९१९९२१८७५ ओस आये.
"“९८२६६६०१५६२५ पोंड बराय. हे उत्तर,
उदा. ७ व. १२ शि. इटे पे. ह्यांना पोंडाचे दशांशरूप
द्या, आणि ८ पों १३ शि. ६ट्टे पे. ह्यांचे दशांशांत पौंड करा.
४] ३ फा.
१२| ६७५ पे.
*५% ष्र द्र । क अ
२० [१३५६२५शि. १३५६२५ 2-1 ९७८१२५ पौ.
*६४७८१२५ पा 3
चे
_:( टपो. १
वत
* उत्तर न १३ रो. ६
' हा रूपभेद रेवांतीलळ निमपटींसारख्या हिस्सेरशीनेंही
करितां येतो.
ढदा. < वे, २३ रड २६ पोळ ह्यांना ५ एकराचे दुर
शाशरूप द्या.

क वि शि. र त र
६टटे पे. ६७५ क ५६२५/शि.

शि. ६
प

डठ

क
रे ह ५०9)

टे

६१ :
“७
१34
ब्र
न
न्त्ञ

दुशांशाचा रूपभेद किंवा विविधाशीं संबंध. ९७

१ रूड १ एकराचा उ रण एकर.
शता एकर
3 रूड कलात
२० पोळ १ र्ठचा ण आट १ र ११
७ पोल १ १) कुक क ११
२ पोळ ) जरूडचा है 3००६२५ ,,
न २ रु. २६पो. >. '८९३७५ एकरहं उत्तर.

उदा. ९ वे. ३ रूढ २६ पो. २८डे याडांना ३ एकर 3 पो.
९३ चौ. यार्डाचें दरशांशरूप या.
२ रु. २६ पो. २८३ याड. १ररु.१ पो. ९३ याई

७४० _ हॅ.
प्‌, पा.
१४६ ४८१
२०४ ३०
४४०८३ १४४३९६३
३६ १२०
४४९४५याड. १ ४'५६० याई.
"ह 7!» ह... ८“ ४ __ १२७ _.. __0 2२9
पण क्यइ०3शरव२र ०१६2 टार
दट | १२७ _
४ | १५८७५

१२ |_ ३९६८७६
'३१०५२८८४६१'५३ हं इच्छिलेळे रूपझाळें
९२. प्रकार ३ रा.--एका देशाच्या परिमाणास दुसऱ्या दे-
शाच्या परिमाणांत न्यावयाचा.
रीति. - सांगिवळेल्या परिमाणांचे जाकी जे परिमाण
इच्छिळेल्या परिमागाचे जातीच्याशीं ता$ठेळें अतेळ, त्या प-
'रेमाणांत पहिल्यानें डिळेल्या परिमाणारचे र्यांतर करावें. नंतर
त्यास ताडलेल्य़ा परेमाणांत न्यावे; आणि त्यांतून इच्छिळेळे
परिमाणांत आणार्बे.
उदा० १ ले. १०॥ आण्यांचा ) शिलिंग समजून १५ रु”
परयांचे पौंड कश, |
द

विका ___ अंकगणित.

२४० आणे.
2

९६० पाव आणे

१६२०

२२'८५७१७४२ शिलिंग
१1१1४२८५७१ पोंड हे उत्तर,

उदा २रं. 3३'५ अ. १'४ मि. २'५ से. इतक्गांचीं
शका, पळे करा १ भ. > २'५ घ. |
१५ अ. 9'४ मि. २५ से. -१'५२४०२७अ
१५२४०२७ > २"५ घ. २ १'८१००६९४ घ.
> १ घ. ४८ प. १६ वि.
उदॉ० ३ २, खंडी १२॥२॥ धान्याचे बिळायती टन करा.
पुण्याची एक पायळी 1। ग्यालन बरोबर आहे. सोळुलें मापं.
खं. म. पा. |
१२॥॥२९॥॥ खंडी -. १२ १२ द
> ४०४० पायल्या.
-. ४०४० > १93 ग्यालन २ ५०५० ग्यालन.
५०५० दे बु - ६२१'२५ बु.
६११'२५> ठेका. > ७८'९०६२५ क्का.
७८९०६२५ > दै टन २. १५५८१२५ टन हे उत्त.
उदा० ४ थे. वरील उठाहरणावरून पुण्याच्या खंडीशीं वि-
ळायती टन ताडून ढाखंवा.
_ १२२ सख १२॥२'५
१२'५ खं -- ५'१२५ खं.
० १२६२५ खं. |

18

देशांशाचो रूपभेद किंवा विविधाशीं संबंध. ९९

हाणून १२'६२५ खं. > १५७८१२५ टन.
१-५-७८१२१८

) खं. - “उवर टन. > १'२५ टन.
किंवा १०० खंडी > १२५ टन होतील हें उत्तर.
उदा० ५वे. २१) शिलिंगांचे दे, एका ग्रोरचचे ठे आणि
शि. २पे यांचे यांची बेरीज करून तिला पोंडांचेरूपद्या,

शि. पे.
२१शि. चेन शि. : ८ शट
१ ग्रो. अ टड्रेसशपे. ठस ० ३१०
७शि. ईक. शि. १७ ६०
रेपे, अर नसले पे. > ० ७०

एकंदर १ पो. ६शि. ६८पे
इच्छितरूप > १ पों. ६५६ शि. - १३२८३ पो. हें उत्तर
उदा० ६ वे. १० मोत्यांचे वजन ३॥। राते आहि. तर
०'३े रुपये एके चवास या भावार्ने एका मोत्याची किंमत
[य होईल?
सूचना.--समान मोत्यांचे वजन रतींत घेऊन, त्या रवीच्या
गाला उद नी मुणावे. ह्या गुणाकाराळा त्या मोत्यांनी भा-
क हणजे तितक्‍या मोत्यांचे चव येतात, व मोत्यांचे वर्गाने
गळे झणजे ॥ मोत्यांचे चव येतात (अं. भा. १ क. ८३.)
तां 2॥. -३"५
१५ > ३५ 7 93२२५
१२'२५ > ६५ ७०२
७०२ :- १०१ > ०७०२ हेएका मोत्याचे चव झाळे.
*०७०२>'१०'३रु. *७२३०६ रु.
"२११ आ. ६'८२७५२ पे. ह॑ उत्तर.
एका मोत्याची किंमत .॥5॥१ सरासरी;

ह ककहसययय्यप्मख्य्ख्य

६७० अँकगाणित॑.
अभ्यासाकारेतां उदाहरणं. र.
१, एका पोंडाचे २८१२५ यांची किंमत हळके परिमा-
णांत काढा. । |
2.३ पो. २ शि. ६पे. यांचे १६०२५ यांची किंमत हळके
परिमाणांत काढा.
४. ३६'५ दिवसांचे २'<१ ह्यांतून ५६ अवरांचे ठेवजा
करा. |
क ४० एका चौरस याडचे ४७५ आणि ७ चौ. फूट यांची
-“बैरीज करा
७. तीन एंकरांचे रे चे कोळ थांतून २००८७५ चौ. झार्ड
बजा करून, बाकींत ३॥- चौ. फुटांचे '२२७ हे मिळवा
आणि वेरींज सांगा. |
७ &. ऐका हेट्रेडवेटाचे ०८५०७६ आणणि एका पोंडाचे
०*०७३२५ यांच्या बेरजेस टन यांचें रूप द्या.
७. ०'०२११ गिनी, यांत अश्या कौनचे ०१९ मिळबा
आणणि उचर गिनींत आणा. |
८. ११२ दंड, २ हात यांस कोसांचें रूप द्या.
९. ५॥ गुंजांचे ०७८५९५ यांस तोळ्याचें रूपया.
७१०. २ दि. ३ अ. हे 3 म. १५ दि. यांचा कितवा अंश
आहेत! |
११. २५ हातांचे ठे चे इ चे थाई किती होतील!
१२. एका चांद्रमासाचें मान २९ दि. ३२१ घव. ५०'१२ पळे
इतकें आहे. एका वर्षात हणजे २६५२५ दिवसांत चांद्रमास
किती पुरे होतीळ, ब वरदिविस किती रिल्लक राहतील !

मध्यममान किंवा सरासरी.
९३. मध्यममान.-- आपण बाजारांत जाऊन गुळाचा भाव
पाहिला तो एका दुकानी १ रुपयास ८ शेर, दुसर्‍या दुकानी
ढ॥ शोर, ३ घ्या दुकानी ७॥ शेर, भसा आहे. तर भापण गुळा,

पध्यममान किंवा वरासरी.. ६०१

वा भाव सरासरीनें ८ शेर आहे अस हाणवो. ह्या सरासरी-
सच मध्यममान असे हणतात. ह्याचा उपयोग व्यवहारांत आ-
पण नेहमीं करीत असतों.

एका जातीच्या अनेक संख्यांच्या जागीं ज्या संख्येच्या
तितक्‍या आवृत्ति घेतल्या तर त्यांची बेरीज त्या अनेक संख्यां-
च्या बेरजे इतकी येते, तिळा त्या अनेक संख्यांचे मध्यममान
किंवा सरासरी संख्या ह्मणतात. आणि त्या अनेक संख्यांना
स्प्ट माने किंवा स्पष्ट संख्या झणतात.

उदाहरणाथ.--गुळाच्या भावाची सरासरी काढण्याच्या
कामांत ८ शर, ८॥ शेर, ब ७॥ शेर ह्या स्पष्ट संख्या आहेत,
त्यांचें मध्यमान ८ शेर ही संख्या ढाखविते. ह्या उदाहरणावरून
अनेक स्पष्ट संख्यांचे मध्यमान कसें काढांबे ती रीति उघड
दिसून येते. जशी:-

९७ मध्यममान शोधण्याची राति.--स्पष्ट संख्यांच्या बेरजे-
ला स्पष्ट संख्या किती आहेत हं दाखविणाऱ्या संख्येने भागावें,
ह्मणजे तो भागाकार त्या सर्वार्चे मध्यममान किंवा सरासरी
दाखवील.

उदाहरण १ ळे. एका सहाव्या इयत्तेच्या वर्गात एक मुलगा
२० वर्षांचा आहे, ४ मुलगे १८ वर्षांचे आहेत, ८ मुलगे १७॥
बर्षांचे आहेत; आणि १२ मुलगे १६ वर्षांचे आहेत; तरत्या
सर्वांचे मध्यम वय काय!
था वर्गात एकंदर २५ मुलगे आहेत. ह्मणून त्यांचं

२० एकं -- १८ चोक -- १७'५ अद -- १६ बारीं
मध्यम वय सण ल्क
२० --७२--१४०--१९२ ४२७ क
यवा मिड तानि दुल ठू पु न १ द्‌ ९ द्‌ ढ
उदाहरण २ रं. एका रेलवेस्टेशनाचें माहेवार उत्पन खा-
लीं दिळें आहे, त्यावरून त्या स्टेशनाचें दरमहाचे सरासरी
उत्पन्न काढा. |

ही भंकगणित.

१ डा इ

४ 107.
एम्ळ ३२०१५ टा>ॉ ८११
म्‌ ३५४६ 2$ इट
जून ध् ऱ्य ्् शी द धू

दय टा.

उदाहरण ३ रे. एका करणांवळ॑ गवत कापण्यास १२

|
अँट... हॅ.
षु

मनुर्ष्ये ळाविलीं होतीं. पेकी 5» जणांनी ढाट जागेतळे गवत
६३० पढर्‍या एका दिवसांत कापळे, ४ जगांनी नगरळक जगॅतळें
गृवृत २९२ पेट्या एका दिवसांत कारळे. आणणि एकजणार्न
त्या सर्वावर मुकादमी करून 64 (पासून काग वेतळें. ह्यावरून
पत्येक मनुष्य दररोज किती गवर सरामरीने कापत:
७ जणांच्या पट्या ६६:
टॅ 3१ 6. ति
1 मकाठमाच्या., ऱ
१२ जणांच्या ., ८८२
.'. पत्येकाच्या सरासरी... ४: हे उत्तर
अभ्यासाकारेतां उदाहरणे. ल
१. १४, २६. ९, ६८, १६३, २७५, २७, ३९६
ह्यांचे मध्यममान काढा
ह ६८८० डु 2८, वी र्‍् त 5६. ८५. भु -:*:

श्

रचे मध्यममान काय येईल

४. तीन शहरांतीळ लोकांच्या संख्या अनुक्रमें ३०५२६,
४६२३८, आणि ८५२९६, अशा आहेत, तग ह्या त्येक
शहरांत सरासरी वर्स काय आहे

४. 1.0 २८॥॥ १ जट: ह. धी की ७८; टा,
छझा[ण ३३ ह्या सप्प्ड संख्यांचा मध्यम सख्या सग

एकभानगजित, . बो.

५. १२शदे, - २१, ४५३, 'न्रे, डेटा. ०, रे,
भाणि १२३० ह्यांची सरासरी काढा » ७४ औ

६. एका शाळेंत सोमवारापाखून अनुक्रमे ८०, ९०, ९५
९२, ८९, ९७ ह्याभमाणं मळे हजर होतीं, तर त्यांची आठव-
ड्याची सरासरी हजिरी सांगा. ी

७. एका ठिकाणीं उष्णतेचे मान. उष्णमापक यंत्राने मोजठे
तें एमिळचे ८ वे तारवेस १०५; १५ बीस १३०५; १९ वीस
१०६६ २३ वीस १०८ असें भरठें. तर त्या टिकाणीं पाप्रेठ
महिन्यांत उन्हाळ्याचे सरासरीने मान काय भाहे? ी

८. एका ठिकाणीं ६ वर्षात पावसाचें मान पर्जन्यमापक यं-
ञ्राने मोजले ते असं भरले: --

वर्ष, . मान इंच. वर्ष. मान-इंच.
१८८९ ३४६९ १८९२ ४२८४४ : ६..
१८९०७ १५७२ १८६३ ३९'६५ £
१८९१ २९.८२ १८९४ ३१३२९६

तर तेथे सरासरीने दरवर्षी किवी पाऊस पडतो अप झटले
पाहिजे ? | ी
९, एका वर्गातील ४० मुळांचे वयाचे. सरासरीने मान १३:
आहे. त्यांतीळ २ मुलगे १४ व १७ वर्षांचे गेळे व ) मलगा -
१० वर्षांचा आला, तर सगसरीचे मानांत काय फरक होईल?
एकमानमगाणेत 1...
९७. ३ आण्यांला १२ आंबे मिळतात तर 3१ आण्यांला
किती येवीळ? हं पाहणे झाल्यास आपण पहिल्यार्न. १ आण्या “019
ळा किती पडतात हे पाहतो, ते ९ पडतात ह्मणून 39 > ४-5. ४४
हें उत्तर हणून सांगतों. हेच रुत्य आपण एकमानगाणित
करितां ी गाला शयी
ह्यांत एकाचे किंमतीवरून किंमती काढावयाच्या. अप्ततात,
हणून हे एकाच्या आाधाराचें गाणेत आहे असें झटले पाहिजे

१०४ अंकगणित.

ह्याने साय प्रमाण व संयुक्त प्रमाण (वेराशिक व बहुराशिक)
हीं न शिकतां हरएक भरकारचे हिशेब करितां येतात. ह्या कार-
णान अलीकडे इंग्ठंड, फान्स, वगैरे वियेच्या शिखरास चढले-
ल्या देशांतील ळोंक प्रमाणगाणेताचे जागीं ह्या एकमानगाणि-
ताचाच उपयोग मुख्यत्वॅकरून करू लागळे आहेत. ह्यांच्या
नमुन्याने ह्या गाणिताचा प्रचार आपल्याही लोकांत वाढला
बाहिजे, आणि ३ र्‍या इयत्तेपासून ६ व्या इयत्तेपावेतो हे गणित
सर्वत्र बापरतां आलें पाहिजे, ह्याकारितां हें प्रकरण ह्या पुस्तकांत
प्रमाण गणिताचे पूर्वी नवीन घाळून ह्यांत पुष्कळ पका-
रचीं उदाहरणें शिस्तवार सोडवून दाखबिळीं आहेव. ह्यांकडे
शिक्षकांनी व विदार्थ्यांनीही अवश्यमेव लक्ष्य पुरवावे.

९६. वर सांगितलेल्या उदाहरणांत जर केवळ ११ आाण्यांचें
भांबे किती येतील हणून विचारलें असते आणि त्याळा प्रमाण
झगर माग कांही दुिळें नसर्ते तर उदाहरण काता आलें नसत.
कारण जरी १० आण्यांचे आंवे भाणण्याची तुमची इच्छा आहि
तरी आंबे कोणत्या दराचे हें सांगितळें पाहिजे. जास्ती द्राच
आंबे कमी येतीळ च स्वस्त असतील ते पुष्कळ येतीळ. तेव्हां
तुमचे मन!त कोणत्या दु्राचे घेणें ञाहेत ते, हणजे प्रमाण,
अगर भाम सांगितले पाहिजे, ““ 3 आण्यांस १२ आंचे, "' हे
आंब्यांचे मान झाल. हांत ' 3 आणे ! हा मानराशिव १२
आंबे हा मागफळ भगर फळराशी असे हणतात. व उत्त( ये-
णारे झञांबे यांस इच्छाफळ असें हणतात ह्यांतील इच्छाराशि
हा मागराशीची पट दाखविणारा असतो, तसेंच हच्छाफळ ह
फळाची तीच पट दाखविणारे असते, हणन झांनात्या त्या
राशींचे इच्छित बदळ ह्मणतात किंवा इच्छित विकार क्षणतात.

मागराशीच्या फळापासून एका मानार्चे फळ शोधाबें, एका
मानाच्या फलापासून अनेक मानांचें फळ शोधावे. मार्गे सांगितले-
ल्या मध्यममान गणितांत ज्या स्पष्ट संख्या दिल्या असतात त्या
सब एढसारख्या असल्या तर येणारे उत्तरही मध्यममान नसून

एकमानगाणेत. १०१३

स्पष्टच येईल, 3 घोड्यांस अनुक्रमे ५०, ६०, ७० रुपये किमत
पडली तर १ घोड्यास सरासराने (५० रु. -- ६० र, -- ७० ह.)
-- 3 -. ९० रुपये किमत पडेळ अर्से हणण, पण त्यांस अनकर्गे
९०, ९० ब ६० भशी किंपत पडल्यास प्रत्येकाची किंमत ६० ही
स्पष्ट किंमतच होईल. ह्यावरून पाहतां एकमानगणित हे. मध्यमम (न
गणिताचाच एक विशेष प्रहार झञाहे भरतं स्पष्ट. द्विन ये(लळ.
करण १२ घोहयांस ७२० रुपये पडतात तर ५ घोढयांस किती
पडतीळ ! हे उदाहरण एकमानगाणितार्ने करणें झाल्यास भाता
सांगितलेल्या रातारने पाहिल्याने एक घोढ्याची किमत ६० ₹०५
अर्से काढून ती वरून ५ घेड्यांची किमत ३० ० सुंयये अर्से काठ

एकमानगणितांत सम आणि व्यस्त असे दोन प्रकारच्या
संबंधाचे प्रश्न येतात

९७. सम --४ पैशांठा १३२ आंबे तर २ पेशांला ६ व ८ पै
शाला २४, असे मिळतात. येथ मानाची पट केळी कीं फला-
ची तितकीच पट होते आणि मानाचा हिस्सा केळा कीं फला-
चा तितकाच हिस्सा होतो. असल्या सरळ संबंधाळा किंवा स- .
रळ संबधाच्या प्रश्नाला सम ह्मणतात |

प्रश्न 3 ला.-१२ बेळांना ५४० रुपये पडतात, तर एका
बेळाळा काय पडेल ? _
आतां १२ बेल. > ५४० रु. |

बेल. स ४ रु. > ४५ रु. हे उत्तर.

ह्या प्रश्नांत १२ बैल हे मान व ५४० रु.हे त्यार्चे फळ आहे
१ बेळ हा इच्छाराशि मानराशीचा बदळ ( हिस्सा ) आहे
आणि त्याची किंमत ( रुपयाचा बदूळ ) मागितळा आहे..ह्यांत
मानाचा १२बा हिस्सा करतांच फळाचा वितक्‍यावाच हिस्सा
झाला, ह्मणून हा संबंध सम होय.

९८. व्यस्त--एक भित बांधण्यास ४ मजुरांस २० दिवस

गळे तर ८ मजुरांस १० दिविस लागतात ब २ मजुरांस ४०
दिवस लागतात. येथें मानाची पट केळी कीं फळाचा तितकाच

१३०७ अंकगाणेत

हिस्सा होतो, आणि मानाचा हिस्सा केला की, फलाची ति-

तर्काच पट होते; असल्पा विरुद्ध संबंधाला किंबा विरुद्ध सं-
बेधाच्या प्रश्नाळा व्यस्त हणतात

_ 'अरश्न 2 रा-कांही काम ७ मनुष्ये १२ दिवसांत करतात, तर
*$ मनुष्य किती दिवसांत करील ?

- येथे ७ मनुष्यांची १२ दिवसांची मेहनत > १ काम

१. मंनुष्माची ८४ . ,, )) २.१ काम

ह्या. मश्नांत ७ मनुष्ये हे मान, १२ दिवस हे. फळं, . आणि
१ मनुष्य क्त मानाचा बदळ आहे. ह्यांत मान व फलः ह्यांचा
'संबरंधककाम ह्या राशीशीं गुग्यगुणकापमार्णे किंवा. अवयवांप्र-
माणें.आहे. : ह्यामळें मानाचा सत्तमांश केल्याने फळाची ७ पट
होंते, हणून हा प्रश्न किंवा हा मानफलांचा संबंध व्यस्त. आहे
सुऱ्चना १ ली.-- एका प्रश्नांत प्रथम भागाकार ब नंतर म-
'णाकार करणे आला,.तर. प्रथमतः भाजक ठछेद्स्थलीं मांडून
_ संक्षेप यावा, आणणि गुणाकार कल्यानंवर भागाकार करावा,
हाणजे रुत्य साइने होत
प्रश्न ३ रा.-तुपाचा पल्ला. (4२० शेर) ह्यांना ८० रुपये
पडतात, तर २५ शेरांना काय़ पडेळ ?
१२० शेर ८० रुपये
>. समाप्रमाणे १ शेर > उरू्रु. ज्सेरु
वर्सेच . २५ शेर > ३ रु. «२५ - ६ रुपये
-१९५रु. १० आ. ८'े हे उत्तर

ह्या पक्षांत १२० शेर हे मान, ८० रु० हे फळ, आणि २५
"शेर ही- इच्छा (मानाचा इच्छित बडइल ) आहे, ह्या राशींच्या
-संबंर्धांत मानाचे ३२5 ची २५ पट इच्छा असल्यानें फलाचे
करे ची २५ पटच इच्छाफळ येते. अथवा मानाचे वह पट
- ईंच्छारारिा आहे, तर फळांचे इर पंटच इच्छाफल येते, ह्मणून
हा संबंध सम आहे,

एकमानगणित. | ६७७

प्रश्न ४ था.--२५ कोसांवर पत्र पोंचत्रन त्यांचा जबाब
४ ये दिवशीं ( त्वरेने) आणिल्यास १) रुपया देण्याचा करार
आहे. हा जबाब ३ र्‍या दिवशीं आणिल्यास काय यावे
_. जबाब जलद्‌ आणण्यांत मेहनत बाढते व काम ही अधिक
गळे मानलें जातें, ह्याकॉरेतां मजूरीही वाढली पाहिजे. ह्मणून,
जबाब ४ दिवसांनीं आणणें _१। रु.

तर व्यस्तापभ, ,, १ दिवसाने ,, ₹१॥रु.>९
तर्सेच ,? रे दिवसांनी ,, २91२५९
- १॥॥ २हे उत्तर

ह्या प्रश्नांत ४ दिवस हे मान अच्वून १। रु. ह॑ फळ आहे,
२ दिवस ही इच्छा आहे. मानाचे डे. पट इच्छा नामक
राशे दिल्याने, फळाचे ई पर इच्छाफल सेवे, अर्थात्‌ हा संबंध
व्यस्त आहि

सूचना २ री.--मान ब इच्छा ह्या एकां जातीच्या राशी-
मध्ये अनेक परिमाणसंख्या असल्या, तर त्या उतरत्या अगर
चढत्या भांजणीरने एकाच नांवाच्या कराव्या; आणि कृत्य वि-
विधांत करणें नसळें तर फळांतल्याही पारेमाणसंख्या एका
नांवाच्या कराव्या, जशा-- | |

प्रश्न ५ वा.--१२ पछ्ले ५ पायली तुरींना ८५ रुपये ८ आणे
९'पे पडतात, तर १ पल्ला १० पायळी तुरींना काय पडेळ !_

ह्या प्रश्नां १२ प. ५पा. हेमानव <५रु. ८ आ. ९
हे फळ असून ह्यांचा संवेध सम आहे हाणून,

१२ पके ५ पायली -<५रु. ८ आ. ९पे

ह्मणजे ३६५ पायली > १3६४२५ पै |

व १ पा. > _पईसे*पे. >४५पे.

ब ४० पा. -४५पे >४०- १८०० पे.
| - १५ आणे.

": ९ रु. ६ आ. हं उत्तर,

१५०८ भंकगणित.

प्रश्न ६ वा.--१०० रुपयांचे १ वषाचे |१२ रुपये व्याज
येतं, तर ५५० रुपयांचे २ वर्षाचे ञ्याज काय येईल?
ह्या प्रक्षांत 1०० रु. चें ) वर्ष ह्या सथुक्त ( दुहेरी ) मानाचा
संबंध १२रु. व्या. ह्या फळाशीं सम आहे. ह्मणून,
१०० रुपयांचे ) वर्षाचे व्याज > १२ रु.
तर १ रुपयाचे ) वषर्चि व्याज - बेव्रु
, ५५० रुपयांचे 9 ,, -. ५५० > क्व ्रु.-६६रु
“. ५५० रुपपांचें २ वर्षाचे ,, > ६व्रु.,२३-१९८ रु. हे उ.
प्रश्न ७ वा. -एकाचे ६२५ रुपये ८ महिने मजकडे होते, तर
ह्याचे बदळा किती मद्तीपावेतो ५०० रु. मीं त्याकडे ठेवावे ?
ह्या प्रश्नांत ६२५ रु. चे ८ म. ह्या संग्रक्त राशीपैकी ६२५
रु. हें मानव ८ म. हे फळ झाले आहेत. यास्तव ह्या मानफ-
लांचा संबंध गुण्यगुणकाप्रमाणें व्यस्त आहे. ह्मणून,
६२५ रु. चें ८ म. चें ब्याज.
-. १रु. चें ६२५ ८म. चें व्याज
"५०० रु. चे पवल म. चेंब्याज
-: ५००,. चें १० म. चेंब्याज हे उत्तर.
डैप--हे संबंध वहिवाटीने मनांत भरळेळे असल्यामुळे
इंच्छाफळें आपोआप यथायोग्य निघतात, ह्मणून हे पुढीठ
प्रश्नांत दर्शविळे नाहींत; तथापि कोणत्या संबंधाप्रमाण प्रश्न
सुटतो तें बोळून दाखविता आलें पाहिजे, झणून पुढच्या प्रत्येक
प्रश्नांत, प्रक्ष ३ ९ प्रमाणें त्यांतल्या प्रत्येक पायरीस, किवा
प्रश्न ५, ६, व ७, ह्याप्रमाणे प्रश्नाचे आरंभी हे संबंध विदया-
थ्यांनीं मनांत आणावे
प्रश्न ८ वा.-एका दिवाळे काढणाराळा ४२८८ रु. कर्ज
अस्रून, तो द्र रुपपरास १० आणे देवो आहे, तर त्याची जिन-
गी केवढी आहे !

१ रुपयाचे फेडींत त रु. देतो,
तर रे रुपयांचे ,) २ :< ३६ रु. देवल.

एकमानगणितं. $०९

ह्यावरून त्याची जिनगी २६८ < १० ह्मणजे २६८० रु.
किंमतीची आहे. हे उत्तर.

प्रश्न ९ वा.-द्र रुपपास ४ पेप्रमाणें इन्कमटाक्स ( प्राप्ती-
बरीळ कर ) ठेऊन एका मनुष्याला ४५१२ रु. मिळतात, तर
त्याचें मळचे वार्षिक उत्पन काय?

१८८ पै. मिळण्याळा प्राप्ति १९२ पे

ह शै १९२पे. _ *<पे ४८ रु.
.१ » १9) )) १८८ “अ > क१वरर

:. १९रपे.झ.१रु.,, ), डॅ * उेशेटे रु. डर
', ४५१२ रु. ,) )) ४ऊफरु. «४५१२ ४६०८ हं उचर.

अपूर्णांकाचे प्रश्न.
प्रश्न १० वा.-एका वस्तूच्या डे ची किंमत १५०० रु.
आहे, तर त्या वस्तूच्या दे ची किंमत काय़ होईल !

डे बस्तूची किंमत > १५२० रु.

ल ऱै' 9) १) न्य -१-10-९ र.
- १ दध 0 प "0-9 रु. << ७- ३५०० रु.
> पवे बस्तचेदची ग. 3५०० रु ऱ्चे खर -्रेट०० रु.

प्रश्न १९ वा.-६ठे पोंड रुण्याळा २४ पोंड ९ शिलिंग
७॥ पेन्स पडतात, तर ३२ पोंड « ऑस १२ पेनिवेठ रुप्याला
काय पडेल.

२५ पों. ९ शि. ४॥ पे. २५ पो. रडे शि. २९- पो.

१९

$१० भंकगणित.

आतां. ६डे पो. हप्याची किं. - 2£> पो.

७८9७
पौ क टे र. जा कली मह. न
१ प. रु. ११0 > -:-चशा< ऊपर
। ढु

२५» १
.. पो.रु. कि. कड

< च

-_१३ पो. १५ शि. ६पे. हें उत्तर.

प्र. १२ वा.-एका छावणीत १०००मनुष्ये असून त्यांना ६४
दिवस पुरेसे भन आहे. 4'५ दिवसांनीं त्यांतून १००० मनुष्ये
दुसऱ्या छावणींत धाडलीं, आणि राहिलेल्या प्रत्येक मनुष्याला
प्रातोदेवशीं पूर्वी देत असत त्याचे टे अन दिलें तर त्यांना ते

अन किती दिवस पुरेल?
| १'५ दिवसांनंतर २००५ म. चें ४९ दि. अन्न होते.
हणजे १ 2» )१०००म. चें. ४९३ ,, ),
२००० म. चे. -“ मीर,

१2? १) ४1१ १)

आतां पूर्ण दराने २००० म. ना, £६2->) दिव. अन्न पुरते.

४६ ८ 3 2८ ८

तर रे 7, २०००म.ना 5 क रर? १) प्रेळ
७ प

ब ट>ॉ॑)? २९००>र्म ना त ण त्यची ' तुत १)

टे दराने २००० म. ना. ८४ दिवस अन्न पुरेळ हें उचर.

प्र 9४ वा.-एका ठाणेवाल्यानें १९ रु. दराचे १२ पहे,

ब १० रु. दराचे ८ पे, असे तांदूळ एकत्र कळून त्यांपैकी ६
पछ्ले तांदूळ १५ च्या दराने विकले. ह्या व्यापारांत १० रु. नफा
होण्यासाठीं, बाकीचे तांदूळ त्याने कोणत्या दराने (पछ़ा) विकावे!
१४ रु. दराच्या १२ पल्ल्यांची किंमत > १ ६८ रु.

१० रु 9) टं १) 9) ऱ्य द्र० रु,

एकंदर २० ,) १) ऱरे९८रु.

१५ रु. द्राच्या ६ ,), 9) र ९० रु.

बाकी १४ )) ७. १ पेद रु.

एकमानगाणित. ५१५

ह्या मिश्रणापासून बाकी १५८व नफा १० मिळून १६८ रु
उंत्पन व्हावयाचे आहेत. हाणून
१४ पह्यांची किंम, - १६८ रु.
: तर॑ १ पैल्लयांची किं. - ४४६ - १२ रु. ह उत्तर
प्रश्न १४ वा.-एका व्यापार्‍यार्न इंग्ठंडाहून माळ आणविला.
त्याच्या किंमतीबंद्दळ ३००० पोंड आणि बांधणावळीचा व
रवानगीचा खर्च ६० पोंड लिहून आला. पैसा देतांना १ शि.
१०) पेन्सांस १ रु. प्रमाणें पैसा चुकवाबा लागला. ह्यांपैकी
3 माल त्याने ठर रुपयास १ आणा नफा घेऊन विकला आहे
ह्या एकंडद्र मालावर त्याळा ३५७० रु. नफा करणें] आहे, तर
बाकीचा माठ त्याने दुर रुपपास कायःनफा घेऊन विकावा!

१ शि. १०॥ पे. किंवा “शि. १" रु.
क १ शि. - य रु.
_ १'पों. अरु. चेर,
सर्व मालाचे २०६० पों ळे रु. ३०६०
- २२६४० रु.
व मालाची डे ची किं. > ८१६० रु.

तसंच १ रु. चा नफा > 93 आणा |
', ८१६० रु चा नफा > ८१६० आणे > ५१० रु.

डर माठाची किंमत, २२६४० रु. च २४४८० रु.
ब २४४८०२ वरील नफा. - २५७० रु.-५१०ु.-३०६०रु

“. १ रु. वरीलनफा देशच ऱटेरु

न
भ क्क

«९ दूर रुपयास ८3 आणे नफा ध्यावा हे उत्तर

विंग

नियाभेत कालांतल्या कासमाविषया प्रश्न,
प्र 9५ वा-एक काम क ५ दिवसांत करतो, आणि
ख १२ दिवसांत करतो, तर ते दोघे मिळून किती दिवसांत
करतील?

9१२ भअकगाणित.

क॒५ द्विसांत ) काम करतो तर दररोज ३ काम करील. री

तर्सेंच ख द्ररोज उर काम करील.
आतां, पे काम -- उ काम > दोघांची ) दिवसाची मेहनत,
हणजे शेटे काम ऱ्य») जा

०" दृक काम ऱ दोघांची वऊ दिवसाची मेहनत.

. १9 काम ऱ्नदोर्घांची ई$ दिवसांची ,,

“: हें काम दोघे मिळून ३कऊ दिवसांत करतील. हं उत्तर.
भ० १६ वा.-) काम क आणि ख ४ तासांत करितात,
क आणि ग ३दे तासांत करतात, ब ख आणि ग ५३ तासांत
करतात, तर्‌ तें काम क किती तासांत करील!
क आणि ख हे ४ तासांत १ काम करतात, तर ते १) तासांत
है काम करतील. |

हणून ) तासाचे काम कर्चे-- सर्चस

ब ् कर्चे--गचेंन न वप

“': मिळविल्याने ,, २ कचेप-खर्चेस-गर्चे - ४-- स ३
परतु वी खर्चे--गर्चऱ्‌ ऱ्ऱ ऱ्म्क्द्

1

“« वजाकेल्पाने,, २ कचे
«. समापमार्ण ,, क्य ऱऱ् हे.

क॑ १ तासांत हे काम करतो, हाणून ६ तासांत पूर्ण काम
करीळ, हें उत्तर.

सूचना. -कर्चे १ तासाचे काम ३ त वजा दिल्पानें खर्चे
१ तासार्चे काम निवर्ते, व ३७ त वजा दिल्याने गर्चे एक ता-
सार्चे काम निवर्ते. ह्याही दीतीर्न प्रत्येक किती किती तासांत क-
रतो हे काढतां येते. |

प्र १७ वा. --एका होदाळा ३ नळ्या आहेत. तो होढ प-
हिलीरने २ तास २० मिनिटांनी भरतो, दुसरीने ३३ तासांनी म-

एकंभानगरणित १५४

रतो, आणि तिसररीरने ) तास ३५ मिनिटांनी रिकामा होतो.
ह्यावरून हा होद रिकामा असतां तिन्ही नळ्या एकदम सोडि
व्या, तर किती तासांनीं भरेळ ? |
२ तास. २० मि. > २३ ता. - टे तास.
9 तास. १५ मि. > ११९ ता. दै$ तास
पहिली नळी डे तासांव 3 हौद भरते.

तर १ तासांव ३ होद भरील.
तशीच दुसरी नळी 9 तासांत ञे होद भरील.
व विसरी नळी १ तासांत ३३ होद रिकामा करीळ

येथे तिन्ही नळ्यांचे १ तासाचे. काम -(डे-3े-३३ ) होद.

तिन्ही नळ्यांचे उ तासांचें काम . बडे होद्‌
.. / विक तासांचे ,, > १ होद

तिन्ही नळ्यांनीं “23२९ तासांनी हौद्‌ भरेल ह
उत्तर.

प्र १८ वा.--कांही काम २४ बायका रोज १० तास खप-
न १६ दिवसांत करतात, तर ह्याच्या दुप्पट काम किती पुरुष
रोज ८ तास खपून १२ दिवसांत कारेतील ! जेवढे काम ४ बा-
यका एक तासांत कारितात तेवढे काम ३ पुरुष एका तासांत

करितात
$ काम 9० तासांचे 3६ दिवसांत २४ बायका करतात.

तर / 0 तासाचे १६ ,, २४० ,, करवील.
] १) १ 9) १ )) 0 ९>८२४२ ,, १
,. २ कार्म १ )) त १) रै> २८४०,) १)
आतां ४ बायकांचे ) तासाचें काम > ३ पुरुषांचे ) ता. काम.
१ बायकोचे ,, ऱ ट्रे पुरुषार्च ,,
.'. ७ऊब्द्बा.र्चे ,, न ७६८०> द पु. ))
| | >. १९२०> दे पु. ,)

ग्र धे द्‌ र झु ् 73

$५४ शंकमणिंतव.

तसेंच २कार्मे १ ता. चे १ दि. त ५७६० पु. करतात...
व्र ),) ८ », १ )»9» "९२० पु. करतील,

हे घड्याळाचं चित्र पहा.

प्र १९ वा.- घड्याळाचा मिनिटकांटा व अवरकांटा हे
एकमेकांशीं काटकोनांवं, १ वाजल्यानंतर केव्हां येतील ?

घड्याळाच्या तबकडीवरीळ वतुळांत लहान भाग ६० केलेले
असतात, त्यांस. मिनिटे हणतात. हे ५ भाग, अवरकांटा १ ता-
सांत चाळतो; तितक्‍या वेळांत मिनिटांचा कांटा हे ६० भाग.
चालतो; मिनिटकांटा 1२ मिनिटांत १२ भाग चालतो, तेब-
ढर्‍्याच वेळांत अवरकांटा १ भाग चालतो, ह्मणून मिनिटकांटा
हा 3२ मिनिटांत तासाच्या कांठ्यापेक्षां १9 भाग फाजील
चालतो.

एकपानगणित, १९५३

एक वाजतांना भिनिरकांटा १3९ बर अव्रन तासाचा कांटा
१ ब्र असतो. हणजे त्यांच्यामध्ये '५ भागांचे अंवर असतें.
ह्यावळून मिनिटकांटा हा तासाच्या कांत्यापेक्षां ५ भाग फाजीळ
चालला हणजे तासाच्या कांद्यावर येइळ. ५ -- १'५- २२
भांग फाजीळ चाळळा हणजे त्याशी पुढच्या कॉाटकोनांत वेईळ
आणि ५ -- ४५-५० भाग फाजीळ चालला झगजे त्याशीं
मागच्या काटकोनांत येईल
आतां १३) भाग फाजीळ चाळण्याळा १२ भि. ळागताव,

त्र र रे न ऐ> मि. लागतील,
टं १५ द
६० ,) क, 9) वैती > २० ,») १)
ऱस २३कुदू एक उत्तर
आणि ष2 १ ११ १) दच >< ५०

|
र
9
् र 3
0९]
र्य
टन]
१]
र्य,

मिनिटकांटा हा १ वाजल्यावर २१३१ मिनिटांनी ता-
साच्या कांख्याच्या पुढच्या काटकोनांत येईळ, व ५४क मिनि-
टांनीं त्याच्या मागच्या काटकोनांव गरेईळ. हीं उ्चरे

९९. सचना २ ली.--मिनिटकांटा हा त्यापासून तासाच्या
कांव्य[पर्यंतचे मिनिटांचे भाग फाजीळ चालला झणज ता-
साच्या कांब्याबर येवो, व तासाच्या कांट्यापर्यंतचे मिनिटांचे
भाग -- ३० मिनिटांचे भाग इतके भाग फाजील चाळठला ह्म-
णजे त्याच्या समोर थेवो, हीं ढोन उत्तरें वरच्याच नमुन्यानें
विद्यार्थ्यांनी काढावी.

१००. सूचना २ री.-मिनिटकांटा चालतो आहे. अवरका-
टाही चाळतो आहे. मिनिटकांटा दर १२ मिनिटांत १२ भाग-
चालतो. भवरकांटा तेवढ्या वेळांत ) भाग चालती. तेव्हा मि-
निटकांटा अवरकांठ्यापेक्षां तेवढ्या वेळांत ह्म? १२ मिनिटांत
११) भाग फाजीळ चालतो अर्ते वर डाखविलळे आहे. अवरकां-
टा मळींच चाळला नाही असे समजार्वे हणजे मिनिटकांटा
११ भाग १२ मिनिटांत चाळतो असे होते, अशा कल्पन

५६६ अंकगणित.

केळी हणजे घड्याळाची सर्व उदाहरणें ब पाठळांगांची' सर्व
उदाहरणें समजण्यास घ करण्यास सोपे जाते. वजाबाकीच्या
२ रकमांतून सारखी संख्या बजा केली तरी त्यांचें अंतर बदल-
त नाहीं. ( अं. भा. ) क. १५६ ) ह्यावरून अशी कल्पना क-
रण्यास कांहीं हरकत नाहीं. वरीळ उदाहरणांत अवरकांटा
मुळींच चाळत नाहीं असें कल्पिळें हणजे १२ मिनिटांत मि-
निटकांटा 9१) भाग चालतो असें धरितां येते. ) वाजतां अवर-
कांटा व मिनेटकांटा ह्यांच्यामध्ये अंतर ५ भाग आहे; दोन्ही
कांटे काटकोनांत येण्यास १५ भागांचे अंतर पाहिजे ह्मणून
अवरकांद्याशीं पुढीळ काटकोन करण्याळा मिनिटकांय्यास
१५--५२२० मिनिटे चालावे ळागेळ व मार्गीळह काटकोन क-
ण्यास मिर्नेटकांटा १० चे आंकड्यांवर आळा पाहिजे, ह्मणजे
मिनिटकांटा हा अवरकांट्याच्या पूढे ९ %५- ४५ भांग
चालला पाहिजे. हीं तो बारावर आहे, म्हणून त्याळा
५--४५>५० भाग चाललें पाहिजे. म्हणून
१19 भाग चालण्यास १२ मिनिटें लागतात

च १ १) १9१ ऱे टॅ १9१ ळागतील
कट २० ,, 1 देव ><२० 5२१ वध
णः ५० ,, १) देवे >(५० म र्ष षु

११
हणजे अवरकांत्याच्या पुढचा काटकोन ) वाजून २१ का
मिनिटांनी कराळ व मागचा काटकोन ९ वाजून पक्क
मिनिटांनी कराळ. हीं दोन उतरे आहेत.

प्र २० वा.-आमचें घड्याळ दररोज १। मिनिट फाजील
चालतें. हें घल्याळ आज 3२ वाजतांना २ मिनिटे पढे होते,
परवां सकाळीं ७ वाजून १० मिनिटांनी सूयोदय व्हावयाचा
आहे, व तेथन ५ घटिकांनीं मुंजीचा मुहुर्त दिळेळा आहे, तर
ह्या मुहूर्ताच्या वेळीं हें घड्याळ केवढा काळ दाखवील ?

आपल्या खासगी व्यवहारांत एका खूयोदयापासून दुसर्‍या सू-
योदियापावेतों स्पष्ट दिवस ( म्ह, वार ) मोजतात, परंतु सरकारी

*

ककँमानंगाणितं. . १५७

कामांत एका मध्यराभरीपासून दुसर्‍या मध्यरात्रीपावेतो घड्याळाने

दाखविलेल्या २४ तासांच्या काळाला मध्यम दिवस (म्ह. वार
ब तारीख ) म्हणतात. ह्या रीताने इष्ट काळापावेती घड्याळ
चालण्याचे तास मोजतां आजचे १२, उद्यांचे २४, व परवांचे
७ तास ११ मिनिटे -- २ तास, मिळून ४"५द तास भरतात
ह्या घड्याळाची,

२४ तासांतळी फाजीळ चाळ > ७५ से. चे भाग

१. ऱ्च्क्से
४५ ,, - टै$ ४५ से.,,
म्स्रे मे २० से ११
ब न दै १) 33 टत वध व्र जै से सु
पूर्वांची डर
एकंदर म >. ४ मि. २१ से.

४0५७

.. हे घड्याळ मुहूर्वांचे वेळीं ९ तास १४ मि. २१ सेकंद
दाखवील हें उत्तर.

"७ >

पाठलोगाविषयी

प्र०२९ वा.-एका जाळीपासून त्याच्या ६० उड्याइतका दूर ससा
जातांकषणींच त्या जाळीर्शा| कुत्रा आला. सशाच्या ५ उड्यां-
च्या काळांत ऊत्र्याच्या ४ उड्या होतात, आणे सशाचा उडा
२ यांडीवर पडत असून कुत्यांची उडी ३२ याडावर पडते, तर

घा जाळीपास्रून कितव्या उडीस तो कुत्रा सशाळा धराल!
सशाच्या उड्या ६०- ६० > २ याड १२० याड अवर
कड्याच्या ४ उब्यबांचा काळ > सशाच्या ५ उर्ड्यांचा काळ
कुत्र्याच्या 3 उडीचा काळ सशाच्या ३ उड्याचा काळ
कत्र्याच्या ३ यार्डांचा काठ स सशा. ४ > २ याडचा काल

-_ २3३ यार्ड चाळीचा काळ
क हद्दी भागगाडीकडे १ ते २४ तासपरत माजतात रावीचे दान व

दिवसाचे दोन वाजले असे न हणतां दानव चांदा वाजत अत्त अनकर्मे
हणतात,

११८ भंकगाणित.
आता ३ याड अंतर तोडण्यास छुत्पाची १ उडी लागते
पर) याड अंतर तोडण्यास छुत्र्याच्या २ उड्या लागतील.
त्वे रेल क तज. अ. व व्याच्या २४० उड्या ळागतील
2. हें उत्तर.
अथवा
सशाची १ उडी >२ यार्ड... ६० उड्या > ६२>२
याड -. 93२० याडं हें जाळीपासून सशाचे अंतर
सशाच्या ५ उड्या > ५<२ याई > १० याई.
छुंत्याच्या ४ उड्या > ४८३ यार्ड > १२ याई.
ह्यावरून कुत्रा ४ उड्यांत सशाच्या पढें २ याई जातो .'. १
उडीत ३ याई > २ माई पढे जातो. आत सुचना २ प्रमाणें
आपण ससा चाळत नाहीं अर्स मानिळे तर कञ्रा १ उड्डींत
याड जातो अर्स होतें. हणून २ उड्यांत १ याई जातो.
1२० याड जाण्याला व्यास २%१]२० > २४० उड्या मार
राव्या लागतील. हे उत्तर.

संयुक्त प्रश्न.
प्र २२ वा.-३२ नांगर ६ दिवसांत ९ एकर जमीन
नांगरवात, तर किती नांगर ८ दिवसांत ६४ एकर जमीन
लांगरतीलळ ?
६ दिवसांत ९६ ए. नांगरण्यास १२ नांगर लागतात,
तर १ 79 ९६ ए. १2 ६> १२ 72 लागतील.

६_ > _ १२
बन १ )?)? 1.५८. शिण नल हो. डी
| ८. > रॉ .
.. ऱ्य शॉ ल. आ चर किर
| र ६ >< १-9
हु. > 0
“८ 207 ८६४ए, )? "न््ड््ड द

६ तागर छागताल, हुं उत्तर

ऐंकंमानगणित. ५१९

प्र २३ वा.-३५ पायळी चणे ७ घोड्यांना १० द्विस
पुरतात, तर ९६ पायली चणे १८ घोड्यांना किती दिवस
परतीळ ?

३५ पा. च. ७ घोड्यांना १० । दिवस पुरतात.
तर १ ?? ७ 9) > “' 7? ' पुरतील.
ब॒ १ 9»? १ 27 टे >७ 22. 292

९६ )?? १ ?? २>२-घणा ??

> >
स क त्रे ठे > डं न.
व॒ ९६ १ १८ घाड्यांना कल शकड ११ 2)
मख
१०३ दिवसं पुरतील, हें उच्तर.

अभ्यासाकारेतां. उदाहरणें. व.

१. १७ पो. साखरेळा ८ शि. ६ पे. पडतात, तर ३ पोंडालां
काय पंडेळ ! | |

२. एका मनुष्याने ६२ कोसांची मजळ ४ दिवसांत केळी,

र तो दररोज किती चाळला !

$- एक गोणताभर धान्य ९ मनुष्यांना २४ दिवस पुरते, तर
तें एका मनष्याळा किती दड्विस पुरेळ !

४. २६५ पोंड. प्रात्तीवर ६ पोंड. १२ शि. ६ पे. इन्कमट्याक्स
( उत्पन्नावरील कर ) आकारतो, तर दूर पोंडावर काय़ बसला !

७. एक मनुष्य ४ दिवसांत ६२ कोस चालतो, तर तो किती
दिवसांत ९१२ कोस चालेल ?

६. एक शेत १२ मतुष्यें ४ दिवसांत कापतात, तर त १२

नुष्ये किती दिवसांत कापतील !

७. ७ शेर काफीळा ७ रु. ९ भा. ४ पै पडवात, तर ६३
: शैरांना काय. पडेल !
* द. १५ पोंड-साखरेळा ५ शी. ७२ पे. पडतात, तर १ हेद्रेइबेट
साखरेला काय पडेल ?

१९५ अंकगणित.

१. एक काम १५ मनुष्ये २० दिवसांत करितात, तर ते १२
दिवसांत करण्यास किती मनुष्ये लागतील 0 |

93०. १७ एकर जमिनीचा मक्ता ५९ पो. १० शि. पडतो,
तेर ८६ एकर जमिनीस काय पडेल ?

99. ६ प्रेन रुप्याळा ५ फार्दिंग पडले, तर एका क्रौनाचें रुपे
किती येईल ?

9९. ४ बार फ़लानेळीला ३॥॥-1) पडले, तर ५७ वार फाने-
ळीला काय पडेल !

9४. एका दिवाळखोराची जिनगी रु. २१५ किंमतीची अ:
छून त्याला १3०७५ रु. कर्ज आहे, तर त्याच्या फेडीत तो द्र
रुपयास काय़ देईल ?

अपूर्णाकाविषर्यी.
१४. एका इस्टेटीच्य़ा दे ची किंमत ७५२० रु. आहे, तर
विच्या 2 ची किंमत काय?
| १५. एका गृहस्थाची एका जहाजाच्या ठे बर मालकी आहे.
त्यार्न आपल्य़ा माळकीचे 3 हे १२६० पोंडाळा विकले, तर त्या
जहाजाची किंमत काय ?
3६- एका कारखान्याच्या उक वर एकाची मालकी आहे,
त्यानं आपल्या मालकीच्या ञे चा जो हा हिस्सा १२०४५ पो-
र

डांना विकला आहे. ह्या दराने ह्या कारखान्याच्या सै च्या वळे
खची किंमत काय आहे?

9७. १'५'५ हंद्रेडवेट माळ ६० मेळांवर नेण्याला ७ शि. ९पे.
भाई विळे आहे. ह्या भाड्यांत २२५ हंडरेडवेट माळ केव-
ढा लांबीवर नेळा जाईल?

१८. ८॥ इंच लांबीच्या मेणबत्या ६ आण्यांत अर्धा डझन
मिळतात. ह्याच जाडीच्या व १० इंच लांबीच्या मेणबत्या ७
आणे ४ पैमा अर्था इझन मिळतात, तर ह्यांवल्या कोणत्या मे-
शबर्या ब्रेष्यांत नफा आहे

काळ व काम ह्यांविषर्यी,

(30. एके काम क ६ तासांत करितो आणे खस ९ तासांत क
रितो, तर ते दोघे मिळून तें काम किवी तासांत करतील

_ २०. नेमलेळें कांहीं एक काम करण्याला कळा २५ दिवस
' लागवात, आणि गला ४५ दिषत ळाभताव, तर्‌ त्या दोबांना
मिळून किती द्िविस लागतील?

. ९१. नेमलेले शेते क आणि खस मिळून ३ दिवसांत काप-
तात, क आणि ग मिळून ३३ दिवसांत कापताव, ख आगि ग

मिळून ४ दिवसांत कापतात, तर ते तिघे मिळून किती दिवसांत
कापतील ? |

८२२. एका हौदाळा ३ नळ्या अद्चून त्यांनी अनुक्रमें ६, ८,
ब १२ मिनिटांनी तो हौद भरतो, तर ह्या तिन्ही नळ्या एकदम
सोडल्या असतां तो होद किती वेळांत भरेळ ?

. २३. कर्ने १४ दिवसांत एका कामाचे क केळे, आणि मग
खच्या मदतीने तें काम २ दिवसांत पुरे केळे, तर ह काम एकटा
ख किती दिवसांत करील ?

२४. एक काम क॑ ३ तासांत करितो, ख आणि ग मिळून
याच्या निमे वेळांत करतात, व क आणि ग मिळून 3३ तासांत
करतात, तर तें काम एकटा ख किती वेळांत करीळ ! _
. २५. एक काम अ २७ दिवसांत करितो आणि ब १५ दिव-
हांत करितो. ह्या कामी अ १२ दिवस खपळा, नंतर ब ५ द
[स सपला, आणि मग तें काम कर्ने ४ दिवसांत पुरे केलें,
यावरून हें काम एकट्या करने करिती दिवसांत केळें असे ?
९५६. एक होद्‌ वरच्या २ नळ्यांनी अनुक्तर्मे १८ आणि २९
पेनिटांत भरतो आणि खालच्या तोटीरने ४० मिनिटांत रिकामा
वो. आतां त्या र नळ्याब ती वोटी ही एकदम सोडिलीं, तर
1 शैद १७ मिनिटांत क्रिती भरेल ! | क.

१

9९१ 'झँकंगंणितं.
. घड्याळाविषदी.
२७. घड्याळाचे कांटे पुढच्या तासांमध्ये एकावर एक के-

व्हां येतील !
2ब%५:६व७, ९११०.

व्य

१८, घंडर्‍्याळाचे कांडे खालीं दिलेल्या तासांमध्ये एकमेकांशीं
कांटकोनांत केव्हां येतील ! |
४2व५,७ब<८,११व१ १२.
९९, पुढीळ तासांच्या दरम्यान घड्याळाचे कांटे एकमेकां-
समोर केव्हां य्रेतीळ !
| | १ब२, ४बण, ८ब ९.

साधारण प्रश्न.

३०, ठरलेल्या भाड्यांत १२०० पौंड ओझ ३६ मैलावर नेले
जाते, तर २४ मेळांबर किती पौंड ओक्ले नेळें जाईल! |
_ ३५१, २० औंस १९ पेनिवेठ २डेके ग्रेन वजनाच्या पेल्याला
८ पोंड १५ शि ३पे. पडळे, तर दर औंसास काय पडेल!

३२. १ पौंड 9१ औं. भार चमच्यांची किमत काय होईल १
प्रत्येक ३॥ औंस वजनाचा अता एक डक्षन चमच्यांना 1३
पोंड १० शि. प्रमाणें द्र आहे |

३३. एक मनुष्य २५ दिअरसांत ) '५य रु. भमाणें खचून सा-
ठिना १०० रु रिलूक पाडितो, तर त्याचें साठिना उत्पन्न
काय? | |

8३४. एक मनुष्य दररोज ६ तास चाळून २० दिवसांत ५४०
सैळ जावी, तर तो दररोज ८ तास चाळून ३ दिवसांत केवढी
मजळ करील ! |
- ३७, १० घोंडे ब १३२ मेंढ्या ह्यांना ८ ठ्विसांत ५० पोंड
१० शि. खर्च लागती; तर १५ घडि व १४ ८ मेंढ्या ह्यांना ति-
तंक्‍्धाच दिवसांस काय खर्च लागेळ? ५ घोड्यांचे खाणे ८४
'मेढ्यांना तंतोतंत पुरते असें घ्या. दी

४४, २१९० शिपायांच्या फोजेला ९ महिने पुरेशी भनभनसा*

एकंमानिंगाणेंत. १९३

(वाध

मुंग्री अहि. ह्या फौजेच्या मदतीला ६०० शिपाई आणखी
आणिले, तर हा सायुम्री किती मुदतीपावेतों पुरेळ ?

खयक् पश्च |

२५. ८ मदुष्य ७ दवस खपून ४० एकरांवरचें गवत का-
पतात, तर २४ मनुष्य २८ शिविस खपून किती एकरांवरचे गवत
कापितील ?

३८. ८ मनुष्यांची ५ दिवसांची मजुरी १२ रुपये पडते तर
२२ सतुष्यांचा २४ द्‌वसांची मजुरी काय पडेल?

३९. ९३९ रोपायांच्या पळटणीळा ३५१ काटर गहू १६८
दवस उुरवात, तर १४०७४ कार्टर गहूं ५६ दिवसांपावेतो किती
शिपायांना पुरतील ?

___20. उके मनुष्य 1२ तासांच्या ५ दिवसांत १५० मेळ चाट
ळत, वर तो १० तासांच्या किती दिवसांत ५०० मेळ चालेल?

४३. ३ रुपय ४ आणे देऊन ग्यासाचे ५ दिवे रोज ण
तासपरमाण १० दिवस ळाविता येतात, तर ३८ रुपये ९ आणे
“ऊन 'यासाचे कवी [देवे रोज ४ तासप्रमाणें १५ दिवस ला-
बितां येतील !

४२. ३ किरस्त्यांच्या टोळीला ३८० रुपये ९ आठवडे पुरतात,
वेर ५ फिरस्त्यांच्या टोळीळा ९५० रुपये किती द्विस पुरतील |

४३. १०० पट्या दार ही ४४ तोफांना, तासास ३० सर-
मत्त्माममाण ३ तासांचे ५ दिवस पुरते, तर ४०० पट्या दारू ६६
तोफांना, तासास ४० सरबस्यांप्रमाणे ५ तासांचे किती दिवसं
पुरेळ !

४४. २ साहन्यांनी ५०० रुपये, ७ महिन्यांनी २०० रु. भॉ-
णि २ महिन्यांनी २५० रु. यावयाचे आहेत. तर एकदम सर्व
रक्कम देणे झाल्यास ती केव्हां ययावी !

शब

छअुणात्तर,
१११. व्यवहारांत आपल्यासमोर कोणताही पदार्थ मेबो,

१९४. अंकगणित.

आपण त्याला लागलाच त्याच्या जातीच्या दुसऱ्या पडाथाशीं
ताडून पाहता. ताडून पाहण्याचे दोन मकार भाहेत. एक, अंतरा-
न आणे. दुसरा, पटीने

आमच्या घराची भिंत तुमच्या घराच्या भिंतीपेक्षां ५ फटांनी
उंच आहे असें सांगता, अथंबा दीडप आहे असे सांगतो
या दोन्ही सांगण्यांत दुस*्या भिंतीची उंची पहिल्या भिंतीचे
उंचीचे संबंधाने सांगिवळी गेल्यामुळें तिच्या वास्तविक मोठें-
पणाचे ज्ञान पहिल्या भिंतीच्या मोठेपणावर अवलंबन असते.
त्या दोन्ही थिंतीचे वास्तविक ज्ञान होण्यास त्या दोहींनाही
एका माहितींतळे मानाशीं ताडून पहावे ळागते. एक भिंत 9०
फूट आणि दुसरी १५ फूट असली, तर पहिलीपेश्षां दुसरी भिंत
५ फट उंच आहे, किंवा दुसरी पहिळांच्या ढोडपट उंच आहे
असें हाटल्याने डोन्ही भिंतींचा मोठेयणा चांगळा लक्षांत येतो

ह्या दुसऱ्या मकारांत १० फूट ह्या मापाने १'५ फूट मोजले
आहेत, हणन १० ऊठटांना सान द ५'५ फटांना त्याची पट अ-
शीं नांवें थेतात. फट हे ह्या राशीचे आय परिणाम आहे.
__ सर्व प्रकारचीं आद्य परिमाणे ठरविलेळीं आणि लोकांच्या
माहितींवळीं असदात. या भाय मानांच्या संबंधानें सर्व प्रका
रची माने सांगिवळेळीं असतात. ही स्व महच्वदशक परिमाणं
संख्यांनीं ठाखविलीं जातात.

चचार हात उंची, किंवा पांच विवे क्षेत्र, किंवा सहा वोळे ब-
जन, किंवा दोन दिवसांची मजळ, या शब्दांचा अर्थ बरोबर
समजण्यास एक हात उंची, एक बिघा क्षेत्र, एक तोळा बजन
किंवा एक दिवसाची मजल, यांचें ज्ञान आपणास एर्वी बरोबर
झालेले आहे असें वेऊन चालावे लागते.
_ अंतराने फरक दाखविर्णे आणि पटीने फरक दाखविणे, या
दोहोत जो भेद आहे तो चांगळा समजून घेतला पाहिजे. एका
होंदांत दररोज ८ घागरी पाणी यावयाचे त्याबद्दळ एके दिवशीं
त्यांत दोन घागरी अविक पाणी झालें भाणिडदु्सरे दिवशी त्यांब

दणोचर. | १९५

चार घागरी अधिक पाणी आलें, तर होंदांत दुसरे दिवशी' दुप्पट
पाणी आधेक आले ही गोष्ट खरी आहे. परंतु होदांवळें पाणी
दुप्पट झालं नाहीं. तं पहिळे द्विशीं सवाईने झाळे अणणे दुसरें
दिवशीं दिढीरने झालें. कालच्यापेक्षां उष्मा हवत आज दुप्पट:
आहे असं हटले, तर हवा दुष्पट गरम झाली असें समज नथे.-
सावकाराला कालच्यापेक्षां आज दुप्पट नफा झाळा असला,
तरा त्याची ठोलत दुप्पट झाली असे समजं नये.
य

१०२. एका इसमाजवळ २ रुपये दिळे; त्याने ६ शेर साख-
रेचा पुडा आणिळा. दुसऱ्या इसमाजवळ ८ रुपये दिले: त्याने
२४ शेर साखरेचा पडा आणिला

२ रुपये ब ८ रुपये द्यांत मोठेपणाचे संबंधाने तळना के-

| ह्मणजे २ रुपयांच्या ४ पट ८ रुपये आहेत. त्याममार्णेच ६:

शैरांच्या ४ पट २४ शेर आहेत. ह्या ४ परीळा अथवा कितीपर.
हें दाखविणार्‍या ४ ह्या संख्येळा खणोचर ह्मणतात

२ ह्यांची ६ हे तिप्वेट आहेत व ८ ह्यांची २४हेही ३
पट आहेत. परंतु २ व ६; तसेंच ८ व २४ हे सजातीय नाहींत.
कारण २ द ८ हे रुपये आहेत ब ६ व २४ हे शेर आहेत. ह्-.
णून २ रुपयांची ६ शेशंशी अथवा ८ रुपयांची २९ शेरांशीं.
पटाचे संबंधाने तुळना करितां वेव नाहीं. हणून वरीळ उदाहर-
णांत तान अगर ३ पद ह्यास मगोचर ह्ाणतां येत नाहीं. तेव्हा

र, “)]/

एका जातीच्या
ययाचे कितीक आ
दाखावेगारा जो दोन राशीं
हणतात

ज्या दोन सजावीय राशींची गुणीचराकारेतां आपण तुलना
कारंता त्यांस गुणाचराची पड अथवा गुणोत्तराचें थग्म ( जोडी)
अस ह्मणतात. वराळ उदाहरणांत २ रुपये, ८ रुपये; ६ शेर,-
२४ शेर ही चार ह्या गुणोत्राचीं पढें अथवा यग्मे आहेव. ३:

११६ अंकगणित.

रूपये व ६ शेर ह्या पहिल्या पदांत अग्रसर हणतात. व ८ रु-
एथे व २४ शेर ह्या दुसऱ्या पदांस उपाबसर हणतात. २ रुपये
अथवा ६ शेर ह मान ( माप ) धरून आपण ८ रुपये अथबा
२४ शेर ह्यांचा मोठेपणा मोजतो, हणन २ रुपवे व ६ शेरह्यांस
मान व दुसरीं परदे अथवा उपाय्रसर हीं मानांची पट दाखवि.
वात, हणून त्यांस पट ( गुण ) अशीं नांवे देगेही योग्य आहे
१०३, ठेखन.--दोन राशींचे गणोचर हे त्या राशीमध्ये

6अशीं दोन टिंबें देऊन मांडितात

जसें ३ शेरांस $ ६ शेर अथवा “गोर.

(१

४ $ ५ किंवा $&.

१०४. वाचन.---वरील गुणोत्तर * जते ३ शेरास ६ शेर !' अर्स
झराठ?त वाचतात च जते “3 शे( ६ शेरांस! अते हप्रनींत बाबतात
मराठी बाचणीत 3 शेर हा मानराशो होतो ह्षणून 3 शेर £ ६ शेर
णोत्तर मराठी वाचणीमरमा्णे £-7र_
ह्गु > शेर

हा भपूर्णाक दाखवि-
तो. इंग्रजी बाचणींत ६ शेर हा मान राशे होतो हणून, तेंच
गुणोत्तर सव हा अपूर्णाक दावितो; हे दोन्ही अपूर्णीक एक-

मेकांचे व्युत्कम ह्मणजे उलट भाहेत हणून मराठो बाचणीचे
उणातरळा दाव्तेण हझटळ तर इंमजी गुगोततराळा वाम ह्मणाचे
त्याचपमाण मराठा बाचणांचे गुणोत्ततडा सभ झटडें तर इंभरजी
बाचणांचं गुणोत्तरास व्यहत हणावे

जिते ' सहा शेरांस तोब शेर! ही माझे वःचणी इंग्रजी

वाचणांच्या अथाची आहे. हणून ती र ३
ऱी

दासाबेली जाते.

हया. अउणोकानं

* अग्रसर व उपाप्रसर ह्यांस इंग्रजीत अनक्रर्मे आंडिसीडंट (.&10-
८७५१६७१ ) व कान्सिवेट ( (्य56ए60७ ) झइणतात. पान व प्टहीं
नांव जुन्या संस्कृत ग्रंथांत भाढळतात यि

रुणीतर, ६९

. १५५. विशषोंप.- गुणोतराचें संबंधाने कितीएक गोष्टी लक्षां»
त ठेविल्या पाहिजेत त्या अशा--

क -मान राशीची पट त्या मान राशीच्याच जातीची अ-
' सावयाची. ह्यावरून गणोतरांचीं पर्दे ३ फूट : ६ याई अशा
भिन्न परिमाणांची असळीं तर ती. ३ फूट! १८ फूट अशीं ए-
काच परिमाणाची करून धेतळीं पाहिजेत. ३ फुटाच्या अमुक
पट ६ तास अहित अर्से हणतां थेत नाहीं, म्हणून गणोचराचॉ
परदे भिक्ष जातींची असतां कामार्चे नाहीं

--राशींचें यग्म किंबा गुणोत्तर हे त्या राशीतील संख्यां-

चा भाववाचक अपणकि दाखाविर्त, ह्यावरून “ ६ शेर $ ३
शेर ' ह्या यग्माचे जागीं मराठी गुणोचर वापरणाराला है घेतां
येवीळ, इंग्रजी गुणोत्तर बापरणाराळा ई वेतां थेतील, आणि ह्या
कोणत्याही गुणोचराचे जागीं “ ६ शेर: ३ शेर ॥ ह मूळचे
मुंग्मही घेतां येइल

गणोत्तरं अपर्णांकांनी दाखविळीं जातात, हाणून अपूणा-
कांच्या अंशठेदांपंबंधीं सर्व नियम गुणोच्रांच्या उण (अंश )
व भान ( छेड) ह्या पदांना लाग हातात
. ग.--गणोचराचीं पठे खण ( अंश ) आणि मान (छेद )
ह्यांना एकाच संख्येने गुणळें किंवा भागल, तर त्या गुणीचरांव
बदल होत नाहीं. जपे. ६ शेर: २ शेर 3१८ शर: ९ शर
> २ शेर : ) शेर

--मगुणोचराच्या अपूर्णांकांना समच्छेद्र्ये किंवा स मांश-

रूपें यावी, हणजे ह्या कोणत्याही रूपावरून दोन गुणाचरांचा
तुलना करून, त्यांना लहानमोठी किंवा बरोबराचा म्हणतां येतं
उदाहरणार्थ, ६: ५व ४: ३ हीं गुणोचरें ध्या

ह्यांचे अपर्णांक अनुकर्मे दे व ई हे आहेत

ह्यांची समच्छेद्रूवें अनुक्रमें अर्ध व $क हीं आहेत
व ह्यांची समांशरूपें अतुकमें इं व कन्ही आहित

ह्या समच्छेद्रूपांत पहिल्याच्या अंशापेक्षां दुसऱ्याचा अश

१्श्द डोष्कशाणित,

मीठा आहे, म्हणून ह्या गणोचरांच्या किंमती ह्या अंशांच्याप-
माण लहानमाठ्या असल्या पाहिजेत. हणजे १८ ना जितके.
पट मोठे २० आहेत तितकेच पट पहिल्या नुणोचरापेक्षां दुसरें
मुणांचर माठे असल पाहिजे. तर्सच वरच्या समांशरूपांत पहि-
ल्याच्या छेदांपेक्षां दुसऱ्याचा छेड लहान आहे, हाणुन ह्या गणो-
त्तरांच्या किमती ह्या छदांच्या व्यस्त रीतीर्ने ठछहानमोठ्या अट
सल्या पाहिजेत. झणजे दुसऱ्याचा छेड १८ ह्याला पहिल्याचा
छेद २० हा जितके पट मोठा आहे, तितकेच पट पहिल्या ग
णोतरापेक्षां दुसरं गुणोत्तर मोठं असलें पाहिजे

१५६ कभिक छणोचरं.--राशींच्या रांगेची जीं गणोचरे-
एका शेजेनें दाखाविलीं जातात, त्यांना कॉमिक गणोरे हणतात.
उदाहरणार्थ, ३ हात, ६ हात, ९ हात, ३६ हात, ही राशींची
रांग घतळी, तर हिन

श्हाःद्हा,६्हा:९ हा, ३६ हा.
' हीं गुणोचरें एका कमाने दाखविडीं जातात. हीं क्रमिक
गुणोचरं होव. हीं कमिक गुणोचरें अशीं मांडतात कीँ,--
व्हा: ६्हा4९हा१!४६दा |

१०७. चूवितित्रेढी.-ज्या राशींच्या रांगेचे गणोचर एकच
असतें, किंबा ज्या रांगेतील राशि एकाच गुणोत्तराएवढ्या पटीने
वाढत जातात अगर कमी होत जातात, त्या रांगेळा भूमितिश्रेदी
हणतात. जशा. ३ हा, ६ हा, ५२ हा, २४ हा इ

अशा क्रमिक गुजोचरांवल्या किंबा अेडीतल्या प्रत्येक

राशीळा एकाच संख्येने गुजिठें किंवा भागिळे, तर ह्या गणोचरांत
_ बंदळ होणार नाहीं हे उधड आहे. ।

_ १५०८. सांधे झजोभर.--एका युग्मारचे जें गणोचर. त्याळा
साधें गुणोत्तर हणतात. उदाहरणार्थ, पुढची साधी भणोचरें पहा
३५ १ ९५. चृ५९

१०९. संयुक्त गुणोचर.---साध्या गुणोचरांच्या गुणाकाराळा

. त्यांचें संयुक्त छणोत्तर किंवा गुणिततगुणोत्तर हणतात. हणजे

- श्रमाण, £ ५श्९

_ साध्या शुणोत्तरांतीळ अभ्रसरांच्या गुणांकाराने नवा अग्रसर
केला आणि उपामप्रसरांच्या गुणाकारानें नवा उपाग्रसर केला,
तर्‌ त्या नव्या सुग्माच्या गुणीचराळा मूळ्युग्मांचें संयुक्त गुणो-
त्तर झणतात. उदाहरणार्थ, वरच्या साध्या गणोत्तरांचें संयुक्त
गुणोत्तर, | | 1 0.
१३» ६५ ९ ६> ९> १८ ह आहे, . -
किंवा संक्षेप देतां ३ $: वेट ई आहे.

क्रमिक राशीतील कमिक गणोचरांच्या गुणाकारांव मधल्या
राशींचा संक्षेप जावमाचा हणन,

७३१०, फळ.-- कामेक गुणोचरांचे संयुक्त गणोचर हे त्या
फेमांतीलळ ञयंतराशींचे गुणोत्तर दाखवील

प्रसाण
१११, दोन गुणोत्तरांच्या समानतेळा ( बरोबरीला ) प्रमाण
झणतात ब ती समानता "ह्या चिन्हाने किंबा ह्याच्या आयंतं
७ बिंडूनीं दाखविताव. जशी.--
३ ५4 ९१२ १५ 1 १५
किंवा ३५६ २ 1: १५ ६ १०
अथवा ३२. £ २ रुं. : : १५ पेरू : १० पेरू

इं प्रमाण, जसे स २९, तसे ( तितकेच पट) १५स १५
असे वाचाबे, आणि ते उ “ देवे ह्या अपणांकांचे बरोबरीने
दाखवून बिचारांव ६्यावे.

प्रमाणांत ४ राशी अगर पर्दे असतात. १ ठे पद ब ररे प्‌
हीं एक गुणोचर दाखवितात. ३ र॑ब ४ त्याच्या बरोबरीचे
दुसरं गुणोचर दाखवितात. गुणोत्तर समान असलीं ह्मणजे
प्रमाण होतें. तेव्हां प्रमाणांतीळ १ ळे, २२ हीं पदे एका जाती-
ववींव ३रेंब ४ थें ही दोन एकाच जातीचीं ब एकाच माना-
चीं असलीं झणजे उरे आहे. चारी पदें एकाच जावीचींव
एकाच मांनार्ची असली पाहिजेत असें नाही.

१७७ _ _ अंकगणित.

रय "दे आणि उघचटच्व चन्ई-
ह्मणजे गणोत्तराचे अग्रसर व उपाग्रसर परिमाणवाचक अथबा
भाववाचक असले तरी गुणोत्तर भावसंख्याच येणार. तेव्हां
भमाण मांडण्याकारेतां त्यांतील ४ परदे भावसंख्या असोत किंवा
परिमाणसंख्या असोत, तीं भावसंख्या आहेत अर्सेच धरून
चाळळं तरी अडचण पडणार नाहीं.

-. ३ैरु.:२रु. :: १५ पेरू ५० पेरू.

हे प्रमाण 22४ असें वाम गुणोच्तरें घेऊन (इंग्रजी तऱ्हेने )
- अरोबरी मांडल्याने होते. व ऊे ३२६ असे दुभिण गुणोचरांची
( मराठी तऱ्हेची ) बरोबरी मांडल्याने होते, ह्मणून प्रमाणांतील
दोन यरग्मांची बरोबरी मांडतांना गुणोात्तरांस अपूर्णीकाचें रूप दिले
तर दोन्ही युग्मांचे अपूर्णांक एकाच (दक्षिण किंवा वाम) गणो-
त्तरानें मांडावे. हे लक्षांत ठेवावें. कारण हे दोन प्रकारचे अप-
णाँंक एकमेकांचे उळट अथवा व्युत्कम होतात, म्हणून एक
एका प्रकाराने व दुसरा दुसर्‍या प्रकाराने मांडरे नये. |

१५२. प्रमाणांतील शेवटची व मधली पदें.- प्रमाणांतल्या
पहिल्या ब चवथ्या राशींना शेवटीळ पर्ठे हणतात आणि दुस-
व्या ब तिसर्‍या राशींना मधली पर्ठे म्हणतात.

११३. प्रमाणासंबंधीं कांहीं उपयुक्त नियम पुढे दिळे आहेत.
हे नियम विशेष अंकांच्या प्रमाणार्शी पडताळन पाहिळे असतां
त्यांचा खरेपणा भत्ययास थेतो. तरी त्यावरून हे नियय कोण.
. त्याही प्रमाणाशीं खरे राहतील, असं सामार्न्प्रेकरून ह्मणवत
नाहीं, झाकारतां पहिळा, दुसरा, तिसरा, चवथा, हे क्रमिक
राशि किंबा त्यांच्या संख्या दाखाविण्याला प, दु, ति, च, हे
सरचक वर्ण किंवा क, ख, ग, घ, असळे क्रमिक वर्ण घेऊं,
आणि समानतेच्या प्रत्यक्ष प्रमाणाच्या आधाराने हे नियम सा-
भाम्यरुपाने सिद्ध कड.

प्रमाण, 1...)

समानतेची प्रत्यक्ष प्रमाणे. |
स. प्र. 9 छे.-- जे रारी एका ( किंबा समान) राशीशीं
समान असतात, ते परस्पर समान असतात.
ड० क बरोबर प व क बरोवर ब असेल तर
पब असे होते
स. प्र. २ रं.--समानांत समान ( किंबा एकच ) मिळविले
तर बेरजा समान येतात
ड० क॑--पन््क--ब अथवा क --१नब-- १,
स. प्र ३र.--समानांत समान ( किंवा एकच ) वजा केले,
तर बाक्‍्था समान येतात.
डउ० क-प-र्‍क-वबकभअथवाक-९४न्ब-७४
अथवाक -१>-प-१. |
स. प्र. ४ थे.-समानांस समानांनीं (किंवा एकानेंच ) गृ.
'णिळें, तर गुणाकार समान येतात.
. उ० क>पस्बक>पयक><बव
क >१-प >» ब> १
अथवा क><न्ब>"स्प>%९
सं. प्र ५ वे.-- समानांस समानांनीं ( किंबा एकानंच ) भा-
गिळे, तर भागाकार समान येतात

ड०--पे च्च भथबा के स्यन्य
आमध्थवा मट तिव्य च.
११४. नियम ५१ ळा.- चार राशे प्रमाणांत असळे तर १लळा

ब ४थायांचा गुणाकार, रेरा व३ रा यांच्या गुणाकाराब-
रोबर होतो.

उ» जर्‌ ४ : १२ :: ६ : १८

| तर्‌ ४ > १८ 53२ > ६

कारण इंप्रभी गणोरे अपणीकांत लिहिल्याने

३४१ भंकरणित.

६ > १२ _ ६_ “
| आणि ३१० >१षर२र "१८
स, त. १ थअपमाण
४ ५" १८ £ > १५२

ही

१२%१८"" १८ > १२
ह्या दोन्ही अपूर्णाकांचे छंद सारखे आहेत.
', स. प्र. ५ प्रमाणे
४> १८-६५ १२
अधथबा सूचक वर्ण घेऊन
जर प :दु::ति: च
तर प ><चस दे > ति

कारणं
आणि ---- प

णांतील कोणवेही ३ रार झसवीळ, तर ४ था गाशे का-
ढतां येतो. ह्यामळें हा निसम वेरारोकांचा पाया आहे असें होते.

१११५. प्रमाणांत मथळीं पदे एकच असलीं तर त्या प्रत्येका-
ळा शेबटीळ पदांचे भ्रूनितिमध्यपभाण हणवात. उ. २: ४२
४:५८ येथे रब ८ ह्यांचे भूमितिमध्यप्रमाण ४ आहे. कारण
नियम १ प्रमाणे २% ८२ ४९ २४

१/२ ८२२४ ह्मणून,

दोन संख्यांचे भामितिमध्यप्रमाण हें त्यांच्या गुणाकाराच्या
बर्गमूळाने दाखविलं जावे.

११६. सुचचना १ ली.--प -चऱदु-तिह्या समानतेळा
स. प्र. ५ प्रमाणे चर्ने दोन्हीकडे भागिले, तर,

ति
"त येतो
शाबरून प्रमाणामध्ये जे दोन गुणाकार बरोबर असतात त्यां-

हा नियम फार महत्या हे. ह्यावरून कोणत्याही प्रमा-
फ़

श्रेधाण, १४३४

तीळ एकाच्या अवयवार्ने दुसर्‍याला भागारवे हणजे राहिळेला
अवयव येईल. जस्ता. --

उ. यति -_ प. र्‍च

पृ पण्य ति म ---
च दु

बर्ड न कव 10
त्ते प

ह्यावरून ४ थे पड काढणे झाल्यास ३ र्‍या पदास मराठी
गुणोत्तराने गुणावे अतत होत

ड्दा ८, ह्या वीनसंख्या प्रमाणांत येण्यास पहिलें
किंवा इसरे पद कोणते असावे ?

न ति
पहिळे पद्‌ काढणें तर, प -ा क च
ह्यानें बरीळ प्रमाण असें होते की, प :६२७:८.
ी प-ऱ्च
इसर पठ काढण तर, दु णाली > ६८-६६

यासांकारेतां उदाहरणें. श.
खाळी संख्या ददल्या आहेत ह्यांच्याशी प्रमाणांत ग्रे) अशा
आडि पदी, २ रे पर्डी, ३ रे पदी, आणि ४ ये पदी, कोणत्या

संख्य! थेतील ते सांगा.

३१, २९, दे, ४. २. ३, ४, ५.
४. टं, ५, ६. “डी षत द, ७,
क. शे १3, ६. ४ ५, ८
७. ४१ '9, ९ टॅ. 5५, ७ '७

>
११७. खुचना २ री.-दिठिल्या वरोबरीवरून प्रमाणांतील पढे
पांडण झाल्यास दोन गोडो लक्षांत ठेवाव्या
(१ ) पढे भमाणांत आहेत म्हणून शेवटच्या दोन पदांचा
गुणाकार मधल्या दोन पदांच्या गुणाकारावरोनर पाहिजे,
१९

१३४ शंक्‍्कगणितं.

(२) दोन गुणोत्तरांच्या बरोबरीपासून भमाण होते आणि
_गुणोच्तर निघण्यास देन रारि एका जातीचे ब एका मानाचे
लागतात म्हणून पहिळें ब दुसरें पद्‌ ही जोडी, तसेंच तिसरें व
चवथे पद ही जोडी एकाच जातीची ब एका मानाची असली
पाहिजे.
उ० ५१ >५ खंडी १० > २ संडी ह्याबरोबरीची पदे
प्रमाणांत मांडा.

(१) ४ :१० : २ खंडी : ५ खंडी , किंवाक
(२) ५ !१० २ २ खंडी: ९ खंडी , किंवा
(३) १० ः: ४ > ७५ खंडी: २ खंडी , किंवान
(४) १९ प - ४ खंडी २ खंडी , किंवा

क्क १७
9्ट
“५
५ *
।
५]

(५) २ खंडी
(६) रे खंडी : ५ खंडी ७४
(७) ७ खंडी : २ खंडी 30
(८) ८५सखंडीः २खेडी३12
ह्या ८ प्रकारांनी प्रमाणांत लिहितां येवीळ. ह्यांत ५ खंडी व २
खंडी हेच राशि कायम ठेवणें झाल्यास * रने दाखविलेल्या ४
ऱहेनीं माञ ठिहितां येतील.

4 1१9 >» किंबा
१० , किंवा
५. & ,ई किंबा

९ करर

७७ 9्शै ळ्ळ

अभ्यासाकरिता उदाहरणें. घ.
खालीं दिळेल्या समान गुंगाकारांच अवयव प्रमाणांत मांडा.
१. १५» ८ आंबे 3२% १० आंब ;
१. १२ > १७ तोळे १४६ तोळे;
३. अठरा पेचे २ नऊ दाही; ४. ४८ पायली -. ४ मण;
७. २० पारणे "३२ निमे; ६ चे $ळ;
७.क्ष-ज्ञन्ये; ट८.क.ख नख. ग;
. ७५१८. नियम २ रा. - वचार रारी प्रमाणांत असळे तरते
व्थस्त रीतीनही भमाणांत असतात.
उ० जर ४: ८:५५: १६: २२
तर ८४५ ४५५ ३१२! १६

प्रमाण. १३५

कॉरण, टडर गणीचतरांचे इंग्रजी पद्धतिप्र ०
«» १ ऑ्टॅस्१ ० डेरेस. प्र. ५ प्रमाणे
" इ डे अथवा
८:४-१२१५११६
अथवा सूचक वर्ण घेऊन
प:ःदुरति: च असला,
व्र द५ःप>च: ति होईल
कारण दे वे
आणि ळा "त.
दु च
येथे स. प्र, ५ प्रमाणें पहिल्या बरोबरीला दुसऱया बरोबरीने
भागिले हणजे असें येतं कीं,--
इ_च
प ति

हणजे डइः$प>-च : ति हच सिद्ध करगे होर्वे. |
दोन्ही गणोचरांचीं परदे एका जातीची अगर बेगळाल्या
जातीची असलीं तरी त्यांना हा नियम लाग होतो, असा हा.
सामान्य नियम आहे. उदाहरण
३ रुपये £ १२ रुपये ८ महिने : ३२ महिने असले
तर १२रु. 4: ३ रु. -३१२म. : ८ म. असतात
११९. सूचना-प:दुः: तिः च असं असल्यास

हेवाम गणा चर (अथवाईइंग्रजी गणोचर) होत आणि

सज

हं दाकषिण गणोचर (अथवा मराठी गणोत्तर) होतं

र्श्न | टि भभ ग श्ल
की | 4 मै | क;

१२०. नियम ३ रा.--एकाच जातीचे चार रारी प्रमाणांत
असले, तर त्यांतील अग्रसर व उपामप्रसर हे एका भाड एकरा
शिभमाणांव असतात

ह्मणजे पःदुरतिः च असला,

1... अंकगणित.
तर पःतिऱ्ह : च अंसंतो.
प ति जा .. दु
कारण, दच दिळा आहि. ह्या बरोबरीला ऱ्््य्या गुणोचरा-
भै स. प्र. ४ प्र. दोहींकडे गुणिळें, तर असं येतें कीं --
प. तक
द॒ ति च ति

ह्मणजे पःतिन्वदुःच-
सचना.--दोन्ही गुणोचरांचे राशि एकाच नांवाचे असले
( अगर भावसंख्या असले ), तरच प: तिव दु: च ह्यांमध्ये
गुणोत्तर संभवते. उदाहरणार्थ--7
रपै:४पेसदपेः१२पे हें प्रमाण पहा. परेतु दोन गु-
णोचरांचे राशे बेगळाल्या नांवाचे असले; तर त्यांत हीं गुणो-
सरे संभवत नाहींत. उदाहरणार्थ.-7
गय २'पैसे : ४ पैसे ६ आंबे : 3२ आंबे, ह्या प्रमाणांत २
से ह्यांचे अमुक पट ६ आंबे आहेत असे ह्मणतां येत नाहीं,
ह्मणून ह्यांना एकाच जातीचे ' ही अट असावी लागते.
. $९१. नियम ४ था.--चारी रागे भावसंख्या असले तर
४५१२६: १८
हे प्रमाण खालीं दाखविलेल्या < भकारांनीं लिहितां येतें
($) ४१1१२ - ६१:१८ (९ )१२५ ४१८६ ६
(३) ४: ६२१२: १८ (४) ६: ४--१८५१२
(५) ६५१८२ ४: १२ (६) १८: ६१२: ४
(७)१२: १८ ४: ६ (८) १८५१२ ६५ ४
ह्या सर्व प्रमाणांत मधल्या दोन पदांचा गुणाकार शेवटल्या
दोभ पदांच्या गुणाकारावरोबर आहे. ;
१२२. संयुक्त प्रमाण -ज्या प्रमाणांत अंनेक गुंग्मांचा संबंध
येतो, त्यास संयुक्त भमाण हणतात. जअर्से,

२: २१८ ६५१ ९
५: १० > ९ ! पैटँ
४ :£ १२ स १८ : ५९

असें आहे वर,

२:>५>,>४:१४१>१०,<१२!!; ६ >९> १८५९ १८ > दट.
9२९३. नियम ५ वा.--अनेक युग्मांच्या गणोत्तरांबरोबर क्र-

मिक राशींची गुणोचरें असलीं, तर त्या युग्मांच्या संयुक्त

( गुणित ) गुणोत्तरांबरोबर कामिक राशींवीळ आयंतींच्या रा-

शींचे गुणोचर असते
वरील उदाहरणांत

२ 9८ ७ >< ४ ६>८ २९ > 9-4 - 8

आल आख्यान,

$%>१०%षव२₹ णक >क्शआपााा पर
युग्मांवाल भावसंख्या दाखविण्याळा क, ख, ग, घ, इत्यादि
जोड घेतले आणि क्रामिक राशी दाखबिण्यालळा य, र, ल, इ-
त्यांदे काभिक वण घेतले, तर असें होतें की--

ल्ल

क:खसऱ्यःर
ग:घसरर:ल
आणि च:ःचछ>लळ:व असला
त्र क-ग.-च:ख-.घ-छ-यःव असतो

येथे य, र, ठ, इत्याद रारा भाबसंख्यांचे असले, तर स॑
प्र. ४ प. वरीळ वरोबरींचा गुणाकार करून उजवीकडच्या गु-
णांचराळा साधारण अवयबांचा संक्षेप दिला, हणजे इषसिद्धि
होते. पातु हे राशे परिमाणांचे असले, झणजे त्यांचा गुणाकार
पंभवत नाहीं. ह्मणून र आणि ल ह्यांच्या किमती फळ ) प्रमा-
णं दूक्षिणगुणीचरांचे आधारें काढून त्यांच्या जागीं ठेवाव्या,

धणजे असें येते कीं -
क:खस््यः:

११ड्ढ _ अंकगणित.

, : खं धं भ
पॅ ८-- :<--:<य्‌:ःवॅ
भाणि वःछ लीक
त, 0
धर, 1 च भ्र, री कः. ड्‌

स.प्र ४ प्र. क.ग.च><वन्खघ.छ>«य
प्र. नि.२प. क.ग.चःख-. घ' छन्य:व
- असें थेवे. हेंच सिद्ध करणें होत. ह्याच नियमाचे आधारें
संयुक्त प्रश्न अगर बहुराशिके सोडवितां येतात

उदाहरण २ ठे.-कला ख हे गुणोचर २: ३ असें आहे
आणि खला ग हे गुणोचर ५: ६ असें आहे, तर कळा गह
गुणोचर कसे होईल?

पाता डा
टं -ऱ्य्डु
| ख॒
खख पज
आणि चट
कक का.
ख ग >? टु
५ २०८ ७२७ धर ० र
सक्षपान म ऱ्ऱ्ऱ

र क:ः:ग>५१:९ हे उत्तर.

उदाहरण २२.-कला ख हे गुणोत्तर २: ३ असे आहे,
खला गह ५: ६ असें आहे, आणिगळाघहें ७:८ असें
आहें. ह्यावरून क, ख, ग, घ, ह्यांची क्रमिक गणोचरं सांगा.

सूचना.-र्‍ह्या भत्येक जोडीळा डावीकडचे तिच्या खाळचे अंक
(मंग्रसर) व उजवीकडचे तिच्या वरचे अंक (उपायसर) असे गुणक
द्यावे, हणजे त्यांचे जागीं कमिकव परणसंख्या येतात. हा नियम

अ...

* येथें | इत्पादे जोड्यांपासन भमाणाचे आधारें क्रमिक राठी
र. र्ट 59 ६ > ८
आणावेतेर ' ३, 2 ह > , पप्पा परा , असे नियमाने येतात. ह्या-

क

ना दोंवटच्याचा छेद हा साधारण शणक देकन सवांचे ठेद उडवावे, क्षण-
झे वरील नियम दिसून येता

न्ह्_. ._..

शबाण, १४९

लक्षांत ठेवा. ह्या नियमाप्रमाणे ह्या जोड्यांना अनुक्रमें ५७८७
७:८३, व ३५६, हे गुणक यावे, हणजे अतें येते की-

कः: ख यस २९ ६ ३४ : ७० ! १७५५

ख:ःगर ५: ६२१०५: १२६८

ग:घ- ७: ८> १२६ : १४९
.. क: ख:ःग:ःघच२>%७०:१०१५:१२६: ५५४ हे उचर..
उदाहरण ३ रे.-एका ७२ शेरांच्या भांड्यांत १9 भाग दूध
व १ भाग पाणी आहे. ह्यांत किती पाणी वालावें हणजे त्यांव
पाण्याचे ९ पट दूध होईल! |
खुलासा. ७२ शोरांचे १९ भाग केळे तर भत्येक भाग
६ शेरांचा होतो, अर्थात्‌ ह्या भांड्यांत ३ शेर पाणी व ६६ शेर

दूध आहे. हें दूध कायम ठेवणे भाहे. हणन

५: ३ -_ ६६ शेरे : उड

लाची क ८2. ट्स र टके. : म्ये
ह्यावरून १३ रर पागा बाळाचं हे उतर,

११: ३१५; १४९) : २४१३
३५६४५ ७७५७६. १६ ०
२. पुढच्या गुगोचरांदी संयक गगोत

७» ७

शि
०<] ७-०
र्ष
क ढ वी

“पि व ११ १५१ ष्‌

वुळ गुणो सरळखूपांनीं सांगा
3.३ वेक केर हये १६. दही?

: 1६;

५: -02 ळ क्ट । शि <
: देहे? आणि ६३: 1३३ हा गुणोचरांचे प्रमाण
र)

५ एड, उद, १२ आणि इ ९४ द्या चार संख्या प्रमाणांत
आहेव काय? नसल्यास पाहेल्या दीन संख्या प्रमाणांत येण्या-
ळा ४ थे पद्‌ काय घ्यावे !

१४७ अंकृगणिश,

६. पुढच्या संख्यांची भमितिमध्यभमाणे सांगा,
श्हैव१०३$ . *'१ व *००३१; ३८७९०८ थु ०१८७,
उच्रांत द. स्थ. ४ आणा

७, एक आगगाडी ११३ तासांत २३९७६ भेळ चाळते. आणि
दुसरी ८- तासांत २६२३ मेळ चाळते. ह्यांच्या बेगांची तलना
करून दाखवा. (हणजे ह्या वेगांचे भमाणसांगा) र

८, कला २ रु. मिळाले तर खळा ३ रु. मिळवतात. खळा
४ रु मिळाळे तर गळा ५ रु. मिळतात आणि अळा दरु
मिळाळे तर घळा ७ रु. मिळतात. तर चा खा, न, घ ह्यांच्या
ह्या मिळकती परस्परांशी ताटून दाखवा. ( हणजे ह्या मिळकती
फ़मिक पमाणाच्या रूपाचे मांडून दाखवा )

९. एक वाणी १९ शेर मोहरींत ५ शेर शिरीस मिळवितो
आणि दुसरा वाणी २७ शेर मोडरींव ७ शेर शिधीस्ल भिळवितो.
ह्या दोन मिश्रणांतीळ मोहर्‍यांचें प्रमाण सांगा

१०. एका 'चरवींत ९ भाग दूध व ) भाग पाणी आहे.
त्या चरवींत आणखी ४ शेर पाणी घावळें, तर्‌ त्या मिश्वद्धांत
शुद्ध दुधाच्या ष्ठांश पाणी होतें. तर ह्या चरवींत शुद्ध इ्‌ध किंती
शेर आहे!

११ एक पिंप ३ भाग निंची दारू भाणे २ भाग उंची
दारू ह्यांनी भरळेळे आहे. ह्यांतून किवी मिश्र काढून त्याबद्दळ
उंची दारू धाळावी' हणजे त्या नब्या धित्रजांन दोन्ही दारू स-
मान होतील ? |

१२. एक शिकारी ऊुञ्रा सशाच्या मार्गे ळागळा आहे. हा
. सशाच्या ४ उड्यांच्या वेळांत २ उड्या डाकिनो, पण सशाच्या
३ उड्यांच्या लांबीबरोबर ह्याच्या २ उश्यांची लांबी असते
ह्यावरून हा कुञा व ससा ह्यांच्या वेगाचे प्रमाण सांगा

१३. ७५०९ रुपे अ, बव छु ह्यांव अशा रीतीने वांटा कीं
भला बचे दुप्पट वांटा मिळेळ ब बळा कचे २ पर मिळेळ

१४. २८६ पोंड ह्या रकमेचे असे भाग कराकींते र ५४
ह्या प्रमाणांत भसतील

बरयाण, ६४१

७३, ५ पुरुषव < मुळे ह्यांनी कांही एक काम शेवटास नेलें.
जर प्रत्येक मुळांचे २ पट काम मत्येक पुरुष करीतं आहि. तर
त्या कामाचा किववा भाग ५ पुरुषांनी तडीस नेळा !

१९. वाराची दारू सोरा, कोळसा व गंधक हीं मिळंबून
कारेतात. त्यांचे पमाण कमवबार ३३, ७ ब ५ हे. आहे. तर
९० शेर ठारुंत किती शेर गंधक आहे !

१७. गाडी, घोडा व सामान मिळून १०४० रुपमे किंमत
होते. घोड्याची झिंमत गाडीचे ५ पट आहे ब गाडीची सामा-
नाचे दुप्पट आहे. तर सामानाची किंमत काढ.

शं ण

१८, एका त्रिकोणाच्या बाजू १, ते ब ट्रे ह्या भमाणांत आ-
'हेत. तर सर्वात मोठी बाजु 3 याई धरळी तर त्या बरिकोणाच्या
बाजू किंती मोठ्या असल्या पाहिजेत.

१९. दोन गृहस्थांना भागीने एक कुरण ३०० रुपयांस खंडून
घेवळें आहे. तेथें एकमण आपल्या ३० गाई 3२ दिवस चार*
ती ब दुसरा आपल्या २० गाई ७ दिवस चारतो. तर प्रत्येकांचे
हिश्शास किवी रकम देणें थवे?

२०. १०६१५ रुपये तिघेजणांत असे बॉंटंन या कीं ते बोठे
है, घेव छे ह्या प्रमार्गांत होवीळ.

२१. कांहीं व्यापारांत अ, ब आणि क ह्या तिघांनी भोंडवलळं
४६०० रु. घातळे. अने बपेक्षां ४०० रुपये जास्त दिले. बने
कंपेक्षां २१०० जास्त ठिळे. व्यापारांत २४५२ नका झाला, तर
तो विधांदीं कसा बाडून घ्यावा

९१. १०० भाग तांबे आणे 4) भाग जस्त असे मिश्र

करून तोफ ओतवात. तर १६ ह. बे. ३ का. १) पो. बजनाची
तोफ ओतण्पास तांबे ब॑ जस्त किवी किवी वजन ळागतीळ !
_ २३. आक्सिजन व हेद्रोजन ह्या दोन बायंपास्रून पाणी
होतें ब त्यांत ह्या दोन वायूचे ८८.८ :; ११.) हे प्रमाण अस-
ते, तर 3 घनफूट (3००० औंस ) पाण्यांत प्रत्येक वाझूर्चे
बसन किती कघेळ!

५६४४ भ्रकूगणिंत.

२४. अ आणि व ह्यांनी एका व्यापारांत ४: ५ ह्या भ्रमाणानें
भांडवळ घातळें. तीन महिन्यांनी त्यांनी आपापल्या भागांपैकी
अनुक्रमे इ व डे काढून घेवळे. वर्षाचे शेवटीं त्यांस ३३५ रुपये
नफा झाला, तर तो त्यांनीं कसा वांटून घ्यावा ?

२५ अच्या मालकीची एक खाण आहे, तिचेपेकी 3
त्याने बळा विकळे. बने विकत घेवळेल्या भागांपैकी पै कला
विकत दिळा व शिल्लक राहिल्या भागपेकीं 3 अला परत वि-
कळा. एकंदर नफा १५०० रुपये झाळा. तर प्रत्येकाचे वांटणी-

स काय येईल ?

सापे भमाण अथवा चेराशिक,

१९४. जें प्रमाण दोन मुगोतरांचें साव्य दाखविते, किंबा
ज्यांत उचर शोधण्याळा तीनच शाशी (साथे किंवा संथुक्त )
पूर्णपणे दिळेळे असतात, त्याला साथे प्रमाण अगर त्रेराशिक
हैणतात.

' उदाहरण. --२ पैशांस ५ ञंवे मिळतात, तर. 2 पैशांस
किती आंबे मिळतीळ ! ह्यांचे प्रमाण असे मांडतात कीं, --
२ पैसे : ६पैसे ५ आंबे : उत्तर आंबे.

ह्या प्रमाणांत दोन्ही गुजोतं साधी आहेव व त्यांची बरोबरी
दिळी आहे ह्मणून ह्याळा साधे प्रमाण ह्मगनात. तर्सेंच ह्यांत
उचर शोधण्यासाठी तीनच राशि प्रशप्े डिळे अहित. हणून
ह्याला नैराशिकही हणतात.

- 9२७. राशींची नांवे.-पमाणांतल्या राशींना हणजे पदांना
अनुकर्मे मानराशि (ह्य माप ), इच्छा राशि, फलराशि
आणि इच्छाफळ अशीं नांवें देवात.

.- पैरीळ उदाहरणांत : रपेतते' ह भावगाग्रेव : ९ पेसे ह
इहेच्छाराशि आहे; ततच '५ आये ! हा फलराशि व * उत्तर ये.
णारे अवि! हा इच्छाठल आहे. कळम ९ ६ पहा,

23९६. संबंधी राशि -प्रमाणांत दोन युगे अप्ततात, भाणि
पिःयेकाच! एक अमसर व दुक तपाग्ररर असलो, पहिल्या अमनस-

सार्थे पमाण अथवा त्रेराशिक. १४४

राचा संबंध दुसऱ्या अप्रसराशीं असतो, तसाच पहिल्या उपाम्रस-
राचा संघंध दुसऱ्या उपाभ्रसराशी असतो. हेच दोन संचंध मान ब
त्याचे फल, भाणि इच्छा व इच्छाफळ, ह्या अन्वर्थक जोड्यां-
नीं दागत हतात.

१२७. सजातीय राशि.--प्रमणांत पहिल्या अप्रसराची पट
त्याचा उपापमसर असून दुसऱ्पा अप्रघराचा तीच पट त्याचा उपा.
प्रसर असतो. त्याचप्रमाणे मानराशि व इच्छाराणि हे सजातीय अ
सुन फलराशि व इच्छाफल हेही राशि सजातीय असतात.

उदाहरणांत संचंधी राशींचे दोन जोड दिलेले असून त्यांच्या
प्रमाणांत सजातीय राशींचे दोन जोड वेगळाले मांडावे लागतात,
हया मेद्‌ वरचं उदाहरण ब प्रमाण ह्यांवरून लक्षांत आणा.

१९८. महत्वें व त्यांचे बदल.--प्रमाणांत दोन गणोचरांचे
साम्य दिळें असते.

प्रत्येक गुणोचरांत एक अभप्रसर ब एक उपाग्रसर असतो.

२पेसेः: ६पेसेन ५ आंबे : १५ आंबे.

ह्या प्रमाणांत २ पेसे : ६ पैसे ! ह्या गुणोचतरांत रपैसेच
६ पेसे ह्यांस मानराशींचे अय्नसर व उपामय्रसर ह्मणतात. तसेच

५ आंबे : 1१५ आंबे ! ह्या गुणीचरांत "५ आांबेव १५ आंबे
ह्यांस फठराशींचे अग्रसर ब उपाग्रसर ह्मणतात

मानराशींतीळ अग्रसराची कांहीं पट त्याचा उपाय्रसर घेत-
ला, ह्मणजे फळराशींतीळ अप्रसराची तितकोच पट, अगर
तितक्‍यावाच हिस्सा, त्याचा उपाप्रसर ध्यावा लागतो. ह्मणून
इच्छाराशीला मानराशीचा अगर मानमहत्वाचा बदळ आणि
इच्छाफळाळा फळराशीचा अगर फळमहत्वाचा बदल हणतात.
( कलम ९६ पहा. ) |

उदाहरणार्थ, नेमळेल्या वेळांत १ मनुष्य ६ कागद लिहिती
असें धवळे, झणजे त्या वेळांत दोन मनुष्ये १९ कागद लठिहि
तीळ असें घेतले जाते. तसच नेमळेळे काम १ मनुष्य ६ ता-
सांत करिती भसे घेतळे, हणजे त काम २ मनुष्ये ३ तासांत

६४8 अंकगणित.

करितील अर्से घेतलें जातें. ह्यांची प्रमाणें उंदाहंरणोंतल्या शर
बेंधी राशींच्या कमाने अशी' मांडळीं जातात कीं,--

9 लॅ. १ मनु. : २ मु. - ६ कागद £ १२९ कांगद,

२ र. 3) मनु. : २ मन. तर ६ तास : ३ तास.

1 ल्या प्रमाणांत मनुष्याचा बदळ २ पठटीचा आहे, तसाच
कागदांचाही बदळ २ पटीचा आहे. ह्मणजे ] स २ असा सम
आहे. २ र्‍या प्रमाणांत मनुष्याचा बदळ २ पटीचा आहे, परंतु
तासांचा बदूळ २ र्‍या हिश्शाचा आहे, झणून २ रॅ युग्म उलट
( व्यस्त ) केळें तरच त्याचें गुणोत्तर १ ल्याच्या गुणोचराबरोबर
मांडतां येईळ. व्यवहारांतल्या प्रश्नांवरून अशीं दोन प्रकारची
प्रमार्णे मांडिलीं जातात, हणून प्रमाणाचे प्रकार सम आणि
व्यस्त असे दोन कल्पितात.

अकक्केळ कळ तयार

समप्रमाण.

१२९. ज्या प्रमाणांत मानराशींतील अप्रसराची कांहीं पर
अगर्‌ हिस्सा त्याचा उपाय्रसर वेतळा तर फलराशीतील अग्रस-
रांची तितकीच पठ अगर तितकाच हिस्सा त्याचा उंपोग्रसर
असतो त्यास संमभ्रमाण ह्णताते. |

उदाहरणार्थ, कोणतही काम नेमळेल्या मनुष्पांकडून नेमके
होत आहे ( ३ ल्या प्रमाणांतील अग्रसर पहा ), तर तें काम
आधिक मनुष्यांकडून आधिक होईल, व कमी मनुष्यांकडून कमी
होईल, ह्मणून कामाचा बदल मनुष्यांच्या समप्रमाणानें होतो
अर्से म्हणतात ह्याचा अथ मनुष्यांच्या संख्यांच्या समपमाणांत
कामाचे राशी असतात असा होतो.

9४५. कितीएक समप्रमाणें व्यवहारावरून कळतात. जशीं.-
शवर संबंध कायम ( एकसारखेच ) असले, तर,

(१ ) वस्तूच्या किमतींचा बदुळ त्या वसूंच्या संख्यांच्या
.सैमप्रमाणांव होतो. ---

इ० २ पैशांना केळी तर ८ वैशांना २४ केळी,

साधं प्रमाण अथवा बेराशिक. ५४९

(२ ) बाहतुकीच्या भाज्यांचा वदले लांबीच्या समप्रमाणांत
होतो. जसा --
उ० ५ कोस जाण्यास १ रुपया तर १५ कोसांस ३ रुपये,
(३ ) वर वापरण्याच्या भाज्यांचा बदळ बापरणकीच्या का
लाच्या समभ्रमाणांत होवो. जया
उ० १) महन्याच वरना २ रुपये पडत तर ८मलवन्यांचं वर-
भाड १६ रुपर्य पब्ळ
(४ ) मुदळ वापरण्याच्या व्याजाचा वरळ त्या मढलाच्या
समप्माणांत होतो. जपा,
उ० १२० रुपयांचे 3 महिन्याचे व्याज ८ आणे पडतें तर
१२ महिन्यांचं, १२ ८ >९६ आणे अगर ६ रुपये पडतात.
( ५ ) नियमित कालळापावेती वापरणाऱ्या शक्तींच्या कामाचा
बदुळ त्या शक्तींच्या संख्यांच्या समप्रमाणांन होतो. जसा. --
उ० ३ मोंटेळा ४ वेळ ळागतात, तर ५ मोटांना २० चेल
- लागतील
कितीएक समप्रमाण शाखीय विचारांपासून कळतात. जः
(६ ) अपूणाकांच छेड सारखे असले, वर त्यांच्या किमती-
चा बदळ अंशांच्या समममाणांव होवो. जमा.--
५ अंश : ७ अंश "उंद दोरे
__ . हणजे ५व ७ अशा दोन भाज्यांना १६ सारख्या एकाच
भाजकानं भागलं, तर हे भागाकार त्या भाज्यांच्या समभमाणांत
थतात.
(७) वतुळ परिघांचा चदूढ व्यासांच्या समप्रमाणांत होतो.
जंसा!-<
१ फूट व्यासावर वतुळ काढले, तर त्याचा परिचे ३१४९१६
फुंटी मरतो असे भूमितीच्या विचाराने ठरते. येथे 3५१४१६ ही
परिघपार्ने दाखविण्याकरितां प्प घेतला तर.---
१ याई व्यास : ८ याई व्यास > 5१०१६ याई (प्म )
५५ २१४१८ याड (८प्प)
शै द्र

५४% भंकंगणित.

(८ ) वतुठक्षेत्रांचा बदूळ त्यांच्या व्यासांच्या वगाच्या ( त्या
व्यासांवरीळ चोरसांच्या ) सभप्रमाणांत हाता, जसा.--
बर्तळाच्या व्यासावरील चोरत्त १ चोरसमाम हटला, तर

त्यावरील बर्तळारचे सत्र रा चो. माने येते. हणन,--

१६५ २:५१ व्यासाच्या वर्तळाचे क्षेत्र "र. चो. मार्ने !
५ व्यासाच्या वतळाचें कषेज उ० चा. माने

( ९) गोलाच्या पष्कळांचा बदूळ त्यांच्या व्यासांच्या बगा-
च्या समप्रमाणांत होतो. हणजे

गोलाच्या व्यासावरील चोरस १ चोरसपान हटला, तर त्या
गोलारच पृष्ठकळ प्प्न चोरसमान ठरते. हणून,--

१ ३१ ५-9 ठप्ासाच्या बोलार्चे एषएफल प्म चो. मा. ५५
ढपासाच्या गोलाचे परएफल उ० चो. मा

(१० ) गोलांच्या घबफळांचा बदल त्यांच्या व्यास घनांच्या
( व्यासवरीळ घनांच्या ) समप्रमाणांत होतो. जसा

गोलाच्या व्यासावरील धनाला १ घनमान हटले, तरत्या
गोळाच घनफळ न घनमाने ठःते. ह्मणून,

१ ४ ८० 9 व्यासाच्या गोलारचें घनफळ न घममार्ने :
८ व्यासाच्या गोळाचें घनफळ उ० घ्भमार्ने,

१३१३. नियमित भेरणेच्या अत्यचेगाचा बद्‌ळ प्रेरणा कालाच्या
समप्रमाणांत होतो. ह्षणजेः -”

पदार्थोबर घडणारे भूमीर्चे भाकषंण, आगगाडीच्या रांगेवर घड-
णारी वाफेची भेरणा, तांग्यावर लागू होणारी घोड्यांची भोढ, इ-
त्यादि प्रेरणा नेमाच्या असतात. क्षणने त्यांजकडून दूर सेकंदास
किंवा क्षणोक्षणी नेमलेल्या मानाचा वेग त्यांच्या प्रेरित पदार्थाना
भिळत असतो. ह्या बेगवृद्ीर्न येणाऱ्या चाळीळा जर कांही प्रति”
बंघक असले, तर त्यावर ह्या पोरेत पदाथांचा एकसारसा दाब
ळार्‌ होतो; भथवा त्यांची स्थिरावस्था खुटली, तर ह्या प्रेरित
पृदाथीला बाढणान्या वेगाच्या गति मिळतात, उदाहरणाथ, भू.

सार्धे प्रमाण अथवा जैराशिक. १४७

. मचे भाकषेण आंब्यावर सतत असतें ह्याच्या बेगवृद्धीमुळे त्या
झांब्याचा मार त्याच्या डेसाव( एकसारसा लागू होतो, आाणे तो
आंबा डेखापासून सुटला ह्मणजे त्याला दुर सेकंदास >२ फुटाप्र-
मार्णे वेग मिळत असतो. ह्ामुळे तो झांबा वाढत्या वेगाच्या ग-
तीने भूमीकडे चालूं लागतो. भूमीच्या आाकृषंणाच्या ह्या नेमाच्या
वेगवृद्धीसुळे एकंदर पदाथोमध्ये नियामित किवा एकसारखे राह.
णारे गुरुत्व (वजन ) येतें झणूस ह्या वेगवृद्धीळा गुरुत्वाकर्षण
ह नांव देऊन ती ग या झआादुवणार्ने दाखवितात. इतर प्रेरणांच्या
वेगवृद्धी वृ ह्या वर्णन दाखवितात, आणि कोणाचेही अंत्यवेग वर्ग
दाखवितात. एर्थ रोजच्या माहितींतर्ळे गुरुत्वाकपणच घेतले, तर
वराळ नियमाने अर्से प्रमाण होते की, --

9 सेकंद : ४ सेकंद > १ सेकंदाचा अंत्यवेग सुमार॑:२ फूट
किंवा ग! ४ सेकंदाचा अंत्यवेग व.

नियमाने प्रोरेत होणाऱ्या पदार्थांचा चाळीचा बदळ काळा-
च्या वर्गांच्या समप्रमाणांत होतो, आणि त्याची एका सेकंदांतली
बाल अंत्यवेंगाच्या निमे होते, हणून

9: ४ सेंकंदांतळी चाळ ग किंबा १६ फूट : ४ सेकं-
दांतळी चाल च.

अ अ

व्यस्त प्रमाण.

9३२, ज्या प्रमाणांव (सम प्रमाणाचे उलट हणजे) मानरा-
शांतीळ अग्रसराची कांहीं पट अगर हिस्सा त्याचा उपागय्रसर
घेतळा, तर फळराशींतील अग्रसराचा तितका हिस्सा अगर
पट अनुक्रमें त्याचा उपायग्रसर असतो त्यास व्यस्त प्रमाण ह्-
णतात. अथबा ज्या प्रमाणांव मानराशीचा कांहीं अश अथवा
पट इच्छाराशे असतां इच्छाफल हे फलराशीच्या तितक्या पट
अथवा तितक्‍याचा अंश असतें त्या प्रमाणास व्यस्त म्हणतात.

उदाहरणार्थ. कोणतेही काम नेमक्‍या मनुष्यांकडून नेमक्या
काळांत होत आहे (२ र्‍या प्रमाणांतील १ ळें व ३२ पद्‌
पहा ), तर्‌ ते काम अधिक मनुष्यांकडजून कमी काळांत होईढ,

१४८ भंकगणित.

(२रँब ९ थें पद्‌ पहा ), आणि कमी मनुष्यांकडून अधिक
काळांत होईल हें उघड आहे. म्हणून काळाचा बदल मनुष्यां-
च्या व्यस्त भ्रमाणांत होतो असें म्हणतात. समप्रमाणांत जे
गुणोचर येतें त्याच्या उळट गुणोत्तर व्यस्त प्रमाणांत येतें.
प्रमाणांत गुणोत्तरांची बरोबरी मांडावी लागते म्हणून व्यस्त
प्रमाणांत एक युग्म उळट मांडावे ळागत. ह्यावरून व्यस्त प्र
माणांत पदांचा स्थळें कां बदलावी ळागतात हें लक्षांत येईल.

१३४. कितीएक व्यस्त प्रमाणे व्यवहारावरून कळतात.
जशीं:--

(9 ) नेमलेल्या छताळा मांजरपाट घालणें असला, तर
मांजरपाटाच्या लांबीचा बदूळ रुंदीच्या व्यस्त प्रमाणांत होतो.
जसा-- |

उ० २ फूट रुंदीचा तागा जर १० फूट लांब ठागतो, तर ९
फूट रुंदीचा ५ फट लांब पुरे आहे.

(२ ) नेमलेल्या रकमेच्या मोहरा घेणे असल्या, तर त्यांच्या
संख्यांचा बदल त्यांच्या द्रांच्या व्यस्त प्रमाणांत होईल. जसा.-

उ'० १०० रुपयांच्या मोहोरा घेणं आहे तर २० रु. किमती
ख्या ५ आल्या, तर २५ रु. किमतीच्या ४ थेतील.

(२ ) दोन बोड्यांनीं एकच अंतर क्रॉमिळें, तर त्यांच्या वेगां-
चा बदल ते अवर कमण्यास लागलेल्या काळांच्या व्यस्त प्रमा-
णांत होईळ. जसा --

उ० दोन घोड्यांनीं १२० मेळ अंतर अनुक्रमें ३० व २९
तासांत क्रमिळें तर त्यांचे धांवण्याची गति अनुक्रमें २९ व ३०
ह्या भमाणांत म्ह० ४, ५ ह्या प्रमाणांत असली पाहिजे.

(९४ ) धान्म मोजकं असलें, तर ते पुरण्याच्या दिवसांचा
बदल वे खाणाऱ्या मनुष्यांच्या व्यस्त प्रमाणांत होईल.

उ० ६ मण धान्य २ मनुष्यांस २० दिवस पुरते तर ४ मनु-
प्यांस १५ दिवस जाईल.

१३४. कितीएक व्यस्त प्रमाणे शाखीय विचारांपासून कळ.
तात, जशीं$-7

क» "त
मक

सारे प्रमाण भथवा नेराविक. १४९

( ५) अपूर्णाकांचे अंश समान असळे, तर त्यांच्या किम-
तीचा बदूळ त्यांच्या छेदाच्या व्यस्त* प्रमाणांत होतो

उ ड्‌ *बुई>3२९१९%- ३३४५ कृष

ह्मणजे ७ सारख्या एकाच भाज्याळा ९वब १२ अशा वेग-
ळाल्या भाजकांनीं भागळें, तर ते भागाकार त्या भाजकांच्या
ब्यस्त भमाणांत येतात.

( ६ ) तराजूच्या तरफांवरील ( दांड्यांवरील ) वजनांचा ब-
दुल त्या तरफांच्या व्पस्त प्रमाणांत होतो.

उ०. १५ इंच तरफ : १६ इंच तरफ > १६ इं. तरफेवरील प-
दार्थाचे वजन प: १५ इं. तरफेबरील पदार्थांचे वजन व.

(७) प्रकाशाचा बदुळ अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणांत
होतो. उदाहरण, |

१ : ३ "२३ फूट अंतरावरच्या प्रकाशाचे मान : १ फट अं”
तरावरच्या प्रकाशाचें मान.

(८) गुरुत्वाकर्षणाचा बदळ अंतरांच्या वर्गाच्या व्यस्त प्र-
माणांत होतो.1 उ०

भूमध्यापासून समुद्रपृष्ठाचे अंतर मेळ ४०००१:

भूमध्यापासख्ून हिमाळयाच्या शिखराचे अंतर मेळ ४००५८

एका पदार्थाचा हिमाळयाच्या शिखरावरीळ भार ४० शेर:

त्याच पदार्थाचा समठ्रवीरावरीळ भार उ शेर

भथवा

* ०"

जढयेगव: जगटेयशन पदार्थांचा समृद्रतीरावरीलळ भार भ
शेर : त्याचा हिमाळयावरील भार उ शेर.

वर सांगितलेले समप्रमाण व व्यस्तप्रमाण ह्यांच्या विचा-
रावरून वैराशेकाची रीति उत्पन्न होते ती अशी.-

१४७५. चैराशिकाची रीति.--उत्तराच्या जावीचे दिलळेळें पढ

* यग्मांतील पदांचा क्रम बदलल्याने, किंवा त्या पदांचे जागीं त्यांचे
न्युत्क्रम घंतल्याने, त्या य॒ग्माचं गणात्तर व्यस्त होतें

1 भाम णे गोल आहे असें धरून हा ब्रियम सांगितला आहे.

१५९ अंकगाणित.

हा० फठरारि १ ऱ्या स्थलीं मांडून उत्तराचे दर्शक अक्षर ९
थ्या स्थलीं मांडावे; ३ ऱ्याचे संबंधी पड्‌ ( मानराशि ) १ ल्या
स्थलीं मांडावे, आणि ४ श्याचे संबंधी पद्‌ ( इच्छाराशि ) २
र्‍य्या स्थळीं मांडावे

उत्तरं ३ र्‍या पदापेक्षां जास्त येत आहे, अर्स वाटल्यास 9
ल्या व २ र्‍या पदांपैकी जें मोठ असेल तें २ र्‍या स्थलीं मांडा-
बै व उरलेळें पद्‌ ) ल्या स्थलीं मांडावे. उततर ३१ र्‍या पदा-
पेक्षां कमी येत असेळ तर १ ल्या व २ र्‍या पदांपैकी जे लहान
असेल तें पद्‌ २ र्‍या स्थळीं मांडावे व उरळेळें पद १ ल्या स्थ-
लीं मांडार्वे.

(9) १ लें व ररे पद॒ हीं एका नांवाची करावीं व

(२) ३ रॅ पठ जसें उत्तर पाहिजे असेल त्या नांवाचे करावें.

( ३ ) नंतर ३ र्‍या पदाला २ र्‍या पदाने गुणावेंव १ ल्या
षठार्न भागावे. भागाकार उत्तर दाखवील.

प्रमाण मांडल्यावर सर्व पदें भावसंख्या आहेव असें कल्पून
गुणाकार भागाकार करीत जावें.

उपपस्ति -प्रमाणांत ल्या व ४ थ्या पदांचा गणाकार हा
२र्‍याव 3 र्‍या पदांच्या गुणाकाराचरोबर असतो (कळम ११४),
हणन २र्‍ऱ्याव >र्‍या पदांच्या गणाकाराळा १ ल्या पदाने
भागिले ह्मणजे * थे पद हणजे उत्तर येते. प्रमाण सभ असले
ह्मणजे १ ल्यास : २ रः: > ऱ्यास : * थें अग्री पदें भसतात.
पज प्रमाण व्यस्त असर्ळे ह्मणजे 3 र्‍या पदाच्या जितके पट
उत्तर येणार असेल तितडंंच > र्‍या पदाचे पट २ र पद्‌ करण्या-
करितां पदांची अदूळावदूल कळी पाहिजे. जेशाशिक्क म!डीपर्यंत
प्रत्येक पदाचे नांवाची जरूर असते. एकदां प्रमाण मांडलें हणजे
गणोत्तरांचे साम्य २ करून उद्इरण सोडविणे असतें. ते
गुणोत्तर नेहमीं भावसंख्ेया अततें, हणून सर्व संख्या भावसंख्या
आहेत अर्से कल्पिळे ह्ॅणेजे चांगले.

सूचना १ लठी.- ५ शः पढ व रर॑ं पद हीं एका लघुतम
परिमाणाचीं असलीं; तर तिसऱ्या पदाळा एका लघुतम पारमा-

साधे घमाय अथवा वेराशिक- १७३

णांच रूप म देता विविथाच रीवीनं गुणाकारभागाकार करावा,
व हो पदे एका मोठ्या परिभाणाची असळोां वर ९ यया पदाला
एका परिमाणाचें रूप यावें

सूचना ९ री.-गणकभाजक जोडण्यापूर्वी अंगर नंवर $
ल॑ररं,व१. ३४२, ह्या पदांना संक्षप गेल्यास यावा

उ. ३ छं. ३८ शेर साखरेस १११ रुपये पडतात, तर १९ शेर
साखरेस काय पडेळ !

ह्या उठाहरणांत उत्तर किती रुपये ? हें काढणें आहे. येथें
इच्छाफळाच्या जातीचे १११ रुपये आहेत, हे ३२ स्थळीं मां
हुन, इच्छाफळ ४ थे स्थळीं कल्पिळें. नंवर १११ रुपयांचे
संबंधी ३८ शेर हे पहिळे स्थळीं मांडरन, इच्छाफळाथे संबंधी
१९ शेर हे दुसरे स्थळीं मांडळे. जर्शे.-

देव गे वर्पे 6.1३.

मळ साखरेच्या निं्मे दुसरी साखर घेतळी, तर मळ रुपयां
च्या निंमेंच दसरे रुपये पडतात, हाणून हे प्रमाण सम आहे,
म्हणून - 3 १.>८.).* रुपये हे उत्तर

संक्षेप देऊन अथवा स्रूचना २ प्रमाणें

4
१११ »>< १-8 ११ आन
"120203 ने. ऱ्य रुपये ५५॥,

अथवा
- १८१५१९५: )१३ ३ फ.
संक्षेप देऊन २: १::१११:हु.फ.
हाणून 2 ह्या मराठी गणोचतरानें तिसरे पड गणिल्यास इ”
च्छाफळ येईळ. (क. ११९)
इ. फ, > १११ रु. > ३ . ५'५॥ रुपये हे उत्तर
उ. २ रे. ८५ मेळ जाण्यास १०॥८ भाडे पडलं, तर
११० मेळ जाण्याला भाडे काथ पडेठ !
रीतीप्रमाणे १०॥> भाडं व इउच्छाफळ ही ररे व ४ येस्थाना
मांडून, त्यांचे संबंधी पदें 3 ले व २ रे स्थळीं मांडिली, जर्त,

१५६९ हँकगणित,

टप भै ५: १३२७ मेल -. १० रु. ! दृष्ट रु.
७ ७७ चर र
संक्षेपाने १७ मे. ५ ९६ मेळ > १०॥८ रु. ! इष्ट रु.
१७ मेलांपेक्षां अधिक लांबीवर गळे तर १०॥८ रु. पेक्षां
अधिक भाडे पडेळ, हणजे भाड्याचा बदुळ लांबीच्या सम
भरमाणांव होतो; म्हणून हें उदाहरण सम आहे. ह्मणून,

क २६५ १०>_ ऱ्य
ठ. इ. रु. हन मा १६. रु. २६
१७|२७६॥
१६] रु. सुमारे हे उत्तर १६॥

इ. ४ र. नेमळेळं कुरण ८४ गाईस १२ दिवस पुरतं, तर
त 9१२ गाईस किती दिवस प्रेळ !

रांतीपमाण ८४ गा. : ११२ गा. । 4 १२ दि. । इ. दि.

कुरण खाण्याळा गाई वाढल्या तर तं कमी दिवस पुरत
म्हणजे दिवसांचा बदळ गाईंच्या व्यस्त प्रमाणांव होतो, यास्तव
ह उदाहरण व्यस्त आहे. म्हणून पहिल्या सुग्माचीं पदे बदळून
घमाण सम केलं. जसे,

११२गा.! ८४ गा. १२ दि. : इ. दि.
दि. > ८४ १२५. ११२

:]
न दिं गच व पप्पा ऱ्र स्य ९
« ९ दिवस हं उत्तर. र]

उ. ४ थॅ.---एक वाटसरू रोज < तास प्रमाणे चाळून ३१३३
डिवसांनीं आपल्या गांवीं पोहाचळा. तो जर दररोज ६ तासप्र-
मारणं चाळता, तर आपल्या गांबीं किती दिवसांनीं पोहोचता !

हा वाटसरू दररोज ८ तासांपेक्षा कमी तास चाळता, तर

बीची मजळ होण्याला त्याळा ३३ पेक्षां जास्ती दिवस ळाग-
ते, असं हे प्रमाण व्यस्व हणून फळराशि व इच्छाफल हीं ३ र्‍या
व ४ थ्या स्थळीं मांडून, फळाचा संबंधी राशि २र्‍या स्थलीं,
वब इच्छाफळचा संबंधी पाहिल्या स्थळीं मांडला, जसा,--

सावे प्रमाण भथवा त्रेराशिक. ३५५

१ अलोक, क्क

दता. :८ ता. २१ ६३. : इ. द.
2. _ रै%८_/, ह
ह ठं ऱ्या ने टि डत ह तगत

उ. वे. गव्हांच्या सोळुज्या खंडीळा ३८ रु. पडतात. तर
४२५ रुपयांचा गठ्ठे बारुळे मापी किती येइळ ?
प्रश्नांतील सोळुळी खंडी उत्तराच्या वारुळे मापांत नेतः.
३१४२. : ४२५रु. र्‍् बा. खं. १५२: उ
संक्षपान ररु.५ २५रु.ऱ्वा. खं. ५५४२: उ
अधिक रुपयांचे धान्य अविक याव- २
याचे, यास्तव प्रमाण सम आहे. .'. २३३॥॥२ बा. खं
१६1२५३५ 6 उतर
उड, ६ वे. १७ह.वे. ३ का. १६ षो. सातूला ट पा. १ शि
९ पे. पडतात, तर किंती वजन सात रे पा. १३६ शि. $४घे.ह्या
रकमेला मिळेल!
सातच्या वजनाचा बदल पेशाच्या सम भमाणांत व्हावयाचा
हणन असं प्रमाण मांडळे जावें कीं.--
पो. शि.पे. पो. शि. पे. है.का.पे
८१८ ९:५२ १६३ > १७३ १६५

६१]

च: च | वज
१७८ शे. ८५६ शि. ट९ १ २
१२ १२ र

२१४५ पे. : ६७५ पे. ११८०५ ८ २०
.'. ४२९ पे. : १३१५ पे. ३३१) ७३ ० २२
(१४३ ये. £ ४५पे. ५ २ १४५१४७ हे उत्र,
१)२५१२१:५। ५ >
उ. ७ वे. ४2 ओस सोन्याला १९ पोंड १२ शिलिन
पेन्स लंडनांत पडतात, तर ३ पोंड ११३ आस सोन तेदन मा-

गविळें तर येथें किती रुपये किंमत पंडेलळ ? ३१ शिळिंगावदळ

येथें 1) आणे द्यांवे लागतात,

१५४ अंकगणित.

टण ह, र “५
१ पा.)१२ शि. ६ पं. > ३१९२९ शि

4०२९२ > ११. ८६3५ रु

कमताचा बदळ वजनाशीं सम प्रमाणांत होतो. हणून,
प्र.नि.१प्र. उ. ६४३५. टेड
भं ति सु मु हक््ड

९ ४९ ८.

प "दह रु. २६२१८रु. ७ आ. ६१३ पे.

उ. ८ व. ३१२० रुपयांवर १४६) रु. नफा पडला, तर
१०० रु. वर नफा काय पडेळ ?

सुद्दळ कमी झाल्याने नफा तिवक्‍्यावाच हिस्सा कमी व्हाव-
याचा. प्रमाण सम आहे. ह्मणून,

२१२५०रु. सु: 9१००रु. मु. १४६ रु.नफा.! इच्छाफल.

$
कील दु
ह नक ह यी
इ णा 55७० ५६ 5४३ रु. उ त्तर
ं त्रे -
न

उ. ९ वे. १०० रुपयांचे १ महिन्याचे व्याज .॥॥* येतें,
तेर ४०० रुपयांचे २५ माहिन्थांचें व्याज कायथ येईल.
येथें १3 महिन्याचे १०० चे व्याज १२ आणे सेतें, तर एक
महिन्याचं २०० चे व्याज २९ आणे होइल, म्हणजे मदत ए-
कच आहे, तर रुपयांच्या इतकेच पट व्याज वाढेल. म्हणून
व्पाज व रुपये यांचं प्रमाण सम मांडळे. जसें.--
१०० रु. । ४०० रु. :: टेरु. व्या. $ उ. व्या.
१००» उ.व्या.न्ट्रेरु व्या ४००२१०० रु. व्या.
उव्या, सबे9रु.व्या. >> रु. व्या.
आमातां ९०० रुपयांचें 4 महिन्याचे व्याज २ रुपये येते, तर
९ महिन्यांचे व्याज ६ रुपये येईल. म्हणजे मद्दळ एकच भाहे,
तर महिने बाढतीळ तितकेच पट व्याज बाढेळ, म्हणून व्याज
घ महिने यांचे प्रमाण सम मांडळे. जर्से,-7
१म,! २५: : ३रु. व्या, १४. व्या,

सार्थे प्रमाण अथवा तरेराशिक. १५१५

व्या २ > ७५ रु, व्याज. हे उत्तर
हा एका उदाहरणःत दोन नराशिके आळी आहेत ह लक्षांत ठेवावे
उ. 9५ वे. गाडीच्या चाकांची बरिज्या १ फट १०९ ड्च
आहे, तर ४ मंलांच्या चाळींत त्या चाकाचे किती फेरे होतील?
बिज्या ) फूट १० इंच आहे, तर व्यास 0 फूट आहे. व्यास

१) मान असला तर परिघ ३१४९१६ माने असतो. म्हणन

१ क. व्या. -३ फू. व्या. ३१४१६ फ.प.: चा. प.

1

“त. नि.) प. चाकाचा परव > २१४१६ फु. > 80

- 99५१९२ फू
४ मलाच फुट हे 11"५१९२ ह्या चाकाच्या परिवाच्या फु-

टांनीं भागितां त्याचे फेरे थेतीळ
४:>-५:२८० फ 2२८
चाकाच ४ मठातल फरे स ११"८रपररश्‍के,-३सऊरट

२३'४६ हें उचर.
उ० १9 वें. दोन वतुळाकार क्षञञांचे व्यास र :५ह्या
प्रमाणांत आहेत, आणि पहिल्याचें भेबफळ २ विवे आहे. तर
दुसर्‍याच क्षेञजफळ किती एकर होइल ? «
१००० बिघे > ८५) एकर असतवात. हाणून,
१००० बिघे: ३ वि. ८५१ ए. : २'५५३ प
बतुळांचीं क्षेञ व्यासांच्या वर्गांच्या सम प्रमाणांत असतात
म्हणून, २: ५ :: २५५३५ उत्तर

.. तो केप) 3५ ४३८२०
१५९५६२५ एप
गव
३८'२५
32
५१७4०५२ आ

*अरा सायाच्पा पर्भांत 2 स्थला उच्रचतोंडच तोंडी काढन माडाव,

१५७ अंकगणित,

.", ५ व्यासाच्या वर्तुळाचे क्षेत्र > १५ एकर १८ गुंठे
७ आणे. हे उत्तर.

सूचना.--कांहीं प्रश्नांत नुसते प्रमाणाचे संबंध दिळेळे अ-
सतात, त्यांपासून भमाणाचे प्रश्न उत्पन करून घ्यावे लागतात-
तसेंच सामान्य संख्यांचे जागीं सावयव संख्या घेतल्या तर
बैराशिकाचे आधारार्स कित्येक बहुराशिकेही सोडवितां येतात.

तकीं वेगवेगळी तेराशेर्के मांडावी म्हणजे झालें. नमुन्याकाररतां
पुढं उदाहरण करून दाखवि्ळे आहे.

उ०५२वें. १० गाई व १२ म्हशी ह्यांना ५ दिवसांना
११२० पेंढ्या गवत लागलें, तर २ गाई व ४ म्हशी ह्यांना द्र-
महा खर्च काय ळागेळ ? गवताचा भाव शेकडा ४॥ रु. प्रमार्ण
आहे, आणि २ म्हशींच्या इवकें गवत ३ गाईंना दररोज लागतें.

आतां २ हाशींचे खाणे - ३ गाईचे खाणे

तर १२ हझशींचें , > १८गारईर्चे ,,

ब ४ हशीर्चे , " ६गाईडंचें ,,

तसेंच १०० पेंढ्यांना - रुपये पडतात

तर ११२० पेंढ्यांना, "ह" रु बव किंवा > रु. पडतील.

ह्यावरून असा प्रश्न होतो कीं, १० गाई -- १८ गाई ह्यांच्या
५ दिवसांच्या खाण्याला अथे" रु. पडतात तर २ गाई--६ गाई
ह्यांच्या ३० दिवसांच्या खाण्याला केवढा खर्चे लागेल ?

१ गार्ईर्चे 4 दिवसार्चे खाणे हा एकं हटला म्हणजे गाई ब
खाण्याचे दिवस ह्यांच्या गुणाकारांनीं ह्या एकंच्या संख्या दाख-
बिल्या जातील. येथें परिमणासंख्या अबयवरूपी असल्पमामुळे
त्या तशा मांडण्यास हरकत नाहीं.

२८><५गा.र्च१ दि.चेंखा.!:८>३१०गा.चें१दि.र्च
खा. : : उई रु. : इच्छाफल.

गाईच्या खाण्याच्या सम प्रमाणांत खर्च असावयाचा. म्हणून

|

-
22 परु. ९)२.२ आ. र्देपे.
रै हें उत्तर

सार्धे प्रमाण अथवा जैराशिक,. १५६७

व० ५३४ वे. कांही काम १८ पुरुष १८६. बायका आणि
क मुलें मिळून २० दिवसांत करितात, तर त्याच्या २॥ पठ
चतस्य १० पुरुष २) बायका व १४ मुळें मिळून किती ठिबसात
च*[रूतील ह्या प्रत्येकाकडून नेमलेल्या काळांत ४, २. न 93
व्य प्रमाणांत काम होर्ते.

वरील प्रमोणाअन्वर्धे सर्वांच्या जागीं मुलें घेतलीं तर,

च टपु--१६वा.--१रमु.:अरमु-१रमु.---१रमु:१9१६ अ
व्ह ३ ०पु.--२१बा.-१४मु.४०्मु.--४रमु.---१४मस.3९६ र्म

सावरून असा प्रश्न येतो की, ) काम ११६ सुळांच्या २९५०
व्विच्वसांत होते, तर २॥ कामें ९६ मुलांच्या किती दिवसांत
च सोल. क्क

खेर्थे एक मुळाचा एक दिवस ( त्यांतील अम ) हा एक
ज्मा, किंबा मुलें व दिवस हे एकंच्या संख्थेचे अवयव आहेत,
सवाणि कामाच्या सम प्रमाणांत मुलांच्या दिवसांचा (अमाचा )
व्यस्त व्हावयाचा आहे. हणून -- |

१ का: ६ का.-११६ मुलांचे २२ दि. :९६ मुळांचे येणारे दि.

ऱ्ह डी नै” र द ><_ 2८ ह. धड
२“ न ळच ण अ शै
फ़ क >. लद । क मसाला चाच या मु क :॥ द्‌ न 04 न

/', दि. अरूमु.चे दि. ६० "६३ म. चे दिवस. हे उत्तर.
_ उड० १४ वें. १'५ मनुष्ये रोज १० तासप्रमारणे खपून २८ वद्ः
व्यस्थांमध्ये ८० याई लांब, ११ फूट ३ इंच उंच, व २ फूट जाड
स्वहित वांधितात, तर ६० याड लांब, १० फूट उंच, ब १ फूद
€. डच जाड, अशी भिंत बांधण्यास १२ मनुष्ये रोज < तासपर-
स्वार्जे किती आठवडे खपलीं पाहिजेत !
येर्थे एक मनुष्याची एक तासाची मेहनत ही १ (एकं) हटली,
तरु १५ मनुष्यांची 4 तासाची मेहनत १५ एकं होइल, ब त्यांची
७ «» तासांची मेहनत १५ दाही १५० एकं होईल. तर्सेच १ दि-
व्यस्थांत १५० एकं मेहनत होते, तर २८ दिवसांत २८ दीडशे
धवा्स्क > ४२०० एकं होईल. ह्यावरून मनुष्ये, तास, व दिवस, हे
ग्वेळनतीच्या र अवयव दाखवितात ई उघड आहे, बरीळ
१ | ।

१५८ | भंकगणित.

उदाहरणांत एकं शोधणं होते, पण ह्या उदाहरणांत एकंचे सं-
ख्येतीळ पक अवयव जे दिवस ते शोधणे आहेत, ह्मणून
संक्षेप देण्याच्या सोइसाठीं ह्या परिमाणसंख्या अवयरवरूपार्न माँ"
डल्या ह्मणजे बरें.

दुसरें, ४ फूट लांबींत ४ घनफूठ राहतात, तसेंच ४ फूट लां-
बीच्या २ फूट रुंदींत (४ ३) १२ घनफूट राहतात, आणि ह्या
चौकोनाच्या २ फूट उंचीमध्ये (४%३%२) २४ घनफूट
राहतात. ह्यापमाणें घनफळाच्या संबंधांत लांबी, रुंदी व चा
दाखविणाऱ्या परिमाणसंख्या ह्या केवळ पटी दाखविणार्‍या अ
सतात. म्हणून ह्याही संख्या अबयवरूपाने जोडून मांडाव्या
म्हणज संक्षेप देण्यास सोपें जातें.

तिसरें, लांबी, रुंदी व उंची ह्या संख्या एका मापाच्या अअ-
सल्या, तरच त्यांचा गुणाकार त्या मापाच्या जातीचीं घनमाने
दाखवीळ, म्हणून ह्या संख्यांना फुटाचें रूप दिळें पाहिजे.

आतां भिंत वाढळी तर मेहनत वाढेळ, व भिंत कमी झाली
तर मेहनत कमी होईल. ह्याभमा्णे मेहनतीचा बदुळ भिंतीच्या
( घनफळाच्या ) सम प्रमाणांव व्हावयाचा, म्हणून प्रमाण सम
मांडळे. जसे.--

२४० <११३े <२व. फ़.
:: १५ > १० > २८दि.

: १८० > १० > १2 घ. फ.
0 9 क टी

9 व ><> 2) ऱ 4 -॥ १
”>९. ४ - धद” “22-97 6 नशी
दि. >८ "या 4 मड

** १ २>८उ,.-णणद 1001 ७०७५000010.
& आ
4 क याच र ११७९१ |
व्वा स ने कता ल 0 आया यी
य भ- 1-6 ट्ट टर्नर टॅ कणा टर १ ट्ट दि.

हे ळोक ठर आठवड्यास रवबिवाराखेरीज ६ दिवस खपावब-
याचे, म्हणून ह्यांना २ आठवडे ब ३टे दिवस लागवील, हें उत्तर.
. उ. १५७वें. कांही काम ९० मनुष्ये ५५ दिवसांत करतात.
ही मनुष्ये १५ दिविस खपल्यावर त्यांच्या मदतीस नवीं १० म-
नुष्यें मिळाळीं, तर त्या ५* मतुष्यांकडून राहिठेलें काम किती
दिवसांत पुरं होईल!

साधे प्रमाण अथवा जेराशिक. १५९:

येथे ४० मनुष्ये ५५ दिवसांत ___>_ ५ काम करतात.
तर ४० »9 पै 33 उर काम करतीळ
ब १७%. न. 1... चेच म कमे काम करतीळ

राहळेळे वव काम ४० -- १० किंबा ५० मनुष्यांकडून व्हा-
बयारचे. ह्यावरून असा प्रश्न होतो काँ, दये काम ४० मनुष्यां-
च्या १५ [दवसांच्या मंहनतान होते, तर बड काम ५० मनुष्यां-
च्या किती दिवसांच्या मेहनतीने होईल ?

ग्रेथें 9 मनुष्याचा 3 दिवस हा मेहनतीचा एकं हाटला अ-
सतां, मसुष्यें व दिवस हे त्याचे अवयव होतात. तर्सेच मनु-
ष्य़ांच्या दिवसांचा ( ह० मेहनतीचा ) बद्‌ळ कामाच्या सम
प्रमाणांत व्हावयाचा. ह्मणून,

उ का.! वृष का. ४०.म.>१५दि.:५० म.उ. दि

« १ का. ८ का. ४० म.><१५दि.:५० म. < उ. दि.
»« शठेम.>उ. दि. कोयी दि, ह र
, दि. --$6 दि. - ३२ दि. हं उत्तर

ड. १६ वें. एक घड्याळ १ दिवस १४ तास ४५ मिनि-
टांनीं २। मिनिटे पढें जातें. ह्या घड्याळानें रविवारी अवशीचे
७ बाजतांना बरोबर वेळ ठाखविण्यासाठीं, हं शक्रवारीं बारांची
_ तोफ होतेवेळीं किती मार्गे लावून ठेवावें !

शुक्रवारच्या दुपारच्या तोफेपासून रविवारी अवशीचे ७ बा-
जत तोंपावेतो ५५ तास होतात. 9१ दि. १४ ता. ४५मि
३८डे तू. -*$* तास होतात. घड्याळाचे पुढे जाणें हें ता
सांच्या सम पमाणांत व्हावयाचे. घड्याळ जितके पुढे जाईल
तितके माग लाविले पाहिजे. ह्मणून,

१५५ ता. ५ ५५ ता. ३ मि. प. जाणें: उ. मि. पु. जाणं

न 4
ह *मि.पु.जा. < द > जडू " ह$ मि. पु.जा.
शं

-: ३ मि. ११३३ से. हें उत्तर
छु, 9७ वे. एक घड्याळ १९ तासांत ७ सेकंद पुढ जाव,

झंकगणित

१६७ ।

आणि दुसरे घड्याळ १२ तासांत ६ सेकंद मार्गे पडतें. हीं
थड्यार्ळे एके दिवशीं दुपारचे १२ वाजतांना बरोबर आहेत, तर
ह्यामध्ये अर्थ्या तासाचे अंतर केव्हां पडेल ! व तेव्हां पत्येक
थड्याळ कोणता बेळ दाखवील ?

हीं घड्याळे १२ बाजतां बरोबर आहेत. तेव्हांपासून १२ ता-
सांनीं ह्यांत १३ सेकंदांचे अंतर षडते, व एका दिवसांत किंबा
२४ तासांत ह्यांमध्ये २६ सेकंदांचें अंतर पडतें. ह्या दराने
३७ > ६० सेकंद अंतर पडण्यास किती वेळ लागेल हे
शोधणें आहे.
,., २६से.अं.: ३०: ६० से. अं. > १ दि. : उ. दि.

१दि. ३०५६८३६ & ९०० दि.

याचं वैर १३

६९ दि. ५ ता. ३२३४ मि.
हणजे दोन्ही धड्याळें बरोबर असल्यापासून ६९ दि. ५ तास
१२ेवुक मि. इतक्या काळाने त्या घड्याळांत अर्ध्या तासार्चे
अंतर षडेक.
आतां १ ळें घड्याळ १ दिवसांत १४ सेकंद पुढें जातें म्हणू-
ने ७" दिवसांत “उ > १४ सेकंद पुढें जाईल. म्हणजे
१६३ मिनिटे बुद जाईल. तसेंच दुसरें घड्याळ ६" दिवसांव
"प. > १२ सेकंड किंब्रा १३३३ मिनिटे मार्गे राहील
*, १ ळें घड्याळ ५ ता. ४८४४ मि. वुपारानंतरची वेळ दा-
खवील हे १ लें ठ,
बरे रें घड्याळ ५ ता. १८६ मि. दुपारानंतरची वेळ दाखबी-
लहर रेड.
उ. १८ बॅ. शका मिनिटांत ३३ हजार फुटपोंड काम कर-
शाऱ्य़ा बाकेच्या सामट्य़ाला १ घोड्याची शक्ति म्हणतात, तर
८ तासांत ४१२५ टन झोझें ४ याड उंचीवर नेणाऱ्या स्टीम
तळी ( वाफेच्या युंजाची ) शक्ति किती घोड्यांची म्हटली
इल !

सार्थे प्रमाण भथवा नेराशिक. १६१

$ पौंड वजन १ फूट उंच चढविणें ह्याला एक काम हण-
तात, व हे कामाचे एकं (माप) फुटपोंड ह्या नांखाने दर्शबितात. एका
मिनिटांत ३१००० फूटपोंड काम करण्याचें जें वाफेच्या यंभ्राचे
सामर्थ्य त्याला १ घोड्याची शक्ति झणतात. ह्या लक्षणावरून
फूट व पाड ह्यांच्या ज्या संख्या त्या कामाच्या संख्येचे अबगष
होतात, आणि मिनिटें व कामाचे एकं ह्यांच्या ज्या संख्या त्या
घोड्याची शक्ति दाखविणार्‍या संख्येचे अनवब होतात, ह्मणम
यार्ड, टन, व तास झ्ांना फूट, पौंड व मिनिटे ह्यांची रूप देऊन
त्या संख्या शक्ति व काम ह्यांचे अवयव समजल्या पाहिजेत. घो-
ड्याच्या शक्तींचा बदुळ कामाच्या समभमाणांत न्हाबयाचा. हणन

फू. पफोें. फ्‌. पौ.

१>१२१०००$४ > ३>९ ९२५>२०>११-
मि. घो. श. मि. घो. श.
:59१>१५८> ६० क्ष.
उ...
क्ष पॅड कक 2३ यो
डड डा य
वक क्ष > ७ घो. श. हे उच्र.

उ. १९ वे. ६० तोफांच्या ५ पाळ्पा ८ मिनिटांत होत गेन्यानें
७७५ मिनिटांस ३२५० मनुष्ये मरतात. ह्यावरून किती तोफांच्या
७ पाळ्या ९ मिनिटांत होत गेल्या तर २५ मिनिटांस ९५०
मनुष्ये मारतां येतील ?

८ मिनिटांत ६० तोफांच्या '५ पाळ्या होतात, तर १ मिनि-
टांत ६० तोफांच्या छे पाळ्या होतीळ. अर्थांत ७५ मिनिटांत ६०
तोफांच्या &॑ पाळ्यांच्या ७५ पट पाळ्या होऊन, त्यांनीं ३'५* ममष्यं
मरतात. ह्याच रीतीनें २५मिनिटांत इष्ट तोफांच्या २ षाळ्यांच्या २५
षट पाळ्या होऊन त्यांनीं ९८० मनुष्ये गार आहेत. हणन,
३१५० म, : ९८० म, -_ ६० तोफा << ७५! तोफा < २२५.

६० तोफा
“क तोफा «रे २५-णणवाणा दे वै > हवर

६१६९ - भझॅँंकगणित.

१८ 3 अले
वतो या 2 १25705 2्कतो
२ नु ,

अभ्यासाकरितां उदाहरणें. ह.

१. २५ आंबे ६ आण्यांस मिळतात तर १० चे
येतील?

१. २ ट्टिक्यांस बरू '५ येवात, तर १०० बरूंस काय पडेल

३. '» घोड्यांची किंमत ५० बकर्‍्यांबरोबर आहे, तर ७५०
बेकऱ्यांबद्दळ घोडे विकत घेतल्यास किवी येतीळ ?

४, एक घड्याळ दररोज ५ मिनिटे मार्ग पडतें, तर एका
आठवड्यांत ते किवी मार्गे पडेल ?

७५. एक झाड २० फूट उंच असन त्याची साबळी २५ फट
पडत आहे, तर ज्या घराची सावळी ७५ फ़ूट पडत आहे त्याची
उंची किती असली पाहिज !

६. एक काम ६० मजूर ४० दिवसांत करतात, तर तंच काम
२० दिवसांत करणें झाल्यास किवी मजर लावावे?

७. १२ हात कापडास 1'५ रुपये पडतात, तर ८ हात काप-
हास काय पंडेळ?

८. १२ मण धान्यास १६ रुपये, तेव्हां ७२ रुपयांस किती
धान्य येईल !

९, ९० शेर काकवीस काथ द्यावे? जर ४९५ शे वीस
३१९६ रुपये द्यावे ळागतात.

१०. ६३ रुपये सारा दिल्याने किती बिघे जमीन ळावणीस
मिळेळ ? जर १७२ बिध्यांस २७३ रुपये सारा पडतो.

११. २५तोळे अर्गज्यास काय यावें ?८० तो ० १७६ रु. पडतात.

१२ ३८५ याई वस्रास ६३ रुपये पडतात, तर ५८ रुपयांस
किती यार्ड वस्र येईल ?

१५ २०५ रुपयांस किती वार फ्लानेळ येईल ! ५३ बारांस
द५ रुपये पडतात, . . |

2

आंबे किती

तार्थ प्रमाण अथवा नेराशिक, ६६३

93४. ३६ एकर ३ गुंठे, ह्यांस ४२ रुपये सारा पडतो, तर २१
षकर ३ घुठ १४ आणे इतक्या जमिनीचा सारा किती थाबवा
लागेल ?

3५. वेजन १०॥८२॥ साखर ५३ रुपयांस घेवळी, तेव्हां ह्या
भावान ४॥२०॥ साखेरेस काय पडेल ?

. 9९. रु. २०१॥- ह्यांची ४) प्ले बाजरी येते, तर ६४७
ह्यांची किती येइल ?

१७. केली ४७२॥३॥२ जोंधळ्यास १२८० रुपये पडतात,
तर ७॥२॥| जोंधळ्यास काय पंढेळ?

१८. १८ बिव्यांचे शेत २९॥२% सारा दिळा असतां मिळत
तेर ह्या मानाने ४२ विधे जमिनींचा सारा किती द्यावा ळागेळ ?

9९. एका गड्यास वषभर चाकरीबहळ २५ रुपये द्यावे ठा-
गतात, तर त्याने ८५ दिवस काम केल्याबद्दल त्यास काय यावें!

२०. एका गाडीस 9० कोसांचें भाडे १॥- द्यार्वे लागतें,
तर २॥॥३॥ भाड्यांत गाडी किती लांब जाईल?

२9. सुताच्या कारखान्यांत २ अवर ४६ मिनिटांत, यंतरानें
५४ पोंड कापूस पिंजून बाहेर येतो; तर २४ पोंड कापूस पिंजून
बाहेर थ्रेण्यास किती वेळ ळागेळ !

२२. रु. ७०॥-। दिल्याने किती एकर जमीन ठावणीस
मिळेळ? पांच एकर जमिनीस ४॥॥- पडतात.

२४. २० बिघे जमिनीस सरकारांत सारा किती दयावा ळागे-
ल! ४४४ बिघ्यांस १४ रु. १४ आ. ३१2 पे पडतात.

२४. २५ रुपये भाड्याच्या उत्पननास घरपट्टे ९॥. रुपये पड-
ते, तेव्हां ९५॥-।- भाड्याच्या उत्पन्नास किती घरपट् पडेल ?

२५. ९५ पोंड, १० शि. ९॥ पेन्स ह्या रकमेवर धमाठाय खर्च
किती मिळळ ? ७९१३ पोंड, १२ एरी. ४ पेन्स ह्यांजवर धर्मादाय
खर्चास ३९ पोंड १३) शि. ८ पेन्स मिळतात

२६. एका गांवचे उत्प्न २०० रुपये आहे आणि चिल्हर
खर्चाबद्दळह १० रु. ७ आणे ६ पे मिळतात, तेव्हां दर रुपयास
किती खर्च बसेल?

१६४ भॅकगणिंत,

२७, ज्या घराचे भाड २५ गिनी येते त्यावर गांवद्रुस्तीबद्द-
क ४ पौंड १) शिलिंग १०॥ पेन्स कर आहे, तर ज्या घराचे
भाड ६५ पोड १० शि. ६ पेन्स येव त्यावर कर किती बसेल!

शद. १०० मनुष्ये १२ दिवसांत ज काम करतात तेच काम
< दिवसांव संपवावयाचें आहे, तर किती मनष्ये ठावावीं?

१९. शवूच्या वेढ्यांव सांपडळेल्या किल॒यांत दर मनष्यास
द्ररोज अडीच शेरभमाणे अनन दिल्यास चार महिनेपर्यंत पुरेळ
इतके अन्न शिल्लक आहे, तर तें ठर मनुष्यास रोज एक शेर
धमाणं दिल्यास किती दिवस पुरेल ?

३५. एका मनुष्याचे मीं २०० रुपये ८ महिने उसने ठेविळे
होते. पुढे त्यास गरज लागली, तेव्हां त्याचा उपकार फेडाबा
झणून मीं त्यास २०० रुपये दिळे, तर हे त्याजकडे किती दि-
वस ठेवावे ?

३१. ल॑ काम १०८ मनुष्ये २५६ दिवसांत करतात, तें काम
१६८ दिवसांत करावयाचे तर किती मनुष्ये लावावी !

९२. कोणी वाटसरू रोज १२ तास चाळून ३ आठवड्यांत
एका गांवी पोहोचतो;तो जर रोज ९ तास चालला तर त्यास
त्या गांवी पोहोंचण्यास किती दिवस लागतील !

३४. ४७३ रुपयांच्या, चवलाच्या दराच्या गांठ्या कराव-
यास अर्धा मण साखर लागते, तर तितक्याच साखरेच्या ७०
गांठ्या केल्पास एका गांठीची किंमत काय होईल?

३४. २७ रुपये विधा दराची जमीन देऊन ३५ रुपये बिघा
दराची ४८० बिवे जमीन घ्यावयाची आहे, तर २७ रुपये दरा-
सवी जमीन किती बिघे याबी !

३" शज्रूच्यावेढ्यांत सांपडळेल्या एका किल्ल्यांत अन्न दररोज
द्र मनुष्यांस अडीच शेर प्रमाणें दिल्यास तीन महिने परेल
इतके आहे, तर ते अनन आठ महिने पुरविणे झाल्यास दररोज
दुर मनुष्यास किंती यावे?

३६. ४९० फरे मिठास १७५ रु. ५ आ. ४३ पै पडतात, तर २५
करे मिठाचे काय झालें

साधे प्रमाण अथवा जैराशिक. १६५७

३७. २३५ गाईस १२५७> किंमत पडते, तर २० गाईस
काय पडेल?

३८. एका सावकाराचे दिवाळे निघाठें. तेव्हां त्याची माठ-
मत्ता विकली. विचे १1८१) ० रुपये आठे, आणि लोकांचे देणे
४७२६५ रुपये होर्वे, तेव्हां दामाशाईपरमार्णे द्र रुपयास काय येईल?

२९. एका व्यापारांतल्या ३टधे भागांस जर २७५ रुपये पड-
तात, तर ४८ भागांस काय पडेल ?

४०, बजना ५॥२॥७॥. ळोखडास ५९॥% पडतात, तर दोन
खंडी लोखंडास काय पंडेळ?

४१. ३१७४॥ रुपयांची साखर किती येईल? ०7॥५॥ वजन
साखरेस किंमत १ ०॥& पडते

४२. २१५रु. ७ आ. ८ पे उत्पन्नावर कर ५८ ,ु. १३ आ
४ पे आहे, तर ह्या मानार्ने एक रुपयास काय पडेल ?

४४. ३) रु. ४ आ. १५ पे ह्यांचे ८९ शेर तप येतें तर
११)रु. १२ आ. ३५ ह्यांच तूप किवी येईल?

४४. कला १५०४०२ बाजरास किमत रु. २१'५०४८१ पडते,
तर रु. ५7२०२ ची बाजरी किती येईल तें सांगा.

४५. द्र शेरास ६ आणे प्रमाणे साखरेचा दर होता, तेव्हां
१५ आण्यांच्या एका गांठीचें वजन अडीच शोर भरत होते.
आतां साखरेचा भाव शेरास ५ आणे झाला आहे, तर त्याच
किमतीच्या एका गांठीचें बजन किती असावें!

४&. एकाने १,२१,००,००० मेंढरे लोकरीकरितां पाळली
आहित, त्यांपासून प्रातिवर्षी उत्पन्न किती होईल तें सांगा. ११
मेढरांची लोकर साडेबारा शेर निघते, व तिचे ८ रुपये १२
आणे येतात

४७. ३ टन ५ हेड्रेडवेट यांतून १ टन १६ हेद्रेरवेट ३ कार्रर
१२ आांस बजा करा. आणि बाकी राहील तिची १ क्का. २७
पौंड ह्यांस १) पों. ७ शि. ६ पेन्स ह्या दराने किंमत काढा

४८, एका जहागारदाराच्या जमिनीचे उत्पन ८०,५०५

१६६ ककगणित.

रुपग्रे आहे, आणि त्यांतून उत्प्नाचे दर शेंकड्यास ११) सर-
कारांत यावे ळागतात, तेव्हां त्यास वास्तविक उत्पन्न किती!

४९. ४३४ याड बखास ५ पो. १3४ शि. ४२ पेन्स पडतात, तर
१२ याड बस््रास काय पडेल तें सांगा

५०. १३ हात बनातीस १॥- पडतात, तर २४*॥ हात बना-
तीस काय पडेळ ?

५७१. रट॑मण साखरेस ७'५ रुपये दिले, तर १७> मणांस
काथ यावं ?

५१. जमांन माजणांची सांखळी ६६ फट लांब असते
आणणि तींत १०० कड्या असतात, त्या प्रत्येक कडीला लिंक
ह्मणतात. आतां शेवाचा एक बांध २४५६ लिंक लांब आहे,
तर त्यांचे फट किंती भरतील !

५३, एका गांवर्चे उसन्न १५६० रुपये आहे, आणि चिल्हर
खचाबद्दळल त्यांतून २७ काढाबय़ाचे आहेत, तरज्याचे उत्पन्न
५२५ रुपये आहे त्यावर चिल्हर खर्चांची बांटणी काय येईल ?

५४. एक सोन्याचा दागिना वजन तोळे १४॥२॥; किंमत
२१४॥ रुपये असा आहे. तेव्हां दर तोळ्यास काथ पडेल?

५५. ४॥। शेरांस दहा आणे ह्या दराने १४३े शरांस काय
पडेळ ? |

५६. २३ साई वरास । पडतात तर, ५० हात वसखास
काय पडेल ?

५७. कोणा एकाचं दिवाळे निवालें, तेव्हां त्याचेंदेणें ३२२५
रुपये होते, आणि येणें १०५० रुपये होते, तेव्हा ढामाशाईप्र-
मारणे सावकारास दूर रुपयास काभ मिळेल

५८, ६३ याई मळमळीस १ पॉ. ७ शि. ९३ पेन्स पडतात,
तर ४टे याई मळमळीस काय पंडेळ?

५९, एका तारवाचे डे ची किंमत काय यावी! £ ची किं-
मत २५५ रुपये झाली आहे.

६१, एका गृहस्थाने भापली जिनगी ९८५ रुपयांस विळुत

सार्धे प्रमाण अथवा तेराशिक. $६७.

द्र रुपयास '॥ देऊन त्याने आपलें कर्ज फेडले, तेव्हां त्यास
कज किंती होते !

६१. एक रुपयाचे उत्पव्भावर ८-।। कर आहे, तेव्हां ज्यावर
१२८ कर आहे त्याचें उत्पन्न किती ते सांगा.

६२. वपासून अर्ने १७५ रुपये १०२ दिवसांच्या मुद्‌-
तीने घेतळे होते, तो उपकार फेडावा झणून बळा गरज ळागळी
तेव्हां त्यास अर्ने २१०॥ रुपये उसने दिळे, ते त्याने त्याजकडे
किती दिवस ठेवावे ?

६३. एका भिंतीस ३) फूट लांबीचे चिरे ६३३६ आहेत.
आतां. वितकीच दुसरी भिंत बांधावयाची, परंतु चिरे २उे फूट
लांबीचे आहेत, तर ते किती लागतील ? |

६४. एका इमारतीची सावळी मोजली ती १२६ फूट भरली.
आतां त्याच वेळेस उन्हांत ६॥ फूट लांबीची काठी उभी केली,
तिची सावळी ५। फूट पडली, तेव्हां इमारत किती हात
उंच आहे |

६७. एक धोंडा हातांतून सोडळा तो पडल असतां उडे सेक:
दांचे शेवटीं ११'५३ फूट जाण्याचा वेग त्याचे अंगीं होता;
ह्यावरून पहिल्या सेकंदाच्या शेवटीं व ४३ सेकंदांच्या शेवटीं
त्याचे अंगीं किती किती बेग होते ?

६६. एक बेळाची गाडी दुर तासांत ३ मेळ प्रमाणें चाळत
असतां २४ तासांत पुण्याहून कल्याणास पोहोचते. आतां आ-
गीची गाडी द्र तासांत १२ मेळ चालते, तेव्हां ती कल्याणास
किती वेळांत पोहोंचेळ !

६७. दिली शहरास शत्रूचा बेढा पडला, तेव्हां त्यांत
२२४० मनुष्यांस ३ महिने पुरे इतकें अन्न होतें, परंतु वेढा ७
महिने उठत नाहीं असे कळत आहे, तर त्यांतून किती मनुष्यांस
बाहेर लावून यावे, ह्मणजे बाकीच्यांस तें अनन पूर्वीप्रमाणे ७
महिने पुरेल ? ह ह.

६८, एक घाकर २? दिवसांचे १॥ रुपये ग्रावे झशा करात

१६८ अंकगणित.

राने ढेबला भाहे, तर १२) रुपथांत त्यापासून किती दिवस काम
व्यार्थ !

६९. १५ मण ओझे ६० मेल नेण्यास भाडे १॥ रुपया
द्यावें लागते, तर तितकेच भाड्यांत ३। मण ओझें किती लांब
जाईल ?

७०. एका गृहस्थास आपल्या ४५०० रुपये वेतनांतून ५२९५
रुष वर्षास शिक ढेवावयाचे आहेत, तर त्याने ७३ दिवसांत
स्वच किती करावा ? बर्ष हणजे २६५ दिवस.

७१. वबिळायर्वत १३3 टन वजन माल ५०० गिनीला घेतला,
य तो मुंबईस आणावयास २० रुपये खर्च लागला. तेव्हां तो माळ
मुंबईस किती रुषबे शेर (कच्चा) विकावा? एक गिनी >१ ०॥रुपये.

७१. १ खंडी ३ मण १५ शेर लोखंड मंबईहून पुण्यास न्या-
बयाचें भाई १ २॥» पडतें. आतां आमची चार लोखंडी यंत्रे
एकंदर बजन २॥३॥४॥ आहेत त्यांस भाडे काय यावें लागेल !

७३. एका ग॒हस्थास ९००० रुपये कर्ज आहे, आणि त्या-
च्या जिमगीर्च उत्वन ३५१ ५।।। रुपये झाले. तेव्हां सावकारास
ढामाशाईप्रमाणें द्र रुपयास काय मिळेल, व ज्यांचे ७५० रुपये
येर्ण आहेत त्पास तोटा किती येईल!

७४. रु. २७१९८०२०८८ चे ७७ दिवसांचे व्याज रु.
३१०५०१३०८८ पदर्ते, तर त्याच रकमेचे २४५ दिवसांचे व्याज
काय पडेळ?

७५७, रुं. २१२५॥॥- चें १० महिन्यांचे व्याज १०१॥-॥२
बडुते, तर एवढेंच व्याज १७ महिन्यांत पडण्याळा रकम केवढी
पाहिजे! |

७६. ९ शि. १०३ पे. किमतीचे रिकूस डाठर ५५९२६
देणें आहेत. ह्याबद्दल ४ शि. ११३ पे. किमतीचे यकेत
किती यांबे?

७७, एका शिंध्वाने पॉ. १- ९. शदे ह्यांस १डे यार्ड ह्याप्रमॉ-
ह. १४७ याई काषड विकून पौ. १६ १० ' ९ नफा मिळविला,
तश त्याची घळ खरेदी केवढ्यांची होती!

साथ प्रमाण अंथवा भेराज्षिक १६९

_ ४८. ६३१८ ममुष्यांच्या फोजेळा १२४ दिवस पुरेसे अन
आहे. त्या फोजंत ४१८ मनुष्ये नबीं भरळीं, तर ह्या एकंदर फो
नेला तें अन्न किती दिवस पुरेळ?

७९, एका सीक्तिनची किंमत ९ शि. ५॥पे असून एका
कालिंनोची किंमत पौ. ५. १२. ३। आहे, तर ४५० कालिंनो-
बद्दळ तिक्तिन किती घ्यावे?

८०. एका वाण्यानें २ टन ३ हेंड्रेबेट ३ कार्ट साखर १२०
पौंडांस विकत वेवळी, आणि भाडें वगेरे सर्चाबद्दळ ५० शि लिंग
दिळे. ह्या व्यापारांत ६9 पों. ५ शि. नफा करणें आहे, तर
त्यानें द्र हंड्रेडवेट साखरेवर द्र काय ठेवावा ?

८3. गव्हांचा भाव द्र बुशिळास ७ शि. १॥ घे. प्रमाणें
असतो, तेव्हां ४ पेन्सांचा पांब २ पौंड ३ ओंस भरतो. ह्यावरून
गव्हांचा भाव दर बुशिळास ७ शि. १) पे. प्रमाणें असेल,

व्हां ४ पेन्सांचा पांव किती बजन भरेल ?
> ८२. एका गृहस्थापाशी दर पौंडास ७ पेन्सममाणें प्राप्तीचा
कर्‌ जातां पौ. २९९. १९. ९३ शिलक राहिळी, तर त्याची
प्राति काय होती ?

॥/८४. एका इनामदारानें प्राप्तीच्या कराबद्दळ १८ पों. १५ रो.
पहिल्या वर्षी सरकारांत भरळे. पुढीळ वर्षी वाढबिलेळा केर
दूर पौंडास ९ पेन्स प्रमाणें सरकारांत घेतला, तेव्हां त्याला ५२
पौंड १० शि. भरावे ठागळे ह्यावरून त्याचें इनामी उत्पन्न
केवढे होतें ! आणि पहिल्या वर्षी कोणत्या दराने कर बसांवेला
होता?

॥/८४. एक घडयाळ सोमवारी १२ वाजतां १० मिनिटे पुढे
अस्रून, ते प्रत्यही २ मिनिर्टे १० सेकंद फार्जील चालतें, तर तें
येत्या शनवारीं सकाळचे १० बाजतांना केबढा काळ दाखवील ?

<५. ११५ ग्यालनांच्या द्राक्षीच्या पिंपालळा पों. ९७ शो. ३५
पडतात, तर एक ग्याठनांत ज्या बाटल्या ६'४ भरतात त्यांच्या
ढुर एक इडानाळा काय पडेल |

1

ह

६१७५ कुंगाणत

८६. गट्ठं ५५"५ शिलिंगांस कार्टर विकतो, तेव्हां ६ पेन्सांचा
पांव ३४३७५ पोंड भरतो. हली ह्या किमतीचा पांव २८१२५
पौंड भरत आहे, तर गव्हांचा द्र काय आहे?

८७. जर्मन मेळाचे २१३६ इतका इंग्लिश मेळ असतो. तर
जो मनुष्य द्र तासास ४ इंग्लिश मेळ चाळतो, तो एक जर्मन
मेळ केवढ्या वेळांत चालेल !

८८. १००० मनुष्यांच्या फांजेळा २८ दिवसांची अननसा-
मश्री ठेवळेळी होती. ११ दिवसांनीं तिच्या मदतीस नवी फौज
झाल्यामुळें ती सामुग्री ५ दिवसांत खपली, तर मदत आलेल्या
फौजेत किती लोक होते ?

८९. एका खेड्याचा वसूल १५६८५ पो. १५ शि. अखून
ह्या खेड्यावर २१३७ पो. ८ शि. ९ पे. नवीन कर बसविण्याचे
ठरले आहे. तर वसुलाचे प्रत्येक पोंडावर फार्दिंगापाबेतो. ठोक
सुमारानं काय कर बसविला पाहिजे? आणि पो. ५४३१-१ २-८
बसुलावर काथ कर बसेल! न

९०. ३ २ पोंडर तोफेचे वजन ३ ८न ४ है. वे. असतें.
आणि १८ पोंडर तोफेचं बजन २ टन २ हे. वे. असते. तर
किती १८ पोंडर तोफा ३२ पोंडर जातीच्या १८९ तोफांच्या
बजनाइतक्या बजन भरतील !

९५. ४ पुरुष १५ तास प्रमाणें खपले, १ पुरुष १२ तास
प्रमाणे खपळे, आणि ८ पुरुष ३ तास प्रमाणें खपले, तेव्हां
त्यांना ३ पौ. ५ शि. दिळे आहेत. तर एक पुरुष दररोज
११ तासं प्रमाणें ६ दिवस खपला भाहे, त्याबद्दळ त्यास काय
दयावे ?

९५. नेमलेल्या काळांत ४ पुरुष जेवढी मजुरी मिळवितात,
वैवढीच ७ बायका मिळवितात. आतां ४८ पुरुष आणि १४
भरोयका ह्यांनी मिळून ४९९ पॉ, ७ शि. मिळबिळे आहेत, वर
२० पुरुष ब किंती नायका मिळ्य २ 2 शि. ६पे. मि-
ळबिवील !

साधे प्रमाण अथवा त्रेराशिकं. ७७१

९३. एका ठेशांत १३०००००० मेंढ्या आहेत, तर दर मेंढीस
किंमत १५ शि. प्रमाणें सर्व मेंढ्यांची किंमत काय होईल ?

९४. एका कुरणांवळें गवत ७ वेळ किंबा ११ घोडे ३२७ दिव-
सांत खातात, तर ते'५ बेळ आणि ८ घोडे किती दिवसांत खातीळ?

९७५. ३ पोंड दे आस कापसाचे सत २६४ मेळ. १०१०
या$ लांब होतं. तर भूगोळाभोवतीं ९५००० मेलांचा वेढा दे-
ण्याळा किती वजनार्चे छूव ळागेळ !

९६. १२ वेळ आणि १५मेंढ्या ४ दिवसांत ६टन ७ हे.
वे. गवत खातात, तर ४ बेळ आणि ६ मेंढ्या ह्यांना द्र आठ-
वबड्यास खर्च काथ लांगेळ? १ टन गवतास ३७ रु. ८ आ.
पडतात, आणि नियमित काळांत २ बैलांइतकें गवत ५ मेंढ्या
खातात, असें ध्या.

९७, एका दिवसांत एक घड्याळ ४ मि. १७ से. फाजील
चालते. आणि दुसरें २ मि. १२ से. मार्गे पडते. हीं घड्याळे
गेल्या सोमवारी दुपारचे १२ वाजतांना खऱ्या वेळेशीं २॥ मिनि-
टांचे फरकानें अस्वन, पहिलें पुढें व दुसरे मागे अशीं होतीं.
हल्लीं अर्ध्या तासाचें अंतर दोहांमध्ये पडळें आहे, तर ह्टींचा
बार आणि तास सांगा.

९८. ३० शिलळिंगांस कार्टरप्रमाणे ओट ( नांवाचा दाणा )
विकतो, तेव्हां एका घोड्याचा द्र आठवड्याचा खर्च १७ शि.
६ पे. पडतो. परंतु २६ शिलिंगांस करार्टरप्रमाणे ओट विकतो,
तेव्हां हा खर्च १६ शि. २। पे. पडतो. ह्यावरून धोडा उभ्या
वर्षात किती ओट खातो ! रै

९९. ५ घोडे व १२ खेंचरें मिळून २५८९६ पो. ओझें ने-
मळेल्या लांबीवर नेतात, तर ९ घोड्यांचे मदतीस किती सेंचरें
दिलीं असतां २३७ ह. वे. २ कार्टर. २० पौं. ओश्लें नेमलेल्या
लांबीवर नेतां येईल ! एक खेचर एका घोड्याच्या ३ पट
ओऔक्ें नेते. | | | |

9९०, गुरूवारी सकाळीं दोन घड्याळांत एकदम ९ बाजतात

६७१५ झंकेगणिव.

आणि बुधवारीं सकाळीं पहिल्यांत ११ ळा १० मि. कमी अ-
संतां दुसऱ्यांत ११ बाजतात, तर त्या संध्याकाळीं दोहोंमध्ये
एकठ्‌्म ९ वाजण्यासाठीं मंदाचा कांटा किती पुढें सारावा, अ-
गर जलळदाचा कांटा किती मागं सारावा?

१०१. १५ पुरुष, १२ बायका, व ९ मुलें, ५० दिवसांत
कांहीं काम करितात. तर त्याच्या दुप्पर काम ९ पुरुष, १'५ बा-
यका, ब १८ मुलें, किती दिवसांत करितील? 9 बायको - २
मुळे, व १ पुरुष > ३ मुले.

७०२. कांहीं काम ९ पुरुष, किंवा ६ बायका किंबा ९ मठे
२७॥ दिवसांत करितात, तरतें काम (१) ४ पुरुष व ९ बाय-
का किती दिवसांत करिवीलळ? आणि (२) ५ पुरुषव ८ मुळें
किती दिवसांत करितील?

१०३४. १ ग्रेन सोनें पिटळें तर त्याचा वर्स ५६ चो. इं. क्षे"
आचा होतो, तर असले बर्ख १ इंच उंचींत किती राहतील!
१ घनफूट सोनें १० हं. वे. ३ का. १) पोंड वजन भरते.

१०४. गाडीच्या पुढच्या व मागच्या 'चाकांचे ब्यास १॥
फूट ब २॥ फूट अनुक्रमें आहेत, तर मागच्याच्या फेर्‍्यांपेक्षां
पुढच्याचे फेरे ५६० अधिक होण्याला ती गाडी किती लांब गे-
ली पाहिजे?

____ 9०७५. एक घड्याळ दुपारचे १२ बाजतांना ६क्र मिनिटे
. मागें होतें. हें *०॥ तासांत १२ मिनिटे मार्गे पडते, तर दुपारा-
भेतर ह्यांचे कांटे कौथ्यानदां एकत्र होतील तेव्हां खरा काळ
काय असेल! *. |

र

तौंडचे हिद्षोब.
११६. व्यवहारांतील न रण हिशोब लवकर तोंडच्या तोंडीं
करतां यावेत झणूम कांहीं चाळी बसविल्या आहेत त्यांस तोडी
हणतात. त्या सर्व बैराशिकाच्या साह्याने ब्रसबिल्या भाहेत ईं

तार्थे प्रमाण भयवा चेरादोक. ९७७४

समजणें जरूर आहे; ह्मणून भत्येक चाल मुलांस सांगून ती
कशी बसली हँ शिक्षकार्ने त्यांस समजावून यावे. हणजे तेवढी
बैराशेकाचीं उदाहरणें होऊन मुळें चाली विसरणार नाहींत.
भाग पाडण्यास सोपे पडावे ह्मणून कांहीं कल्पित मारन धरून
कोष्टके बनविली आहेत तीं लक्षांत ठेविळीं पाहिजेत,
(१)१२ कचे >) रु.
., १ कथा > आणि २ *ध्केश्‍*म्पै-१६पे.
(२) ३० दाम ₹ ) आणा.
". शादामन्देईदा. सा पिणा >-परेस्१पे,
(३)१०० रेस ₹ 3) पावळा > ४ आणे.
नमुन्याकारेतां दोन चाली पुढें बसविल्या आहेत त्या पहाब्या,
उ० ५ ठे. तोळ्यावरून गंजेस.
१ रुपया तोळा असे धरळें तर १ गुंजेस काय पडेल !
१ तोळा > १२.मासे > 1२८ गुंजा. .'. जेराशिकारने,
१२% टगंजांस : 9 गुंज :: १) रु.! उ.
.. उ० ऱ्य उशा रु, न - १ सी १ पे २पे उ. तेव्हां
१ रु. तोळा असल्यास २पे गुंजेस पडतात.
-. रीति-जितळे रूपवे तेळ्यास असदील त्याच्या दुप्पट
चे गुंजेस झाल्या.
उ० २ रे. दरमहा दर शैकड्यावरून एका रुपयास व्याज,
१०० रुपयांस दरमहा दर रुपये व्याज तर) रुपयास किती ?
ब्रेराशीकाने,
१००रु५१रु. :: ठदु.व्या: उ. व्या.
उ.व्याऱस चट रुपये.

* कचे ' हा शब्द फार व्यापक अर्थाचा आहे. क्षी ९२ कच्यांचा
तर कधी ४० कच्यांचा रुपया धराव] लागता. भागाच्या धोरणाने ही सं«
ख्या ठरवावी;

५७६ झंद&ूगणिद,

रुपयांचे आणे पे केल्याने त्यांस १०० नी सारखा भाग तरत
नाहीं हणून तें कोष्टक न घेतां १०० रेस > $ पाबळा ४ आणे
हे कोक घेतलें

“. उ. व्या. स देडे रु. - 25३४३ पावले

व 2 *-०>ट. रेस ९ ढ्‌ रस
रीति-जितके रुपये शेकडा व्याज असेल त्याचे 'चोपट
रेस दरमहा दर रुपयास व्याज पडेल
तोडी अथवा तोंडच्या हिशोबांच्या रीति.
साने, रुपे, इ० मोल्यवान पदार्थाविषयीं
तोळ्यावरून माशासः--जितके रुपभे तोळ्यास असतील

तितके कचे एका माशास झाळे. १२ कज्षयांचा एक रुपया, दर
फड्यास १६ पै

तोळ्यावरून यंजेसः--जितके रुपये तोळ्यास असतील त्यां-
च्या दुप्पट पै गुंजेस झाल्या.

माशावरून युंजेस:--जितके रुपये माशास असतील त्यांच्या
दुप्पट आणे गंजेस झाले.

माशयावरून तोळ्यासः - जिवके आणे माशास असवीठ,
त्यांच्या पाऊणपट रुपये तोळ्यास झाले.

उंजेवरून तोळ्यासः--जितके आणे गुंजेस असतील, त्यां-
च्या सहापट रुपये तोळ्यास झाले.

कझकालमान.

वर्षावरून दिवसासः--वषास जिवके रुपये असतील, ते
ज्यांची पाऊणपट असेळ, विवके दाम एक दिवसास झाले.
३० रामांचा एक आणा.

महिन्यावरून दिवसासः - जितके रुपये महिन्यास असतील,
त्यांचे निम्मे आणे आणि पुरे दाम एका दिवसास झाळे

दिवसावरून महिन्यास: --जे आणे दिवसास असतील
त्यांच्या दुप्पट रुपयांत दुप्पट आणे कमी.

दिवसावरून वर्षास; - जितके ठाम दिवसास अतवील त्यां-
हृया पाऊणपद रुपये वर्षास झाले.

झाडे घाण अयवा वेरारिक. १३७६
झेठी बारूळें भाष,

खंडीवरून भमणास: -- जितके रुपये संडीस असतील, त्यांची
दुप्पट करून वर शून्य यावें तितके रेस मणास झाले.

खंडीवरून पायलढीसंः---नजितके रुपये खंडीस असवील त्यां-
च्या दुप्पट दाम पायळीस झाले.

खंडीवरून शेरास:-- जितके रुपने खंडीस असतील, त्यांच्या
निभ्मे दाम शेरास झाले

खंडीवरून पल्लुऱ्यास:-- जितके रुपये खंडीस असतील, वि-
तके चब्बळ पलछ्यास झाले.

पहय्यावरून पायलीसः:--दराचे निम्मे आणे आणि पुरे दाम
पायळीस झाले. ी

पछ्यावरून जझेरासः-- दराची चौपट करावी, तितके दाम
शेरास झाले.

शरावरून पछ्धःयास:--शेरास जितक्या पै असतील त्यांची
निम्पट करून सवाई करावी, तितके रुपये पल्ठःयास झाले.

पायठीवरून पछ्यासः--पायळीस जे आणे असतील, त्यां-
च्या दुप्पट रुपयांत त्यांचे दुप्पट आणे कमी.

पायळीवरून खंडीस: - द्राच्या पे करून सवाई करावी, ति-
तके रुपये खंडीस झाले

रोरावरून खंडीसः:--जितके दाम शेरास असतील, त्यांच्या
दुप्पट रुपये खंडास झाले

मणावरून शेरासः - जितके रुपये मणास असतील, त्यां-
च्या चौपट पे शेरास झाल्या

सुड्यावरून पायळीसः--जिवके रुपये मञ्यास असतील;
तितके रेस पागळीस झाले

वजनी
मणावरून ज्लेरासः- जितके आणे मणास असवील. त्यांचे
पाऊणपट ठाम शेरास क्षाळे

७६. ककगणेित्त, र

शेरावरून तोळ्यासः--जितके रुपये शेरास असतील, त्यां-
च्या पांचपट रेस तोळ्यास झाले.

तोळ्यावरून शेरासः--जे आणे तोळ्यास असतील, त्यांच्या
पांचपट रुपये शेरास झाळे.._

मणावरून पासरीसः--जितके रुपये मणास असतील, ति-
तके चब्वळ' पासरीस झाले.

द्रमहा दुर शेंकडा व्याज अमुक रुपये, तेव्हां अमुक रुप-
यांर्चे व्याज किती ! जितके रुपये शॅकडा व्याज अंसेळ, त्यांची
चौपट करावी, तितके रेस दरमहा द्र रुपयास व्याज झाले.

शेकडा बद्दा अमुक, तेव्हां अमुक रुपयांचा बद्दा किती?
शेकडा जितके रुपये बद्दा असेल, त्यांची चौपट करावी, तितके
रेस द्र रुपयास बद्दा झाला.

अभ्यासाकारितां उदाहरणें. ळ.
१७ रुपये तोळा, एक माशाचे काय झालें ?
$उ०१५ १९ रुपये तोळा, दीड माशाचें काय झालें! र
1५॥ रुपये तोळा, तेव्हां सव्वादोन माशांचे काय द्याव!
२9 रु. तोळा, तेव्हां एक गुंजेचें काय !
१९। रु. तोळा, तेव्हां अडीच गुंजांचें काय यावें !
ब्र्उ ९ टर > ज़ न चें
दाड ताळा एक गुंज सोन्याचें काय यावें ? एक तो-
ळ्यास २१ रुपथे पडतात.
एक माशास १1८ पडतात, तेव्हां गुंजेस काय यावें !
श्ड०) एक माशास ८, तेव्हां दीड तोळ्यास काय यावें !
साड तीन आणे गुंज तेव्हां तोळ्यास काय यावें !
४५ रु साळ, एक दिवसाचें काय झाले ?
४उ० २० रु. साळ; दीड ठिवसाचें काय यावें! स
६७ रु. साल, तेव्हां साडेसात दिवसांचें काय यावें
णुउ०

१० रुपये दरमहा, एक दिवसाचे काय यावें!
१२ रुपये द्रमहा, २॥ दिवसांचें काय यावें ! र
३॥ रुपये दरमहा, २ महिने आणि ४ दिवस ह्य

“क

काय द्यावें !

संयुक्त प्रमाण अथवा वहराश्षिक. १७३

( 1 रोज, एक महिन्याचे काय झळ ?
६उ०६ ८-॥ रोज, एक वर्षांचं काय झाल ?
> रोज; पाऊण वर्षाचे काय झाळें २

७] रुपश्रे खेडी, एक मणास काय पडेल?
१1 रुपये खंडी, एक पाथळीचं काप यावे ?
"५ रुपये खंडी, तेव्हां एकमण दूंड पायळीचे काय?
२० रुपये खंडी, दीड शेराम काय द्यार्वे ?
२८ रुपये खंडी, सव्वा प्यास काय यावं ?
१० रुपये पल्ला, दीड पायळीस काय थर्व ?

१२ रुपये पल्ला, अडाच शुराच काय जाल!
शेरास दीड आणा, ठाड पछ्ठ्याच काय झाल ?
सव्वा दोन आणे पायळां, एक पछ्ठर्‍याच काय झाल?

एक पायलांस ८, अडाच खडाच काय झाल?

एका खंडीच्‌ काय झाल ?! एका शरास एक आणा
पडती

दीड रुपया मण, अडाच शराच काय

वरचेंच उदाहरण वजनी असेल तर उत्तर काय येइल!
२ रुपये शेर, ५ तोळ्यांर्चे काय
तोळ्यास ।-, तेव्हां एक शेर तीन त्‌ ळ्यांस काय यावे?

ढरमहा ठरशोंकडा १॥ रुपयाप्रमाणं २८ रुपयांचे दीड
महिन्याचे व्याज किवी झाल?
| शेंकडा बद्दा १॥ रुपये, ५३ रुपयांचा बद्दा किती होईल?
$९३०- शोंकडा दलाली बारा आणे, ८० रुपयांची दलाली
| किती यावी ?
| र! रुपये शॅकडापर्माणें ५८॥ रुपयांचा हुंडणावळ
| किती झाली !

६१०३०

संयुक्त प्रमाण अथवा वहुराशिक.
१६७. ज्या प्रमाणांत अनेक युग्मांचा संबंध येतो, किवॉ
ज्यांत उचर शोधण्याला विहींपेक्षां अधिक राशि दिलेले अ-
सतात, त्याला संयुक्त प्रमाण अथवा बदुुराशिक ह्मणतात,

५७८ अंकर्गाणेत.

ह्यांत अनेक जेराशिकें एकमेकांशीं संबंध असणारी अशीं
येतात, ह्मणून बहुराशिकास त्रेराशिक परंपरा असेंही ह्मणतां येतं.

डदाहरण-३० बिघे शेत दररोज ६ तास काम करून १०
दिवसांत कापएन टाकण्याळा ९ मनुष्ये ळागतात, तर ४० बिघे
शेत दररोज ८ तास काम करून १५ दिवसांत कापण्यास
किती मनुष्ये लागतीळ !

ह्या उदाहरणांत ४० बिघे शेत कापण्यास किती मनुष्ये ठा-
गतील हा मूळ प्रश्न आहे. बरती निरनिराळ्या अटी सांगितल्या
आहित त्यांच्या अनुरोधाने ही मनुष्यांची संख्या काढावयाची
आहे. तेव्हां अर्थांत जितक्या अटी दिल्या असतीळ तितकी
निरनिराळीं तरैराशिकें विचारांत घ्याबीं लागतील हें उघड आहे.

(9 ) जास्ती बिघे कापण्यास जास्ती मनुष्ये लागतील.

“, सम १४० बि. ४० बि. ९म.: १२ म.

(२ ) मनुष्यांनीं जास्ती तास काम केळ तर कमी दिवस
ळागतील.

«*« वदेसयस्त ८ ता. ! ६ ता. 4५4 ३म., १ ९ म.

(३१) काम लवकर झाले नाहीं तरी चाळेळ, दिवस अ-
धिक लागले तरी चिंता नाहीं. असे असेळ तर कमी मनुष्ये
पुरवील.

«« व्यस्त *>१५ द. : १० दि. $$९ म. ६ म.

तेव्हां ६ मनुष्ये हे॑उत्तर आलें. ब प्रत्येक अटीकरितां $
अशीं ३ जेराशिके वरतीं करावी लागलीं ह्मणून बहुराशिक हें
ब्रैराशिकांची परंपरा आहे असें हटले आहे.

आतां जीं वरतीं तीन नेराशिकें करून दाखावेलीं त्यांत प्रमा-
णें कसकशी आलीं त्यांचा विचार करुं. वरील तीन तेराशिकें
एकाखालीं एक मांडली तर असं होर्ते.

२१० बि. : ४० बि. :: ९ म.
८ता.: ६ ता. !:१२म.: ९ म.
१५ दि.;३१५$० दि. ९म.;

संयुक्त प्रमाण अथवा बहुराशिक १७९

यथ९म.३३म.::१२म.:९म.::म.९म.:६म. अभे कॉमिक
रार आल आहत, हणूनच नियम ५ बा क १३२२ पमाण ह्यांच
युणाततर ९ : ६ बरांवर असते. हणन हीं भेराशिक निरनिराळी
न कारता ३२) ८ > १५: ४०%६> ३१० ::९: ६ असें
एकदम म|डळ तरी चालत. यावरून बहुराशिकाची रीति अशी
नेघते कीं

१९८. बहुराशेकाची रीति-उचराच्या जातीर्चे पद ३ र्‍या
स्थलीं मांडावे. आणि उदाहरणांत दिळेळीं निरनिराळीं पदे जै-
राशिकाप्रमाणे ह्या ३ ऱ्या पदाशीं ताडून समव्यस्त पाहून $ल्या
अगर २९ र्‍या स्थळा भोळांन एकाखाळीं एक मांडावा. मग २९
ऱ्या सागताळ सव पडांचा व २ र्‍या पदाचा क्रमिक गुणाकार
करून त्यास १ ल्या रांगेतील पदांच्या कमिक गणाकारानें
भागारवे हणजे उत्तर येईल

उपपाति -- जितक्या ओळी होतात तितकी त्रेराशिके असतात.
हया भराशिकांची तिसरी व चवर्था पर्दे वरती दाखविल्याभमाण
कामिक राशि असतात, हणून प्रत्येक घेराशिक न सोडबितां सर्ब
'अराशिकांत तिसरे पद्‌ जें तिसऱ्या स्थलीं मांडळे नसते तच झाडे
झस झटळ तर चाढत. चब ह्या क्रमेक राशीचे गणित गणोत्तर
झाधयत राशीच्या गुणोत्तराबरोबर असते हणन पमाण नियम १
प्रमाणे तिसरें पद्‌ व २ ऱ्या ओळींतील सर्च पदं यांचा क्रमिक ग-
णाळार, उत्त ब १9 ल्या आळांताल सन यांच्या क्रमिक गणाकारा-
बराबर क्षत्ता, झणून ३3 र्‌ पदु व २-र्‍या भोळींतीक पर्दू ह्यांच्या
क्रामेक गुणाकाराला 9 ल्या ओळींतीळ पदांच्या क्रमिक गुणाका-
राने मागिल्यास उत्तर निघर्ते

सुव्वना.- १ त्या ओळींतील पदें व २ ऱ्या भोळींतील परदे
आणि १ ल्या ओळींतील ३ र्‍या ओळींतील पर्दे ह्यांना संक्षेप
जातील ते द्यावे, किंवा नुणकभाजक जोडब्र्यावर अंशछेदांना
संक्षेप जातील ते यावे, झणजे कत्य सोपें होईल

भाषण वरचेंच उदाहरण बहुराशेकाने करुं, या उदाहरणांत

१८५० ____. अंकगणित,

शेत आधिक विस्ताराचे असून त्यास कापण्यास काळही भाधे-
क दिला आहे. तेव्हां मनुष्यांचे संख्येचा संबंध, शेताचा बिस्तार
आणि कापण्यास दिलेळा काळ ह्या दोन गोष्टींववग आला. वि-
स्तार बाढला तर मभुष्यें वाढतील. हें सम प्रमाण आहे. परंतु
काळ अधिक दिल्याने काम संपविण्यास मनुष्ये कमी लागतील.
हें व्यस्त प्रमाण झालें. त्याचपमाणें प्रत्येक दिवशीं कांहीं तास
काम होणार, ह्मणून जास्ती तास काम केळें तर कमी दिवस
लागतील व कमी तास काम केलें तर जास्ती दिवस लागतील,
ह्मणून हंही प्रमाण व्यस्त आहे. मनुष्यांचा बदुल बिघ्यांच्या
सम प्रमाणांत ब दिवसांच्या ब तासांच्या व्यस्त प्रमाणांत होतो,
हणन बिघ्यांचें भमाण सम मांडून दिवसांचें व तासांचे प्रमाण
व्यस्त मांडळे, जसें.--

सं. प्र. २० बि.: ४० बि.

व्य.भ्र. “८ ता. $ «६ता. > $:$९म.। उ. म.

व्य. प्र3->१५ दि. : 4२१० दि.

,/», उ. म. स्पघ्यन्यवेर्पा म. ६ म. हे उत्तर.

उ० २ रुं. एक ६०० पृष्ठाचे पुस्तक १० दिवसांत लिहि-
ए्यास ६ ळेखक ळागतात; तर १२०० पृष्ठांचं पुस्तक ४ लेखक
किती दिवसांत लिहितील !

रीतीभमाणे मळराशि १ ळे ओळींत ब फलराशि ३ रे ओळीं-
त मांडून, इच्छाराशे २ रे ओळींत ब इच्छाफलाचें दर्शक उ अ-
क्षर ९ थे स्थळीं मांडले. '

स. प्र. | ६९ >प,३ १५२०० प. 1. र द्ष्ट
व्य. प. &४ले$ः ४६ ले. ( ::9० दि. : इष्ट दि.

पुस्तकाचीं पानें वाढलीं तेव्हांदिविस अधिक लागतील हें सम
प्रमाण. लेखक कमी केल्याने दिवस आधेक लागतील हें व्यस्त
प्रमाण. तेव्हां समव्यस्तांचे अनुक्रमानं पर्दे बदळलीं.

१२०० 9६ > १७

संयुक्त प्रमाण अथवा बहुराशिक. १८५

४ टन १६ है. वे. नेतात, तर '५ पो. १९ शि. २पे. भाड्याने
५२ मेलांवर किती बजन नेतीळ?
११ पों. १७ श्थि. ६ घे. : २८५० पे.
५ पो. १९ शि. २पे.- १४३० पे.
रीतीपरमार्णे फळाचे संबंधी 3 ल्या ओळींत ब इच्छाफलाच
संबंधी २ ऱ्या ओळींव मांडळे. जसे.--
८५० पे. $ ० पे 2 आ
र... होण ते
येथें भाडे बाढल्यानें ओके बाढतें व मेळ वाढल्याने ओझें
कमी होतें. ह्मणजे हेडेडवेटांचा बदुळ पेन्सांच्या सम प्रमाणांत
ब मैलांच्या व्यस्त प्रमाणांत होतो, ह्मणून पदें बदलली.
1 न

2 र जे र >< > जर ऱ््ट री र
स्वन ० आटक > याल १ >
उ ७ ज्््द ५९.० >८ ९ > हृ क 21 क भै टं रु हे. बे.

उ. ४ थे. १६ तोफांच्या ४ पाळ्या ७ मिनिटांत झाल्याने
२७० मनुष्ये १॥ तासांत मरतात. हावरून किती तोफांच्या ८
पाळ्या ९ मिनिटांत झाल्यानें 82२० मनुष्ये ४०मिनिटांत मरतील?

येथे १६ तोफा ह्या फळांचे संबंधी मानरारि $ ल्या स्थळीं,
इच्छाफळाचे संबंधी इच्छाराशि २ र्‍या स्थळीं, इ. मांडिले तर,

व्य. *८ पा.$: “७४ पा.
स. ७मि.$ ९ मि. (| ___ न क
स. २७० म. : ९९० म. ऱन्पे ती. ! उत्तर तोफा,

व्य. ९-७ 4७ मि * ह. अ: मि

येथें इतर संबंध कायम राहून तोफांच्या सरवत्तीच्या पाळ्या
१ पट वाढल्य़ा तर तोफांची संख्या डे पट होते. हे प्रमाण
व्यस्त आहे, हणून पदे बदळलीं.

प्रत्येक पाळीमधळा काळ ९ पट झाला तर तोफांची संख्या
२ पट्ट होते. हं प्रमाण सम आहे. हणून परदे तशींच ठेविलीं.

भरणारीं मनुष्ये दुप्पूर झालीं तर तोफांची संख्या २ पट होते,
हें भमाण सम आहे. हणून फरठें तशींच ठेबिली,

१६

६८९ अंकगाणेत.

सरबत्तीचा काळ २ पट झाला तर तोफा ३ पट होतात. ह
प्रमाण व्यस्त आहे. म्हणून पदे बदलली.
जये
. उ > हे हे > अटेंड > 22 > €तो -_३६तो ह उत्तर
ल व >< 1-3 की भर
4 $ च >
ऊ. ७ वे. ग्यारिसनच्या ( बंदोबस्ताच्या ) ४५०० मनुष्यांना
दररोज दरमाणशीं १३ भ्षोस प्रमार्णे १५ आठवड्यांना पुरेसे
अन्न आहे. हे अन्न दररोज द्रमाणसास १० औंस प्रमाणें
देऊन २७ आठवडे प्रविर्णे आहे, तर यांतळे किती ळोक दुस-
रीकडे पाठवावे
भर्थे ४५०० म ह्या फलाचे संबंधी १ ल्या स्थलीं ब इच्छा-
फळाचे संबंधी ९ र्‍या स्थलीं मांडळे. तर,
ब्य. *>१० को. : 9५4१३ ओं. ल.
व्य. . आ. : न क ी । 3 टे 1 ह
जर माणशी औंस २ रा हिस्सा दिळे तर तें अन्न ९ पट म-
नुष्यांस पुरते हे प्रमाण व्यस्त आहे. ह्मणून परदे उळटलीं.
जर आठवडे २ पट केळे तर माणसें २ हिस्सा होतात. हंही
प्रमाण व्यस्त आहे. ह्मणन पठे उलटून ठिहिलीं.--
२५० १

८४ क

"४->-०-०व>9 3>त%

शद या जनक हमभकी.2' ाळााण090.., ७ काजा “मिकी, वर्क ध्ऱ
जट >“

१ च

ह्यावरून ४५०० म. - ३२५० म, - १२५० म. दुसरीकडे
पाठवबावीं हें उत्तर.

कांहीं बहुराशिर्क प्रश्नांतीळ संबंध विचारांत घेऊन तयार क-
राबीं लागतात. |

उ. ६ वें. जर १५ घोडे ब ९५ मंब्या 9२ द्िविस पोसण्या-
ळा १५० रुपये खर्च येतो, तर ३ घोडे व २५ मेंब्या ३० दिब- .
स पोसण्याळा काय खर्च येईल? 9 दिवसाचा ६ घोड्यांचा
ब ५८ मेढ्यांचा खर्च हे समान आहेत असें समजा.

संयुक्त प्रमाण भथवा घहुराशिक. १८४

जर ६ घोड्यांचा खर्च - ५८ मेंढ्यांचा खर्च,
त्र १ घोड्याचा ,, >“ मंढ्यांचा ,,
ब. १५ घोड्यांचा ,, >-१४५मेंब्यांचा ,,
आणि ३ घोड्यांचा ,, २९ मेंब्याचा ,,
येथें खर्चाचा बद्‌ळ मेंढ्यांच्या सम प्रमाणांत ब दिवसांच्या-
ही सम प्रमाणांत होतो. हणन उदाहरण असे होतें कीः--

१ त 1. 06.
१२. : ३० दि. १ ४"२.:क.
७८ र १ वी
_ तै ह.ररु, > >: > 3.2 _ ६७१
पव्ट नट“ >तव% | "१ ०२ट
८ री

नष
८४ रु. ६ आ. हे उत्तर. |
उ. ७ वें. जर ६० मनुष्ये रोज ८ तास खपून ६ दिवसांमध्ये
१९० फूट लांब ३६ फूट रुंद व ९५ फ़ूट खोळ खाडा खणतात,
तर किती दिवसांमध्ये १८ मनुष्ये रोज ९ तास खपून ९२५०००
घनयाई जमीन खोदून रस्ता सपाट करितील ?

८ १२९० या. ३६या. २५ या.
:- खाड्याचे धनयार्ड > नक >< क >< व

2-2 $-*-२५ घनयाड॑.
येथें तिसरे पद्‌ ६ द्विस ह्याचे संबंधी १ ल्या स्थळीं ब
च्छाफलाचे संबंधी २ र्‍या स्थळीं मांडिले.

व्य. ६० म. ! १८ म.
व्य... ८ ता. : ९ ता. ,/"६दि.:ज्ञ.
स, 2--£-“-३$--*५घ.या.: २२५०००घ.या. क

नेमळेळा खड्डा खोदण्यास मनुष्ये कमी ळाविलीं तर कामाचे
दिवस वाढतात हे व्यस्त प्रमाण, हे लक्षांत ठेवावें.

नेमलेल्या खड्यावर मनुष्ये अधिक तास लाविलीं तर तो
खड्डा कमी दिवसांत पुरा होतो. ई व्यस्त प्रमाण. ह लक्षांत घ्यावें.

नेमलेल्या मनुष्यांना अधिक घनयार्ड खोदावे लागलें वर

१८४. अंकगणित.

द्विस वाढतात. हें सम प्रमाण ह्मणून, समव्यस्त प्रमाणें पदें
घेऊन,
» > > २९ 2 ९००९० दि.

आ 0033 >< हाट वता 5

-. १००८ दि हं उत्तर,

उ. ८ वें. ग्यासाचे ( धुराचे ) ४ दिवे ५ रुपयांच्या खर्चात
३० दिवसपावेतो रोज ५ तास जाळतां येतात, तर १६ रु.
खर्चात ८० दिवे ४ दिवसपाबेतो रोज किती तास जाळता
येतील ! |

येर्थे तिसरें पद्‌ ५ तास आहेत, ह्यांचे संबंधी राशि १ छे
स्थलीं ब इच्छाफलाचे संबंधी राशि २ रे स्थलीं असे रीतीम-

मार्णे मांडळे,
स. - ५रु ख.: १६रु. ख.
व्य. ४ दिवे ५: ८० दिवे ) > ५ तास: उ.
न्य. ३० दिवस ः 0 दिबस

येथें नेमलेल्या दिव्यांचे रुपये वाढविळे तर तास वाढतात.

पण नेमलेल्या खर्चात दिवे वाढविळे तर तास कमी होतात. ब

दिबस ब'ढविले तरी तास कमी होतात. सारांश, तासांचा बदळ

रुपर्यांच्या सम प्रमाणांत, दिव्यांच्या व्यस्त प्रमाणांत ब दिव-

सांच्या व्यस्त प्रमाणांत होतो. ह्मणून समव्यस्ताप्रमाणें पदे वेऊन,
&

"णा क्राशन्न्क $$ ६ तास हे उत्तर.

भभ्यासाकरितां उदाहरणें. क्ष.
१. १५ फरे धान्य ९ ममुष्यांस ८ माहिने पुरते, तर २० फरे
धान्य ६ मनुष्यांस किती दिवस पुरेळ ?
२. ६६ रुपये १० आणि दिल्याने १८ दिवसपर्यंत १६ म-
नुष्ये काम करतांत, तरं १९९ रु. ५४ आणे दिल्याने २७ द्वि-
सपर्यंत किती मनुष्ये काम करतील |

संयुक्त प्रमाण अथवा बदुरावोक, १८५

४. २० मनुष्ये १२ दिवसांत जें काम करतात, त्याचे ति-
प्पट काम पूर्वीच्या काळाच्या हे काळांत कराबयाचें आहे, तर
किती मभष्पें लावावी ?

४. ७ घोड्यांस २० दिविसांस १४० रुपये ळागतात. तर
२८० रुपये ७ दिवसपर्यंत किती घोड्यांस पुरतील ?

५. १४ घोड्यांस १६ दिवसांस गवताचे भारे ५६ लागतात
तर १२० भारे २४ दिवसपर्यंत किवी धोड्यांस परतील ?

६. एक व्यापारी ३००० रुपये भांडवल घेऊन ३ महिन्यांत
५० रुपये नफा मिळवितो, तर त्याळा ४५०० रुपये भांडवलावर
१५० रुपये नफा मिळविण्यास किती दिवस ळागतील ?

७. ८ मजूर ४ महिन्यांत २४ रुपये मिळबितात. तर २९ मो-
होरा ६ महिन्यांत किती मजूर मिळवितीळ !

८. 9६ घोड्यांस ८०० पेंढ्या गवत ५ दिवस पुरते. तर
४ घोड्यांस तेंच गवत किती दिवस जाईल?

एक इसम ३४५७ चौ. याई शेत १ तासांत बेणतो. तर
६ एकर क्षेत्र बेणण्याळा ६ इसमांस किती दिवस लागतील?
दररोज ४ तास काम करावयाचें

१०. एके दुगड ५ फूट लांब, २ फूट ९ इच रुंद, व २ फूट
६ इंच जाड २॥ खंडी वजन भरतो तर तसलाच दूुगड १०
फूट लांब, ५ फूट ९ इंच रुंद व३ फूट जाड किती बजन भरेळ?

११. कागदाच्या ६६ रिमांत ४४ पानांचे बकाच्या ३०१०
प्रति छापल्या जातात, तर आम्हांस ५० पानांचे बुकाच्या ५०००
प्रति छापाबयाच्या आहेत त्यांस रिम किती ळागतील ? एका
रेमांत ४८० पानें असतात.

१२. १२ मनुष्ये ४ महिन्यांत १६० रुपये खर्च करतात, तर
रु. ८० आठ महिनेपर्यंत किती मनुष्यांस प्रतील ?

१३. ८ मनुष्ये ५ दिवस काम करून ९० रुपये मिळवितात,
तर ह्या मानाने ३२ मनुष्यांनीं २४ दिवस काम केलें असतां
त्यांस कास मिळेल |

१४६. अंकगणित,

५४. १०० रुपयांत ५ मनष्यांचा खर्च २९ आठवडे आणि
५ दिवस पर्यंत चालतो, तर 3२ मनुष्यांस १५० रुपये किती
दिवस पुरतील |

१५. ७ मनुष्ये ९ पो. १० शि. ६ पे. १०॥ दिवसांत मिळ-
विवात, तर २८ मनष्यें ३१॥ दिवसांत किती पोंड मिळवितीळ !

१६. २४ मनुष्यांनीं १६ दिवस काम केळे असतां त्यांची
मजरी ७६॥। रुपये होते. आतां मजुरीचा दर निम्मे केला तर
२४ दिवसांत १५३॥ रुपये मजुरी होण्यास किती मसुष्ये
कामावर लावावी ?

१७. दोंन घनफट ळोखंड १५ घनफूट पाण्याबरोबर जड अ-
सर्ते, आणि १ घनफट पाण्याचे बजन १००० ओस असतें, तर
एका लोखंडी २ घनयार्ड पाव्याचें वजन किती होईल ?

१८. ५ तश्ठांचे बळ २ घोड्यांबरोबर आहे. तर जें बजन १२
घोडे केवळ हळवं शकतात त्यास हळविण्यास किती तें
ळावावी !

१९. दररोज ९ तासप्रमाणे काम करून १२४ मनुष्ये कांहीं
एक काम ९५ दिवसांत करतात. तर ५७ माणसांस तेंच काम
५१ दिवसांत संपणे असल्यास दूररोज किती तास सपावे
ळागेल? |

२०. एक खडा विहिरीचे तोंडापासून सोडला वतो १ सेकं-
डांनीं पाण्याचे सपाटीस लागला, तर पाणी काढण्यास किती
फूट लांब दोर पाहिजे !

२१. २१ मनष्यें ७२ बिघे जमिनींतीलळ गवत ८ दिंबसांत
कापतात, ह्या मानार्ने ५०४ बिघे जमिनींतीळ गवत ६ दिवसांत
कापावयार्चे आहे, तर किती मनुष्ये लावाबीं ?

२२. ३ मनुष्यांचे कुटुंबास १२० रुपये ८ महिनेपर्यंत पुरतात,
तरह्या मानाने २४ मनुष्यांस १६ महिन्यांस किती रुपये लागतील?

२३.बेलांच्या १२ जोड्यांनी ५ दिवसांत १9 एकर शेत नां-
गरळें, तर २२ एकर शेत १८ दिवसांत नांगरावयाचें आहे त्यास
किती जोड्या लावाव्या !

संयुक्त प्रमाण अथवा पदुराणिक. १८७

२४. १० रुपये मण साखर होती, तेव्हां २६ तोळे वजनाच्या
गांठीस दोन आणे पडव होते. आतां २४ तोळे वजनाच्या गां-
ठीस दींड आणा पडतो, तर साखरेचा भाव काय असावा !

२५. दररोज ८ तासभमा्णें चाळून एक गृहस्थ १ दिवसांत
६० कोस जातो, वर तोच गृहस्थ दररोज ६ तास चाळून ५४०
कोस लांब किती दिवसांत जाईळ ?

२६. ३० खंडी गल्ला १५ कोस न्यावयास भाडे ५॥ लागत,
तर २९ रुपयांत ८८ खंडी गल्ला किती लांब नेळा जाईल १

२७, एक मनुष्य 1९६० मेळांची पडक्षिणा, रोज ११ तास
चाळून ८ दिवसांत संपवितो; तो जर १५ तास रोज चाळू ला-
गळा, तर १००० मेलांची परद्क्षिणा संपवावयास त्यास किती
दिवस लागतील ? |

२८. एक खंडी हरभरे ९ घोड्यांस १५ दिवस पुरतात, तर
१० घोड्यांस लीप* वर्षीतीलळ जानेवारी व फेब्रुबारी ह्या दोन
महिन्यांत किती हरभेरे ळागतीळ ?

२९. दररोज ८ तास काम करून १८ मनुष्यांनीं २५ दिव-
सांत ३० थाई लांब खाडा खणळा, तर रोज ६ तासभमाणें काम
करवून ४० दिवसांत ६० यार्ड लांबीचा खाडा खणावयाला
मनुष्ये किती लावावी ?

३०. ७ गवंड्यांनीं ठररोज ९दे तास काम करून रन्टे
दिवसांत कांहींरक काम केळें, तर त्याचे २३ इतकें काम करा-
बयास ३ गवंडी दररोज १२ तास काम कक लागल्यास त्यांस
किती द्िविस ळागतीळ ! की

३१ प्रत्येक कांब ४ फट लांब, ३ इंच संद, व २इंच जाड.
अशा लोखंडाच्या चार कांदीर्चे वजन २८८ पोंड भरते, तर
प्रत्येक कांब ६॥ फूट ळांव, ७ हेच रुंद आणि तीन इच जाड
अशा १५ कांबीर्चे वमन किती होळ ?

टमकी ण $

* सन ९८८४ सन ९८८८ अद्या 2 नीं भाग जाणाऱ्या वर्षी फेत्रुवारीचे
२९ दिवस धरितात, असल्या २९ शी फेश्रवारीचे वर्षोला लीप वषे इं
नांव आहे. अं. भा. ९ क. १०० पहा,

। भंकगणेत'.

३९. द्ररोज १० तास संपून ३२ मनुष्ये, १९ हाव लांब,
८ हात रुंद आणि १० हात खोळ असा खाडा ९ दिवसांत ख-
णतात, तर याच्या २॥. पट लांब, १॥!* पट रुंद आणि १।' पट
खोळ असा खाडा दररोज ८ तास खपून २४ मनुष्ये किती दि"
वसांत खणतील !

प्रमाणभाग अथवा सर्कतवांटणी.

५३९. नेमलेल्या संख्यांच्या बेरजेळा ती प्रत्येक "संख्या अ-
शा प्रमाणांत इष्टसंख्येचे भाग केळे, तर ते भाग नेमळेल्या सं-
ख्यांच्या प्रमाणांत होतात. ह्मणून झा भागांना इषसंख्येचे प्रमा-
णभाग असे ह्मणतात.

उदाहरणार्थ, नेमलेल्या संख्या २ व ५ आणि इश्संख्या २)
घ्या. ह्या नेमलेल्या संख्यांची बेरीज ७ आहे. ह्मणून वरील
लक्षणाप्रमा्णे. -”

७:२२ २१: २१५७ ६.
ब ७: ५ २१ : २१% ऊस १५.

असे भाग येतात. वरच्या दोन्ही प्रमाणांत अग्रसर एकच

आहेत, ह्मणून त्यांचे उपाग्रसर प्रमाणांत असले पाहिजेत. जसें -
२५:५'५स ८५ १'५.

हेच सिद्ध करणें होतें. वरीळ रुतीने इष्संख्येचे नेमलेल्या
संख्यांच्या प्रमाणांत भाग होतात. ह्यावरून हे भाग शोधण्याच्या
रीति ठरतात त्या अशा. -”

_ ५४०. रीति १? ली.-नेमलेल्या संख्यांच्या बेरजेला त्यांतील
१ ली संख्या, तसा इष्टसंख्येळा तिचा पहिळा भाग, अशा
प्रमाणांच्या क्रमानें सर्व भाग शोधावे.

पत ककी
ह्या कमांत बाजा गुणोचरांनी इषसंख्या गुणून इष्ट-
भाग येतात. ह्मणून,

१४१. रीति २ री.--नेमलेल्या संख्यांना त्यांची बेरीज छेद्‌

संयुक्त प्रमाण अथवा बहुराशिक. १८९

द्यावी, आणि त्या सर्व अपूर्णांकांनीं इष्संख्या गुणून तिचे सर्व
भाग शोधावे.

नेमलेल्या संख्यांची बेरीज ब त्या संख्या ह्या त्यांतील एकं-
च्या ज्या ज्या फ्टी असतात, त्या त्याच पटी इष्संख्या ब तिचे
भाग हे त्यांतल्या कल्पित एकंच्या असावबयाच्या. ह्मणजे,

पे. 9३ रेक णक सर्व: येण

अशीं दोन्हीकडच्या क्रमिक संख्यांचीं गणोचंरं समान अ-
साबयाची. हणन,

१४२. रीति ३ री.-- एकंच्या पद्धतीनें नेमलेल्या संख्यांच्या
प्रमाणाचे इष्टसंख्येचे भाग शोधावे.

ड० १ लें. बंदुकीच्या ठारूमध्यें ७६ भाग सोरा, १४ भाग
कोळसा, आणि १० भाग गंधक असतो. आपणास $ मण
दारू करणें आहे, तर हा प्रत्येक पदार्थ किती किती घालावा ?
येथें ७६--१४--१०२१००, आणि १ मण >> ४० शेर, हणन
रीति१ प्र. १०० शेर दा.:४० शे. दा.>७६ शे. सो.:३०चेशे.सो

१०० शेरदा.५४० शे.दा. १९ शे. को.: ५दैशे. को.
१०० शैरदा.:४०शे ढा.-१०शे. गं. ४शे. गे.

सूचना 9 ली.--नेमलेल्या संख्यांत अपूर्णांक आळे तर
त्यांचे समच्छेद्‌ करून त्यांच्या जागीं त्यांच्या प्रमाणाचे पूर्णांक
घ्यावे, हणजे रुत्य सोपें होतें.

उ० २ रू. १००० रुपये क, ख, ग, ह्या तीन असामीस
असे बांद्रन दिळे की, गळा जें मिळेल त्यापेक्षां त्याचा तृतीयांश
खळा अधिक मिळाबा, आणि खला जें मिळेल त्यापेक्षां त्या-
च्या अर्धानेंकळा अधिक मिळावे, तर प्रत्येकाळा काय मिळेल?

ह्या उदाहरणाप्रमाणें गचा भाग १ हटला, तर खचा भाग
१३-४४ होतो, आणि कचाभाग ड£ ३४ चा इनर होतो

ह्यावरून क, ख, आणि ग; ह्यांचे भाग अनुक्रमें २, इ: व
१ झ्‌से होतात) हण पै) ४ चिं > किला ९, ह, - शि. झ्‌ऱे

७९५ अंकगणित.

होतात, आणि ह्यांची वेरीज १२ भाग
२ प्रमार्णे--
कचा भाग > १०००२. चे
खचा भाग-१०००र. चे
2 गचा भागर-१०००रस.चे

संबंधानें शोधणें असलं, हणजे ह्या करत्यालळा सर्कतवांटणी
हणतात. भागीदारांच्या रकमा समान कालांपावेतोंच वापर-
लेल्या असल्या, हणजे तो काळ हिशेबांत घ्यावा ळागत नाहीं
परंतु त्या वेगळाल्या काळांपावेतो वापरलेल्या असल्या तर ते
काळ हिशेबांत ध्यांवे लागतात. हणजे रकमा ब बापरणुकीचे
काळ हे एकेकाच परिमाणाच्या नांवांत आणून, त्यांचे गुणाकार
त्या रकमांच्या जागीं हिशेबांत घ्यावे लागतात. हे भेद दाख-
विण्यासाठीं पहिल्या पकाराळा एकेरी सर्कत, ब दुसऱ्या प्रका-
राला दुहेरी सर्कत अशीं नांवे देवात.
उ० ३ रें. क, ख, ग, ह्या तिघांनी सर्कतीनें व्यापार केला.
त्यांत कचे ५०० रुपये, बचे ६५० रु, आणि गचे ७०० रु,
असे होते. पढें एका वर्षाने त्या व्यापारांत ५५५ रु. नफा
झाला, तो त्या तिवांस कसा वांटून ययाबा !
हीं भाडवळे समान काळपावेवो असल्यामुळें ही एकेरी सर्कत
आहे हणून नफ्याची वांटणी भांडवळलाच्याच प्रमाणांत होईल.
ह्मणजे ती ५००, ६५०, ब ७००, अथवा १०, ११ ब १९9, ह्या
नेमलेल्या संख्यांच्या भमाणांत होईल. ह्या संख्यांची बेरीज
३७ आहे, म्हणन एकंच्या पद्धतीन
३१७ भाग > ५५५ रु
म १ भाग > १५ रु.
. कची बांटणी १० भाग - १५० रु.
खची वांटणी १२ भाग > १९५ रु.
र्‌ गच्ची नांदणी १४ भागे - २१० र,

संयुक्त प्रमाण अथवा बहुरांशिक; ५९५

ड. ४ थे. क आणि ख, ह्या दोघांनी. ५००० पोंड भांड-
वळ जमवून सकंतीने ( भागीरनं ) व्यापार आराभेला. त्यांत
३१०० पोंड कचे व बाकी खचे होते. तीन महिने होतांच
गचे १५०० पौंड त्या भांडवळांत घाळून त्याला त्या सर्कतींत
घेवठं, आणि ४ महिने होतांच घचे आणखी १९५० पोंड त्या
भांडवलांत घाळून त्यालाही त्या सर्कतींत घेतरळे. साळ अखे-
रीस ह्या व्यापारांत १७२९ पोंड १३ शि. ९ पे. नफा आकारला.
तो त्यांनीं कसकसा वांटून घ्यावा ?

ह्या सर्कतींत वेगळालीं भांडवळें बेगळाल्या काळांपावेता
बापरलीं जातात, ह्मणून ही दुहेरी सर्कत आहे. हींतीलळ ३९००
पोंडांचा १० महिन्यांचा व्यापार > ३३०० >: १० पोंडांचा १
महिन्याचा व्यापार आहे, ह्मणून महिने हे रकमांच्या पटी दाख-
विणारे कल्पून ह्या सर्बांच्या एकेका महिन्यापावेर्तो केबढाल्या
रकमा व्यापारांत होत्या ते काढलें. तर,

कचे ३२०० पों. <१२- ३१९६०० पों.
खचे १७०० पों > १२: २०४९०० पो
गचे १५०० पों. > ९-११५०० पों.
घचे १९५० पो. ८१५६०० पौं.
८९१०० पौ
समान काळपावेतों वापरलेल्या रकमांचा फायदा त्या रक-
मांच्याच प्रमाणांत असला पाहिजे. ह्मणून,

१७२९ पों.१३ शि. ९पे.

कची वांटणी स

८९१०० टी १९६०९
>. ७६८ पो. १५ शि
व्यं ७२९पे शे. ९पे
सची बांटणी १७२९पो 0 क १०४००
ट्९१ ०९
> इत्यादि

३० ७५ वै. अर्ने ८०० रु. घेऊन व्यापारास आरंभ केला
तैतर्‌ तीन महिन्यांनी त्या ब्यापारांत १००१ रु. देऊन ब मिळा-”

१९१९ अंकॅगणित॑.

ला. पुढें त्या व्यापारांत ६ महिन्यांनी २२० रु. नेफा झाला. तो
उभयतांस कसा बांदून यावा !

ह्या व्यापारांत अचे ८०० रु. ९ माहेने होते, बचे १०००
रुपये ६ महिने होते.

आतां ८०० रुपयांचा ९ महिन्यांचा नफा > ८०० > ९
रुपयांचा एका महिन्याचा नफा आहे. तर्सेच १००० रुपयांचा
६ महिन्यांचा नफा - १००० > ६ रुपयांचा एका महिन्याचा
नफा आहे. हणून अआणि ब ह्यांचे नफे ८०० > ९, आणि
३००० :< ६ म्हणजे ७२०० आणि ६०००, ह्या प्रमाणांत अथ.
वबा ६ आणि ५ ह्या प्रमाणांत येतील.

णूः अची बांटणी ९२१० > बव १८०
हणून, बची वांटणी व. 3 (भता पती | है उत्तर

उ० ६ व. अनें ५०० रुपये, आणि बर्ने २०२ रुपये घेऊन
दोघांनीं सर्कतीनें व्यापार आरंभिल्यावर ९ महिन्यांनी त्या
व्यापारांत क १००० रुपय्रे देऊन मिळाळा पढें ९ महिन्यांनी
पाहतात तों त्या ब्यापारांत २००० रुपये नफा झाला. तो तिघांस
कसा बांटून द्यावा !

ह्या प्रमाणांत ५ व्या उदाहरणाभमाणें भ, ब, क, ह्यांचे नफे
५०० > १८, ३०० > १८, १०० > ९ ह्या प्रमाणांत अथवा
५, ३, ५ ह्या प्रमाणांत आहेत, म्हणून उ) कळ वड! हे प्रमाण
दाखविणारे अपणीक आले. म्हणून

अचा भाग २००० रु. > त ७६९ रु. ३ आ. ८वडपे.

ध्चा भाग - २००० रु, > वु ऱ्य शै १ रु. टं “भा. ७८८ पे.

कचा भाग > २००० रु. > द ७६९ रु. २३ आ. ८क$पे.

| २र०्व्ररु.

उ. ७वॅ. क आणि च द्यांनीं ११ ह्या प्रमाणाची
भांडवळें एकत्र करून भागीचा व्यापार चाळू केला. तीन महि-
न्यांचे अखेरीस कर्ने आपल्या भांडवलाचा च त्यांतून काढून
घेवला, त्याच्या २.फ्द पेसा तेथून १ महिन्यानंतर चर्ने त्या

प्रमाणभाग अथवा सर्कतर्वांटणी. १९४

व्यापारांत नवा घातला. ह्या व्यापारांत ३९२७ पौ. ७शि. ६पे.
नफा झाळा आहे. तर तो त्यांनी कसकसा घ्यावा ?

येथें सप्रमाण संख्यांचीच गरज आहे ह्मणून करचे भांडबळ ७
आणि चर्चे 3) झटले. २ महिन्यांनी कने ७ चा डे त्यांतून
काढल्यावर त्याचे ४३ भांडवल राहिळें. ४ महिन्यांनी चनें रै
चे २ पट >> ९३ भांडवळ नवीन घातळें झणून त्याचें भांडवल
१५३ झालं. ह्या कामीं क आणि च ह्यांची भांडवळे एकेका
महिन्यापावेतोंच केवढाळीं वापरली गेलीं तें काढलें. तर,

७ > ३ > २९१ -: ६३ हे कर्चे भांडव
४३ > ९२ ४२ |: ६३ हें कर्चे भांडवल.

हें चर्चे भांडवल,

११ > ४२८ ४७५ _ १९ ल्य
१५३ ८ > १२पडे | २३२

७पो. ७शि ६ पे.
ररे र व. व ६३
क 0 वती

६९७
- ९१ पो. ९ शि. ८ पे. सुमारें.
३३७पॉं.७शि.६ पे.
२२३२
>. २४५ पौं. १७ शि. १० पे. सुमार.

पमाण भागावरून नानाभकारच्या प्रश्नांचे उळलगडे विचारा-
च्या आधारे करितां येतात.

उ० ८ वें. तीन गांवांतील लोकांनीं त्यांतील वस्तीच्या
अनुरोधानें १८२ लोक (किंबा त्यांचे पगार ) बंदोबस्ताच्या
फौजेत पाठवावयाचे आहेत. त्यांतील वस्ती, पहिल्यांतीळ २४५६,
दुसर्‍्यांतीलळ ७३५, आणि तिसऱ्यांतीलळ ४३६१ अशा आहेत. तर
त्यांपासून किती किती ळोक घ्यावे तें पोक्त विचाराने सांगा.
थर्थ एकंडर वस्ती > २४५५ १ ७३५ व १ ३६१ > ५४५५३,

१५४

,», कुंची वांटणी >

व ऱयची वांटणी >

"०८
णा व

$९४ ऐअकंर्गणित.

२४५६ > १८२ ळा

ल्धघ £ ता: -लशशशणा ऱरू५९.१८ जो

यग वलास ९.१८ लो.
___ ७३५ > १८२ लो. .
2001001 कळ. ली.

७ ९
__, ४२६) > १८२ ळो.

घघपागा.वाऱर र्पण्क््श्िणा 7 १0५ क
बँ. ेणागा ला ०९्लो

आतां बरच्या दशांशस्थळामुळे १ मनुष्याचा तोटा येतो तो
कोणत्या गांवापारून घ्यावा हा विचार राहिला. हा मनुष्य
१ ल्या, २ र्‍या, ३ र्‍या गांवापाखरून घ्यावयाचा हटला

क

हणजे त्याळा बाजवीपेक्षां फाजील देणे पडेल. ह्या फाजील दे-
ण्याची माने अनुक्रमाने ८२, '२९, '९१ अशा येतात. ह्याव रून
१ जास्ती मनुष्य २ र्‍या गांबापाख्रून घेतला पाहिजे असें
प्रथमदर्शनी वाटतें.

परंतु हीं फाजील देणी त्या त्या गांवांतील लोकांवर बां-
दली जावयाची, हाणून ह्या प्रत्येक गांबांतील व्यक्तीवर हे
फाजील देगें काय असेल हें पाहिळें, तर वीं व्यक्तीसंबंधी माने
अनुकरमे--

डर । उडे) इद ! दोणजे '०४९३) '०३९; ०२०८;
अशीं येतात. ह्यावरून ३ ऱ्या मांबापासून १ मनुष्य अधिक
बेतला तर त्याबद्दलचे ओझें त्यांतील प्रत्येक व्यक्तीवर अगदीं
भोंडे पडते. हाणून हा मनुष्य ३ र्‍या गांवापासख्रून ध्यावा.
अर्थांत ५९, १७ व १०६ ह्याभमार्णे लोक घ्यावे.

उ० ९ वै. नियमित काळांत ३ बाप्ये व ४ मुलगे काम
करितात तितकेच २ बाप्ये ब १६ मुळी करितात, आणि ४
बाप्ये व २ मुलगे काम करितात तितकेंच १२ मुलगे ब १२
मुळी करितात. एका बाण्याने १ मुलगा ब एक मुलगी ह्यांच्या
मदतीनें कांहीं काम करून ४४ शिलिंग बक्षीस मिळविले आहे,
तर त्यांतून केवढालें बक्षीस त्यांना यावे !

३ बा.चॅ शमु.चेंका, - रबा.चें--१६ मुलींचे का,

स,म.३भ, १ जा.वे शयू.चे का, > ११ मुठींचें का, .,( १)

प्रमाणभाग भंथवां सर्कतर्वांटणी, ३९९६

वे श४बा.चॅ"१क्मु.चचेंका. ६९ मळीर्चे का *““(२)
पुनः ४बा.चे- र्मुचेंका.-१२मु.चेंन-१२मुलींचेंका
* ४ बाप्यांचें का. >. १० मु.चें--१२ मुलींचे का
ह्या बरोबरांत १६ मुलांचें काम दोन्ही बाजूंस मिळविले तर

४ बा.चे--१६्मु.चे का. २६ म.चें-१२ मलींचें का

(२)प्र ६४ मुलींचे का.-_२६ मु.चे-१२मुलींर्चेका,
५२ ,, ,») > २६ म.चें काम.
व २,» ?) २ १ मु.चें काम.

।

परंतु (१) प्र.१बा.चें-४ मु.चें का. १६ मुलींचे काम.
१ बाप्यार्चे काम > ८ मलींचें काम.

ह्यावरून बाप्या, मुलगा, व मुलगी ह्यांची बक्षिसे ८. २ ब १
ह्या प्रमाणांत ठरतात
भातां बाप्याचें -- १ मुलाचें -- १ मुलीचें काम

> ११ मुलीर्चे काम > ४४ शि.

र १ मलीर्चे , & ४ शि.

१ मुळाचें किंवा २ मलीर्चे - <शि.
बे 9 बाप्यार्चेंकिंवा ८ मुलींचे , ३२ शि. हीं उतच्तेर.

उ० १५० वे. सोने द आऑसास ३ पो. १७ शि. १०॥ पे.
प्रमाण आहे. एक सोन्यारुप्याच्या तारांची बुटीदार जाळी, १८
पौंड वजनाची असून, तिची किंमत ६३७ पो. ७ शि अहि
परंतु हीत सोन्यारुप्यार्चे भमाण उलट ठेविलें असते, तर हिची
किंमत २५९ पों. 9 शि. झाळी असती. ह्याबरून ह्या जाळींत
सोनें व रुपं हीं कोणत्या प्रमाणांत आहेत तें सांगा. व रुप्याचा
द्र काय आहे ते सांगा

भे्थे मूळची जाळी ब उलट प्रमाणाची जाळी अशा दोन्ही
घेतल्या तर त्यांत सोनें व रुर्थे हीं प्रत्येकी अठरा अठरा पौंड
होऊन त्यांची किंमत ६३७ पो. ७ शि. -- २५९ पौ. १ शि.

इल, म्हणजे ८९६ पों. ८ शि. होईल. म्हणून

पों. सोने -- १८ पौ. र्वे><९६रपे. ८ रि

प्रमु १५ पो, सोने १८ > १२ (३ पो, १७ शि, १ पे)

१९६ अंकगणित. क.

-_८९१ पौ. १ शि.
झू. १८ पो. रु. ५५ पो. ७ शि.

*स.प्र.२
* १पों.रु. किंबा १२ओं रु. २ पे. १॥ शि.
:] १ औं. रु. ५ री. १॥पे. ह.प.उ.
आतां १८ पो. जाळीची किंमत - ६२७ पो. ७ शि.
ध्‌ १८ पों. जाळी रुप्याची
असती तर तिची किंमत २ ५५ पो. ७ शे.
व बाकी > ५८२ पों.

ह्या जाळींत कांहीं सोने असन त्याची किंमत रुप्याच्या कि-

मतीपेक्षां फाजील आहे. त्या फाजील किमतीची जितकी पठ

ही बाकी आहे तितकेच औंस सोनें ह्या जाळींत असले पा-
हिजे, म्हणून,

१ औं. सोन्याची किंमत > २ पौं. १७ शि. १०॥ पे.

ब १ औ. रुप्याची किंमत ५ शि. १॥पे,

1]

९, फाजील किंमत -३पो. १२शि. श९पे.
पटरपौं. __ १३९६८० पे.

-_ १६०ओ. सो.

डि ३ पौ.१२शि. ९पे. ८७३पे.
-. १३ पो. ९ ओं. सोनें.
१८ पौं. जाळी -(१३पो.४ ओं.) सो. ४ पों. ८ ओ. रु.
*. सो.व.!रु.व> १३पों. ४ ऑं. सो. ९ पों. ८ ऑ. रु.
- १६० औओं. सो. : ५६ ओं. रु.
- २०५७ हे इ. प्रमाण.
उ० १५ वे. एका १०० शेर मिश्रणांत ६० शेर दूध व ४०
शेर पाणी आहे. ह्यांत किती दूध मिळबार्वे म्हणजे त्यांत शेकडा
७५ भाग दूध होईल!
ह्या मिश्रणांत ४० शेर पाणी असून र्ते कायम राहणारे आहे.
इच्छिलेलें प्रमाण असे आहे काँ,
पाणी ! दूध - २५ $ ७५.
ष्र्‌ंतु 8५ ; ४७५ - ४०९३ १९९",

प्रभाणभाग भयवा सर्कतवांटणी. $९७.

ह्या ११० शेरांत ६० शेर दूध पूवीर्चे आहे, म्हणून त्यांत
नवीन ६० शेर दूध घालावें म्हणजे १६० शेर मिश्रण होऊन
त्यांत शेकडा ७५ भाग दूध हो$ल हें उच्तर

अभ्यासाकारेतां उदाहरणें. ज्ञ.
_ १. 1०६५ ह्या संख्येचे तीन भाग करा. असे कीं. ते
४१, ५, ७ ह्या प्रमाणांत येतील, तसेच आणखी तीन भाग करा.
असेकीं,ते ३, ये, ठे ह्या संख्यांच्या भमाणांत येतील

५. अ, ब, क, ह्या विवर्गानी सर्कवीने व्यापार आरंभेला.
त्यांत भत्येकाचे भांडवळ अनुक्रमाने १२८० रु., १७६० रु
आणि १९२० रु. ह्याभमाणें होते. पुढे त्या व्यापारांत त्यांस तीन
वर्षांना ७९१ रुपये नफा झाला, तो त्यांस कसा वांटून दयावा

४. १५२० रुपये ५ मनुष्यांस वांटून या. असे कीं, ते भाग
च) ४, चै, हे आणि उं ह्या प्रमाणांत येतीळ

४. ९६ कशी सोनें ४ तोळे घेऊनर्ते ९९ कशी ५ तोळे
सोन्यांत मिळविळं, त्या मिञ्राचा एक दागिना साडेचार तोळे
वजन आहे; तेव्हां त्यांत शुद्ध सोनें किंती आहे तें सांगा. *

५. एक तोफ २॥॥॥३१ वजनाची ओतावयाची आहे, तर
तिच्या मिश्र धातूंत तांबे व कथीळ किती घालावें ? तोफेच्या
धातूंत १०० भाग तांब्यास १9 भाग कथील असतें.

६. सुर्ती रुपयांत २७ भाग रुपें आणे ३ भाग तांबे असतें.
असें हटले तर एक रुपयांत शद्ध रुपें किती असेल ते सांगा.
रुपयाचे वजन साडे अकरा मासे आहे.

७. अ आणि ब ह्यांनीं सर्कवीनें व्यापार आरंभिला, त्या
व्यापारांत त्यांचीं भांडवळें ५: ४ ह्या प्रमाणांत होतीं. पुढे तींन
महिन्यांनी आपल्या भांडवळाचे अनुकमें जे आणि ३ त्यांनीं
त्यांतून काढून घेतले, आणि वर्षाच्या अंतीं पाहतात तों त्या
व्यापारांत त्यांस २२५ रुपये नफा झाला. तो त्यांनीं कसा बां-
टून ध्यावा ?

* शुद्ध सोने १०० कृ्षी मानलें आहे,

१६्ट अंकगणित.

<. ९१ कशी सोनें ८ तोळे आणि ९२ कशी सोनें र्‌ तोळे
हीं दोन्ही सोनी कस माहीत नाहीं अशा तिसर्‍या प्रकारच्या
६ बोळे सोन्यांत मिळविली, आणि त्या मित्र सोन्याचा कस ८८
झाला. तेव्हां सहा तोळे सोनें कोणते कसाचें होतें तें सांगा.

९. १४०> ह्या संख्येचे असे चार भागकरा कीं १, २, ३१, ४
ह्या संख्यांत जे प्रमाण आहे, ते प्रमाण त्या भागांत येईळ

१०. अ, ब, क; ह्यांनी सकतीनें व्यापार आरंभिला, तेव्हां
त्यांची भांडवळे ३, डे आणि डे ह्या प्रमाणांत होतीं; पुढे ४
महिन्यांनी अनें आपल्या दुव्याचा ३ त्यांतून काढून घेतळा,
आणि ९ महिन्यांत एकंदर २२० रुपये नफा मिळाला तोबवां-
टून घेऊन त्यांनीं व्यापार सोडळा. तेव्हां प्रथेकास नफा किती
आला ते सांगा.

३३. विळायरतेत बंदुकीच्या दारुंत ५५ भाग सोरा, 9० भाग
गंधक, आणि १५ भाग कोळसा, ह्याप्रमाणें आत्रेय ( जळणारे)
पदार्थ असतात, व फ्रान्स देशांतील दारूत ७७ भाग सोरा, ९
भाग गंधक, आणि ३५ भाग कोळसा, ह्याभमाणं आभेय अस-
तात. आतां दोन्ही देशांतील दारू अर्धा अर्धा मण वेऊन एकत्र
केळी, तर त्या मिअणांत सोरा, गंधक व कोळसा हे पदार्थ
किती किती होतील ?

३२. आठवड्यांतीळ रविवार खेरीज करून बाकीच्या दिव-
सांत अ ट्ररोज ९ तास काम करितो, आणि ब पहिले दोन
द्विस खेळतो, आणि बाकीच्या चार ठिवसांत दररोज काम ६!
नास, ८॥ तास, 9१२॥॥ तास आणि १२ तास ह्याप्रमाणें क-
रतो. असें एका महिन्यांत त्या उभयतांनी मिळून ११६॥ रुप-
यांचे काम केलें. तेव्हां प्रत्येकास काय मिळावे ते सांगा.

३३. मठास इळाख्यांतील मोहोरांचं सोने ९० कशी असने
वे एका शेरांत २४ मोहरा भरतात, तेव्हां ह्या १०० मोहोरांत
शुद्ध सोने किती असेल ?

३४, अ आणि ब ह्या उभयतांनी मेंढ्या चारण्याकारेतां एक
$रण एक वर्षाच्या बोलीन २७५ रुपयांस घेतले, त्यांत भारंभी

श

पंसाणधारा अथवा सकंतर्वांडणी, ३९९

झनें ८० वेढ्या घातल्या आणि वजे १०७० धावल्या, पुढे सहा
महिन्यांनी प्रत्येकानं आपापल्या अध्या मेंढ्या विकल्या, आणि
त्या कुरणांत कच्या ५० मेंढ्या घेतल्या, तेव्हां वर्षांचे अंती'
प्रत्येकाने काय यावें!

9१५. पाणी दोन वायूंच्या मिअणापासून होते, ब त्या मिश्र-
णांत ८८९ भाग भाक्सिजन आणि ११) भाग हैद्रोजन अस-
तो. तेव्हां एक घनफूट पाण्यांत म्हणजे १००० ऑंस पाण्यांत हे
दीन्ही वाथ किती किती अत्ततील !

१६. २००० रुपये अ, ब, क, ह्या तिघांस वांटून यावयाचे.
ते असे की, अळा बच्या दुप्पट, आणि कला, अ भागे ब
ह्यांच्या बेरजेच्या दुप्पठ. तेव्हां भव्येकास किती रुपये थेतीळ ?

३१७, ८०, ८५, ९० आणि ९५, ह्या चार कसांचे सोनें
अनुक्रमे १०, ४, २ आणि ४ तोळे घेऊन एकत्र केळे, तर तें
मिश्र सोनें कोणते कसाचें होईल ?

१८. वरील मिश्र सोनें शुद्ध होण्याकारेतां १७ ताळे राही-
पर्यंत जाळले, तर बाकीचे सोन्यास कस काय लागेळ; अथबा
जर जाळून बाकी राहिळेल्या सोन्याचा कस ९८ आला, तर
सोने किती जळून गेलें तें सांगा.

9९. एका विहिरींतीळ गाळ काढावयास भ,ब, क, ह्या
विधांस बोळाविळे, परंतु पांठ्या दोनच होत्या म्हणून पाहिल्याने
अ आणि ब कामास लागले. त्यांत अ एका घटकेंत ३७ पांद्या
गाळ काढी, आणि ब ९४० पांय्या काढी, ह्याप्रमाणे पांच घ-
टका काम केल्यावर पुढें ते प्रत्येक द्र घटकेस पांच पांट्या
गाळ कमी काढूं लागले. ह्याप्रमार्णे ५ घटका गेल्यावर अ थ-
कळा. तेव्हां क कामास ळागळा. तो एक घटकेत ३० पांट्या
काढी; ह्याभमाणें काम करून २२ घटकांत त्यांनीं सर्व गाळ
काढला. त्या मजुरींबद्दळ त्यांस ६॥। रुपये मिळाले, तेव्हां प्र-
त्येकानें काय घ्यावे तें सांगा.

२०. अ आणि ब ह्या उभयवांनीं पांचपांचशें रुपये धेऊन

४७९७ हवगणिहे व

सर्कतीर्ने व्यापार आरंमिळा. पुढें तीने महिने झाल्यावर अज
. आपल्या भांडबलांतून २०० रुपये काढून घेतळे, आणि बन
रु. २०० आपल्या भांडबलांत थातल, व उद पाणखी तीन महिने
गेल्यावर पुन्हां या चभमाणें केळे आणि बषाच्या अखेरीस हिशेनं
पाहतात तो व्यापारांत बूड येऊन ४०० रुपयाचा माळ शिलक
राहिला, तो त्यांस बांटून घेणें आहे, तर प्रत्यकास किती
येइल तेसांगा

२५. पौंड ५९३ .८. ६. ह्यांचे २३ : २'४५: ५६२ ह्या
प्रमाणांत बांटे करा

२. एकाची जिनगी ९७१ पौं. १२ शि. ६ पे. आहे. त्यानें

मत्युपज्ञांत अशी इच्छा दाखावेळा आहे का आपल्यामागे
ह्या जिनगीचा हे कळा यावा; 3 खळा यावा, डे गला यावा,
आणि 8 घला यावा. ही यांची इच्छा अमलात का. जाण-
तां येणार नाहीं ह स्पष्ट करा

२३, एका आरबापाशीं ७ घेडि होते. त्यान मृत्युपत्रात अशा
इच्छा दाखविली होती की, आपल्या जिननाचा निम्मे पाहे-
ल्या मुळाला, त्याची निम्मे दुसर्‍या मळाला, त्याचा [नम्म ति-
सर्‍्य, मळाला ह्या रीतीनें बिनकसर वांटणी तिवास करून
. द्यावी, तर प्रत्येकाच्या वांद्यास किंती किती घोड येतील !

२४, एक साव्हरीन क, ख, ग, या तिघांस २ पकारांनी वाटा
प्रथम कळा यालत्याचा उ खळा अधिक या, आणि खला याल
त्याचा 3 गळा अधिक दया. नवर कळा चाळ त्याचा > खला
अधिक या, आणि क, ख, ह्यांनायाठ त्याचे इ गला या

२५ तीळ, कर्डई व भुड्मूग ह्यांच्या तेळांनी भमरळळा भांडा
अनक्रमें ३६, ५४ व ७८ शेरांचीं आहेत. हा तिन्हा भाड्या-
तीळ तेळें एकत्र करून पुन्हां तीन भांड्यांत भरळा, तर भुई”
मगाच्या तेलाच्या भांड्यांत तिळाचे ब कडईरचे तेळ किती कित
शेर जाइल ?

२६.प, फ, ब, भ, ह्या चौघा पावीठारांनीं मिळून ९३८००

प्रमाणभाग अथवा सकंतवांटणी. १०६३

पोंडांचा व्यापार ४ महिने केल्याने त्यांना अनुक्रमें पौ. २६.११-८;
पा. ३७. ४. ४; पा. ५३. ३. ४; पो. ६३. १६; ह्याप्रमाणें नफा
झाला. ह्यावरून त्यांच्या पात्या केवढाल्या होत्या !

२७. ब आणि फ ह्यांनीं ५०० ब ३०० रुपये एकत्र
करून सर्कतीने व्यापार चाळ केला. चार महिन्यांनी बर्न
आपलें भांडवल दुप्पट केळे, आणि रचे ३५० रु. सर्कतीत घे-
तळ सहा महिन्यांचे अखेरीस फर्ने आपलें भांडबळ तिप्पट
केळे. आणि वर्षांचे अखेरीस्त ह्यांना ७५० रु. नफा झाला. तर
ह्याची बांटणी कसकशी होईल?

२८. क आणिख ह्यांनी ४ : ५ प्रमाणाची भांडवल घेऊन
भागीदारीचा व्यापार चाळू केळा. तीन माहेन्यांनीं त्यांनी आ-
पापल्या भांडबळाचे हे त्यांतून काढून घेतळे, वर्षाचे
अखेरीस त्यांना ४३६ पॉ. ९ शि. ६ पे. नफा झाला. हा इस-
मवार कसा बांटावा ?

१९. ३४ पों. १५ शि. १० पे. कर्जाबद्दल, कौन, शिलिंग ब
न्स ही नाणी ४: ७: १० ह्या प्रमाणांत दिलीं, तर प्रत्येक
प्रकाराची नाणीं किती किती होती ?

१५. अ आणि ब ह्यांनी २१ गिनींठा १ कुरण भाड्यानं
घेतळें. ह्या ऊुरणांत अनें १० घोडे १॥ महिना, ३० बेळ २
महिने, आणि १०० मंढ्या ३। महिने ठेविल्या; आणि बने
४० घोंडे २॥ महिने, ५० बेळ १। महिना, आणि ११५पर्मे
ढ्या ३ महिने ठोवेल्या. घोडा, बेळ व मेंढी ह्यांच्या एका दि-
बसांतल्या खादी ३: २५ ३१ ह्या प्रमाणांत असतात, तर त्यांनीं
किती किती पेसा यावा |

१. ७४५० रुपये १० पुरुष, ३२९ ख्रिमा आणि ९८ मळे
ह्यांत बांट्णे आहिव. ह्यांत पका पुहुषाइवका पैसा दोन ख्रि
यांस देर्णे आहे, व ३२ स्रिसांना ४८ मुळांच्या दुप्पट पैसा या.
बगाचा आहि, तर प्र्थेक खीळा काय मिळेल |

३१, २२ हंडेडवेट ) कार्टर ९ पोंड यांचे 4१। घनफूट : इथ
बैनयाड ह्या भमाणांत भाग करा

२०४ झंकगणित.

४३३. तीन अपर्णाकांची बेरीज ३ईडे आहे, आणि पहि
ल्याची २२ पट, दुसऱ्याची २३ पट आणि तिसर्‍्याचा २४ पट
ह्या संख्या समान थेत आहेत. ह्यावरून ते अपूर्णांक सांगा

३४. २२ ग्यालन ३ काटर 9॥ पैंट इतका प्रबाही पदार्थ
चार भांड्यांत वांटा. असा कीं, पहिल्यास दुसरा तसे ९५ १४
दुसऱ्यास तिसरा तसे २१ : २५ आणि विसऱ्यास चौथा तसे
२० : १२

३५. एक पोंड चहा, एक पोड काफी ब एक पोड साखर,
ह्यांस मिळन ५ शि. ८॥ पे. पडत आहेत. ७ पोंड चहाची
किंमत १६ पौंड काफीच्या इतकी आहे, आणि तीन पोंड काफी-
ळा ११ पोंड साखेर इतका पेसा पडत आहे, तर प्रत्येकाची
किंमत सांगा.

३६. अशा तीन महत्तम पूर्ण संख्या सांगा कीं त्यांची बेरीज
१ प्रयतापेक्षां कमी व्हावी, पाहिळी ब दुसरी ह्या संख्यांचे प्रमाण
५या. २फ़. ६ दु. $ ५ या. ३ क्रा.२॥ नेल हे असावे. आणि

३ का. १

दुसरी संख्या ही विसरांचे ह रका १८ पो. ह्यब्ररोंबर असावा

( २३१ ६इच >) नेळ. ४ नळ >) कार्टर. ४ क्वाटर> ३ याई. )

३७. पांच शहरांनी मिळून २०० शिपाई द्याबयाचे आहेत.
शहरांतील लोकसंख्या अनुक्रमें २८३००, २५७५०, १६४१२,
८४५४ आणि २१६४८ अशा आहेत. तर प्रत्येक शहराने
किती किती शिपाई द्यावे तें पर्ण विचारानें सांगा.

व्याज,
११४४५. दुसर्‍याच्या माळकीचं दभ्य परत करण्याच्या कबुला-
.यतीनें त्यापासून कोणी बापरण्याळा घेतो, तेव्हां त्या द्ब्याळा
षण किंबा कर्ज हणतात, त घेणाराठा कझणका' किंवा कर्जदार

डॉल प न

हणतात, आणि त दूणाराठळा धनका ]कवा सावकार क्षणतात

सरळव्याज, २०४

कर्ज घेतलेळें ठुब्य परत होईपर्यंतच्या त्याच्या उपयोगाबद्द
जी ठरावेळेली रक्कम कर्जदाराने सावकाराळा द्यावी असे ठरतें
तिळा व्याज ह्मणतात.

9३४४. ह्या कर्ज घेतलेल्या द्याला खुद्दळ ह्मणतात.

३8७. मुद्दल कर्जदाराच्या उपयोगांत राहिल्याचा जो बिचा-
रणीय काळ त्याच्या संख्येळा कालमानें किंवा सुदृती ह्मणतात.

१४६. युदलांतीळ द्रशेंकड्यास द्रमुद््तीस ( प्रत्येक काल-
मानास ) जें व्याज पडतें त्याळा व्याजाचा द्र हणतात.

१४७. द्रशेंकड्यास द्रमाहन्यास जें व्याज पडतें त्याळा
विशेषेकरून मिति ह्मण वात, तरी केव्हां केव्हां दरही ह्मणतात.

३४८. मुद्दल भाणि व्याज मिळून जी रक्कम होते तिळा रास
किंबा राशि हणतात.

98४९. व्याजाचे प्रकार सरळव्याज भाणि चक्रवाढव्याज
असे दोन आहेत.

सावकारापासून घेतलेल्या रकमेचे व्याज द्रसाळ अगर द्र-
मुदतीस देत गेलें हणजे आपळेकडे सावकाराचे मद्दलच देणें
राहते. परंतु मुदतीस व्याज दिळें नाहीं तर व्याजाची रक्कमही
मुदळांत भर पडून कर्ज फुगतें आणे आकारणीचे वेळीं मद्ला-
बरोबर त्याचे व्याजावरही व्याजाची आकारणी होते. अशा
भकारच्या व्याजास चक्रवाढव्याज ह्मणतात.

सरळव्याज. |

१५०. जे व्याज एकंद्र्‌ मुदतीपावेतों मुदळावरच आकारले

जातें, त्या मुद्तींवीळ प्रत्येक काठम नाच्या व्याजावर आकार-
ल जात नाहीं, त्याला सरळव्याज ह्मणतात.

व्याजाच्या प्रत्येक पक्षांत सुद्दळ, मुदती किंबा कालमार्न,

व्याजाचा दुर आणि व्याज ह्या चार गोष्टींचा संबंध असतो,

२०४ अंकगणित.

ह्या चोहोपेकीं कोणत्याही तीन गोष्टींपासून चवथी काढतां येते,
ह्मणून ह्या उदाहरणांचे मुख्य प्रकार चार होतात.
१५१. भकार १ ला.--मुददळ, सुदती, व दर, ह्यांपासून व्याज
किंवा राशि काढावयाचा. |
उदाहरण १ लें. दरसाल द्रशेंकडा ५ रुपये व्याज ह्या
दराने ७२५ रुपयांचे ३ वर्षाचं व्याज व राशि काय होईल !
ह्या उदाहरणार्चे रूप असे आहे कीं, १ वर्षास शंभर रुप”
यांस ५ रुपये व्याज, तर ३ वर्षास ७२५ रुपयांस किती ब्याज!
१ बर्ष का. : ३ वर्षे का. र
१०० रु. म. । ७२५ रु. म. |
ब्याजाची वाढ कालमानाच्या समप्रमाणांत व मुदलाच्याही
समप्रमाणांत व्हावयाची, ह्मणून दोन्ही प्रमाणे सम आहेत.
». काय व्या. > ५ रु. व्या, « बैठे >२९- १०८७५ रु.
- १०८रु. १२९आ.
ह पहिल उत्तर,
ब॒ राशि > ७२५ रु. (मुद्दळ)--१०८रु. १२आणे(व्याज),
-_ ८३३ रु. १२ आ. हे दुर्सर उचतर.
सूचना १ ली.--वरच्या वहुराशिकांतले प्रथम १ ळें भेराशिक
करून लंतर २ र अेराशिक करावें झणजे व्याज आकारण्याचा
१ छा समंजस क्रम दिसून येतो. जसा.--
क्रम १ ला.--दुर ब मदूत ह्यांचा गुणाकार करावा हणजे
१०० रुपयार्चे त्या मुद्तीर्चे व्याज येते. नंतर ते व्याज सुदलाने
गुणून १०५र्ने मागार्वे हणजे त्या मुद्ळार्चे त्या मुदृतीर्चे व्याज येर्ते,
झथवा प्रथम दुसरे भ्रेराशिक करून नंतर पहिळें जेराशिक क-
राब झणजे व्याज आकारण्याचा शरा समंजस क्रम दिसून ये-
लो, जसा. --
क्रम ९ रा.- दुर ब मुदल झांचा गुणाकार करूल तो शंमरार्ने
माषाषा हणजे त्या मुदुळार्चे १ काळमानाचे ब्याज येत,

"5 ५ रु. व्या. : काय व्या.

सरळव्याज. २२०९६

नंतर ते व्याज मुद्तीनीं गुणाबें ह्मणजे त्या मुद्ठारचे त्या मदतीचे
व्याजयेते.

सावकार ढाक बहुराशेक अगर नराशिक मांडीत नाहीत, वर दि
ढल्या कांणत्याहदी समंजस क्रमाने व्याजाची आकारणी कारेतात

उदाहरण २ २. ठ्रसाळ द्र शेंकडा २। रु. ब्याज पडते,
तर २१ २॥- चें २ वर्षाचे व्याज काय ?

६८%

२1) मुदत. २३ २॥-

२। ठर. १ २७५

ी २६-

*>) शंभरांचें २! ० विन
र लमोवर व्याज. १००) १३३"१५८६॥ (१३८०) हे उ.

उदाहरण ३ रॅ. ३२५ रुपयांचे व्याज ता. २३ डिसें-
बर सन १८८४ पासून ता. २६ माच सन १८८८ पावेर्तो
दोन्ही तारखा धरून किती येईल ? व्याजाचा ठर द्रसालळ दर-
शेकडा ४ रुपथे आहे.

ता, २२ दिसेंबर १८८४ पासून ता. २२ ठिसेंबर सन १८८७
पावेतो दोन्ही तारखा धरतां वर्ष ३ होतात. पुढील दिवस.

१८८७ दि. ९ ३२५"५ रु.
१८८८ जाने. ३१ ४ द्र.
केब. २९ १०० | १३०२ ९
मार्च २६
९
मर मुदलारचे ) वर्षाचे व्याज > १३'>ररु
न सुदलाचे १ दिवसाचं व्याज - बच्च
१९
मुदुलाचें ९५ दिवसांचे व्याज > जिळ का

२०६ भंकर्गाणित.
- -२४>3<र.
- ३३९ रुपये
आणि मुद्ळाचें ३ वर्षाचे व्याज > 1३१०२ रु. > ३.
न ३१९१०६ रु.
र. एकंद्र व्याज > ४२'४५ रु. - ४२ रु. ७ आ. २९
हे उचर
रीति.-मुद्दल, मुदती व द्र ह्यांचा गुणाकार एका मुद्वी-
च्या १०० ह्या मुदलानें भागावा, ह्मणजे व्याज येतें.

१५२. येथ मुठूल > म, मुदुती किंवा कामाने < क, दुर दू,
व्याज -व्य, भाणि राशे र हे सूचकवर्ण घेतले तर बरीळ रीति
सामान्य सारण्यांनी थोडक्यांत दाखवितां येतात. जशा.----

आाणि र, २ म-- >: १.० 274 ह १८. '**(२)

) ल्या सारणीवरून तीतील प्रत्येक वर्णांवरोबर किमती काढा-
व्या हणजे सरळव्याजाचे सर्व प्रकार दासबिळे जातात. जसे --

भाणि द व्यि ह ल्या न्या हा कतडी पळ तय. विक ( ५)

उदाहरण ४ थें. २४० पांड १२ शि. ६पे. ह्याचे द्रसाळ
इ्रर्शकडा ९॥ प्रमाणें 21 वर्षांचे व्याज काय?

सरळव्याज. २०७
सारणी (9) प्रमाणें विविधांत दर्शारशांत.
पों. शि. पे. फा. पो.
२४० १९ ६ ० स. २४०६२५
२॥ दू. र्‌े
- ४८१३ -५ ० ४८१"२५०
१२० ६ ३ १२०११२५
६०१ ११ ३ ६०११५६२५१५
९-जे क. ९-ड
५४१४ १ ३ ५४१४"०६२५
70१५० ७ ९ट 7१५०३१३९०६
१००)५२६३ १३ घडे १००)५२६३'६७१९ पो.
२० | >< २०
१२७१ शि. १२"७३४१८० शि.
१९ >< १२
ट“८१३ पे. ट'८१२५६० पे.
9 ><
२२५ फा. ३*२५०२४० फा.

हणून ५२ पो. १२ शि. ८ पे. हें उचर.

सुचना ९ री.- मुदतीचे जागीं महिंभे व द्िविस मोघम ( नाँ-
वा्वांचून ) द्लिळे भसळे तर एका मुदतीचे जागीं एका वषाचे

महिने १२ ब एका महिन्याचे दिवस ३० धरून त्या मागाप्रमाणे
उत्तर काढतात.

उदाहरण ५ व. ५१२ रु. १३ आ. ९ 'े ह्यांचे शॅ-

कडा ४४ रुपये द्रानें ३ वर्ष ७ महिने २१ दिवसांचे ब्याज
काय!

२०८ _ अंकगणित.

प्र. फ़. विविधांत. दूशांशांत.
रु. भा. पे. रु.
स १ 1: प्रे ]:। ५१२१८३१३३३
द्‌. ४८४ रु. | ४८३४ रु.
२०५१ ५ ४ । २०५१ ' ३११३
*“ |१ ४ १ ी
दु ३ २५६ ६ ८ दड २५६ ' ४१६६
द इ टे १3 ८ टडे। ६४१०४१
देखी यरे. ८... २९७१ * ८५४०
क. ३ बर्ष. ३ वर्षे.
७११५ ९ ० ७११५ ' ५६२०
दम. इ ११८५ १४ 9१० ६म. डे | ११८५" ९२७०८
१म. है) १९७ १० "३ १म.- | ३ १९७ ६५९५
१५दि.शे ९८ १३ स्ट. १५दि. ३. ९८ * ट८२७२
६दि.पद_३९ ८ पडर्चष ६दि. द| १३९' ५३०९
१००|८६'३७ ट्ट भ्चदे ९०० | ८६३७: ५०१६
१६ | १६
६०० ३ ७ आ. ६०० ०२५६ आ.

ह्मणून ८६ रु. ६ आ. ५ पे हे उत्तर
सूचना ४ री.-म॒द्‌त भाठवड्यांत दिली झसली तर एका मद
तीच्या जागी ५२ ञआाठबडेच घेऊन ५२०० मीं मागितात

उदाहरण ६ वे. ठरसाळ द्ररोकडा ४२ टक्केममाणें
३२०॥-॥॥। चें १७ आठवड्यांचे व्याज काढा. शा

१९०|॥|॥-॥॥ १० ०|४'७२०-
११] ७
१२८२१॥& २'ददपा,
१६०७८ र.
१४४४०-८- ३'५४ भा.
१७ >
५२ १ ३| ४५५०॥.1८ २.१६ पा.आ
| ४|__१८८८॥ ह्मणून ४॥4॥ हे उत्तर

तरळव्याज, १५९६

सचता ४ थी.--मुदृत दिवसांत दिळी असळी तर मुदुळ, म॒
दुतीचे द्विस व दुर हांच्या गुणाकाराळा 3५५७० शीं मागावे
अथबा मुदुलळ, मद्तीचे द्िविस व दुराची दुप्पट ह्यांच्या गुणाका-
राला ७३००० नीं मागाव.

येथे गुणाकार हा माज्य, ब ७३००० हा भाजक द्या दोहॉ-
च्याही १-- डे -- डो - टेड इतकाल्या पटी केल्या, तर त्याचा
मागाकार बद्‌लणार नाहीं च माजकाची पट १०००१० इतकी
येइईळ, जशी --
७०७७७७
चे | २३3३३
चचा | २४३३3३
॥॥॥॥७%७:
१०७७०१७
ह्या माजकाच्या पटात १० हा तिचा उन्टेळ्व बजा केढा,
तर बाकी 9००००० पट राहते. ह्यावरून येथे जी माजकाची
रुति केळी तीच भाज्याशी करून त्यांवरची पांच स्थळे मोजूल
दुशांशचिन्ह केळ तर ती संख्या इच्छिळा मागाकार दास-
बीळ. हणून, |

तृतीयांशादि रीति.--दुर्शंशासेरेज माज्यःख'ली त्यांचा तूती-
यांश मांडावा, त्याखाली त्यांचा दुशांग व त्याश'ली त्याचा दु-
शांश मांडावा, ह्या सर्वांच्या बरजेतून तिचा दुशसासत्रांय बजा क-
रावा, भआाणि त्या बाकोबरचीं ५ स्थळें मोजून दुशांगचिन्ह कराचे,
हणजे इच्छिळा भागाकार येईळ

उदाहरण ७ वे. ४१० रुपये १9 आणे ह्यांचे शेकडा ४३

द्रानें ता १९ मार्च १८६८ पाखून ता? ८ सत्तंबर १८७०
पावेतों मुद्वर्चि ब्याज काय होईल?

२१०७ __ अंकगणित.

येर्थे कर्ज घेतल्याची ता- २ वर्षांचे दिवस ७३०'
रीख व फेडण्याची तारीख मे माच ,, १२
ळून एक दिवस धरावयाचा | एाप्रेिळ ,, ४०

ह्मणून मूळची तारीख सोडून ' मे », 3३१
शेवटची मोजळी तर तारीख | जून ,» ३०
१९ मार्च १८७० पावेतो. २) सुळ ,, ३१
वर्षे होतात. आगस्ट ,, ३१

| सप्तंर ,, ८

सूचना ४ थी प्रमाणें
म्मुद्दळ रुपये ४२०६८७५

द्राची २ पट __९ अथवा तूर्वीयांशादि रीतीर्ने,
३७८६'१८७५ |१४१८९२७'३१२५
दिवस ९०३ ३११२१२९६४२
११1३५८५६२५ द| ११२३९६४
३१४०७५६८७५ वळ ११३१९६

७३,०००|१४१८९२७'३9१२५ ४६८३९२९

चिट (४६'८३४६ ४्६्ट बजा(उव्टेव्व)
६०९ ९६'८१४६१ रु.
रृ७र॑ ____
२१२७ १२१५२७६ आ.
४५३ भर
४'२४५१२ पे.

४६ रुपये १३ आणे ४े ह उत्तर.

| अभ्यासाकारेतां उदाहरणें. का.

* ( पुढील उदाहरणांपेकीं पहिलीं १० उदाहरणें एकमानगणित,
बैराशिक ब सारण्या ह्यांचा उपयोग करून निरनिराळ्या त-
ऱ्हांनीं सोडवा. )

१. ५०० रुपये मुद्ळाचें द्रसाळ दुरशेंकडा ५ रुपयेप्रमाणें
पांच वृर्षाचे व्याज किंती येईहळ ? |

सरळव्याज, .-& 8,

९, द्रसाळ दरशेकडा ९ रुपभेभ्रमार्णे २ वर्षांचे ३०५ रुप-
थांचे व्याज काय होईल |

३. मुद्दल पोंड ३७५, यास व्याज दुरसाळ द्रशेंकडा ४ पोंड
प्रमाणे वर्ष ३ झालीं, व्याज काय येईल ?

४. १9१३५ रुपयांची रास ४ वर्षानी किती होईल! व्याजाचा
दर ३ रुपयेभमाणं आहे. |

७, १२४५ रुपयांचे १५ वर्षाचे व्याज दरसाळ द्रशेकडा
४टे रुपयेप्रमाणे किती होईळ ? '

६. २००० पोंडांची रास १ टे वर्षांनीं किती
द्रसाळ द्रशेकडा ३२ पोडप्रमाणें आहे

७. द्रसाळ दरशेकडा ३३ रुपये व्याजाप्रमाणें डे वर्षांनीं
५७७ रुपयांची रास किती होइल?

८. ५॥ वर्षांनीं ३२२५॥ रुपयांचे व्याज दरसाळ दरशेकडा
५॥ रुपयेभमाणे किती होइल ?

९. ५०० पोंड १३ शि. ४पे. ह्यांचे २डे वर्षांचे रडे पोंडप्र-
मार्णे व्याज किती होईल ?

१०. १५० रुपये मुद्लारचे द्रसाळ टरशैकडा ४ रुपयेप्रमाणें
३३% वर्षांचे व्याज काय यावें

सूचना--मद्तींत दर्षे, महिने व दिवस हे असळे तर त्यांस
व्यवहारी ञपूर्णाकांत बर्षांचे रूप देऊ वर सांगितल्याप्रमाणे उत्तर
क॒]ढाचे. अथवा वर्षे, महिने ब द्विस ह्यांचे ञ्याज निराभेराळे क-
रून मग त्यांची बेरीज घ्यावा.

११. दरसाळ दरशेकडा ९४ रुपयेप्रमाणें ५०० रुपयांर्चे
व्याज, सन १८५१ चे माच महिन्याचे 3 ळे तारखेपासून
१८५३ तीळ जानेवारीच्या ९ घे तारखेपावेतो करून एकंदर
रास काय होईल ती सांगा.

१९. मेच्या ५ वेतारखेपासून २६ आक्टोबरपावेतों, द्रसाळ
द्रशेंकडा ३०० प्रमाणें ७५०० रुपयांची रास काय होइल?

१६. रु. ११५८॥|७ ह्याची, सन १८४० च्या मार्च माहेन्याचे

७७ (र

होइल! ब्याज

११९. भंकगणिक्ष,

१६ वे तारसेपासून १८४२ च्या आक्टोबर महिन्याचे ३० तार-
खेपर्यत रास, शेकडा २॥ रुपयेप्रमाणें व्याज केल्याने किती होईल !

१9४. मुद्दल रुपये २५४७॥-, व्याजाचा द्र २॥॥>, चार वर्षे
आणि २२५ दिवस झाले, व्याज किती होईल ?

१५. ३ वर्षे ११० दिवसांचे व्याज २२५॥:- रुपयांचे ठ्र-
साल द्रशेकडा १३००॥ प्रमाणं किंती ते सांगा.

१६. पौं. ३३. १३. ४ चें १५ वर्षांचे व्याज दरसाल दरशें-
कडा ४८ प्रमाणे काय येईल ?-

9७. ६५४९१॥ रुपयांचे ४॥ वर्षाचे द्रसाळ टरशेकडा ४॥
रुपयेप्रमाणें व्याज काय होईल?

१८. पों. १४५० १२ शि. ७ पेन्सचें ८1 वर्षांचे ४४ दुरानें
व्याज काय?

३९. ४५७ रु. १२ आण्यांचें १॥ वर्षांचे २॥। टरानें
व्याज सांगा. .

२०. रु. ९६४९८ चें ४॥॥ दराने १ वर्ष २१९ दिवसांचे
व्याज काढा. |

२३. पों. ३१७. १०. २डे चें ३६ दरानें ३ वर्षे ७२ दिवसां-
चें व्याज काय आकारेल !

९१. पो. २७. १६. ९ चें द्रसाळ दुरशेंकडा पों. ३. १२. बै
प्रमाणें ४ वर्षे ७ माहेन्यांचें व्याज आकारा.

२४. १००० ऑिनींचे टे दराने 3 वर्ष ५ महिन्यांचे
व्याज काढा.

२४. रु. ४६०१॥॥ चें ४॥। दराने ३ बर्षे ८॥। महिन्यांचे
व्याज काढा.

८. रु ५५०७८५८४ चं ४०८१२ दरानें २ वर्षे ९ महिने
२५ दिवसांचे व्याज काढा.

२६ रु. २६६६7०१००८ चें ३०८ दराने १९ आठवड्यांचे
व्याज सांगा. |

२७. पौं, ९८७. ३१५. ट्रे चें पौ. ४, १३. ४ द्रानें ३७
आाठबल्यांचें व्याज काय!

सरळव्याज. ११३

९८. रु. २२८५॥७॥ चें ९॥ दराने १ वर्ष २३ आठवड्यां-
व्याज काय?

१९. पो. ११०८. १३१. ९ चे एट दरानें १९१ दिवसांचे
व्याज काढा

३०. रु. १८४१॥० चे ५॥ ठ्राने तारीख १७ ज़ुलईपासून
तारीख ५ _डिसंब्ररपावेता व्याज काढा.

३१. पोंड ८५३. ०. १० चें ३टे द्रानें १८ बी जूनपासून
२५ वी संबरपावेतो व्याज काढा.

३२. रु. २०५७ चें ९ट्े द्रानें चेत्र शु. ६ पासून पौष शु. ६
पावेतो व्याज काढा. |

४२. पो. १२५२. ८. ५ चें टे दराने तारीख १६ जानेवारी-
पासून तारीख २३ मार्च ( लीप वर्षाचा ) पावेतो व्याज काढा.

३४. रु. १६४, १५. ११ चें ५टे दराने श्रावण शु. ५ शके
१८१८ पासून भा. शु. १२ शके १८१९ पावेतो ब्याज काढा.

३९७. पो. १३२७. ३. ८ चें ५े दराने तारील १८ आक्टोबर
१८६९ पासून तारीख २७ मे १८७३ पावेतो व्याज आकारा.

१५६१. प्रकार २ रा.-मुद्त, व्याजाचा द्र ब व्याज ह्यांपा-
' सून महल काढ्ण्याचा. रि
उ० ८ वें. द्रसाळ द्रशेंकढा ६। रुपयेप्रमाणे ४॥ वर्षांत
२७० रुपये व्याज येण्याला मुद्दल केवढे असावें?
येथे ६। रुपये ६'२५रुपये,व ४॥ वर्षे -४"५ वर्षे, ह्या किमती
घेऊन वरीळ उदाहरण बहुराशिकाचे नमुन्यांत मांडिले. जसेंः--
स. ६२५ रु. व्या. : २७० |
भे धं वप रु. व्या. . गा च्य | १०० रु.म.$ उ. म.
येथे ६२५ रुपये व्याज १ बर्षास येण्याला 9०० रुपये
मुद्दळ लागतें, तर २७० रुपये व्याज 9 वर्षांत येण्याला मुद्दल
जास्त पाहिजे. हान हं प्रमाण सम आहे.
दुसरें, १) वर्षास ६२५ रुपये व्याज येण्याळा 4०० मुद्दल
लागतें, तर ४"५ वर्षास ६'२५ व्याज येण्याला मुद्दळ कमी फ-
रेळ, हाणून हें भमाण व्यस्त आहे

२७४ अॅकॅगणितं.

मुदळाचा बदूळ व्याजाशीं सम प्रमाणांत व कालाशीं व्यस्त
प्रमाणांत होतो, ह्मणून दुसऱ्या प्रमाणाची पदें बदळून बहुरा-
शिक मांडिले पाहिजे. जसेंः-

६'२५रु व्या. : २७० रु. व्या.

४"५ वर्षे > १ वर्ष

"“, उ. > देय क्य ९६० रुपये हे उत्तर.

बरीळ गुणकभाजक हे सारणी (3) मध्यें किमती ठेविल्याभ्रमार्णेच
झाहेत ह्यावरून वरच्या उदाहरणाच्या किमती सा० (3) मर्ध्ये
मांडून ईं उत्तर बिघेळ हे उघड आाहे. |

सूचना ५ वी.--ह्या प्रश्नांत दिलेल्या मुदृतीच इच्छिलले मु-
दुलारचे व्याज न देतां राशि दिळा असला तर त्यांतील व्याज हा
राशि अज्ञात राइतो. म्हणून मुद्धळ बहुराशिकार्ने किंवा सारणीने का-
ढितां येत नाहीं. ते प्रमाणभागांच्या झाधारानें कःढार्बे लागत.

उदाहरण ९वे. दरसाल द्रशेंकडा ६ रुपये व्याजाच्या दराने
७ वर्षात ८१२॥ रु० राशी येण्याला मुद्दल केवढें पाहिज !

६ रु. द्रानें 1०० रुपयांचे ५ वर्षांचे व्याज ३९० रु. होर्ते.
ह्यावरून 1२० रुपये राशींत १०० रु. मु. ब ३० रु. व्याज आहे.
तेव्हां ८१२॥ रुपये ह्या राशींत मुद्दळ ब व्याज हीं ह्याच प्रमा-
णांत असलीं पाहिजेत. ह्मणून त्रेराशिकाने-

१३० रु. रा. : ८१२७५ रु. रा.::9१००मु.:क्षसु.

,/,क्षर १००"रु. मु. वेव - टे” रु. ६२५ रु.

ह उत्तर.

१५४. प्रकार ३ रा.-मुद्दल, व्याजाचा द्र व व्याज ह्यांपा-
श्वून मुदत काढण्याचा.

उदाहरण १० वें. दरसाल द्रशेंकडा ५ रुपयेप्रमाणें १३६०
रु. मुदलाचा राशि १८०२ रु. होण्याला मुदत केवढी पाहिजे !

१८०२- १३६० > ४४२ रुपये व्याज येतें. येथे 9००
हुपयांचें १ वर्षाचे ५ रुपये व्याज येतें, तर १२६० रुपयांचे कि-
ती वर्षांचे व्याज ९४२ रुपये येईल ! हा भक्ष आहे. ह्यांत वर्षेही
एकमेड्या पटी दाखविणारी आहेत, हाणून बैराशीक,--

- १०० रु. मु. ! उ. मु.

सरळव्योज. २१९३

रु. व. रु. व
१००>११५ ११६०*क्षरस ५रु. व्या. ४४२ रु. व्या
,,.प्रननि.१प. ५>% १२६० क्ष-३3०० > ४४२

१ वरु 2
वकर, >. त्व

ब दो कल्ला त रल
$ ल

हे उत्तर.

हे उदाहरण बहुराणिकांत मांडून व उ. ६ येथीळ नमुन्या-
. प्रमार्णे समव्यस्त पाहून सारणी (3 ) मर्ध्ये किमती ठेवूनही
सोडवितां येईल
उदाहरण १५ वे. दरसाळ दुरशेंकडा ८ रु. व्याजाप्रमार्णे
मुदळाच्या तिप्पट राशि होण्याला मुदत केवढी लागेल !
शंभर रुपये मुद्लाचें २०० रुपये व्याज येण्याला जेवढा
काळ लागेल, तेवढाच काळ कोणत्याही मद्लाचें व्याज त्या-
च्या दुप्पट येण्याला लागेळ. ह्मणून जैराशिकाप्रमार्णे. --
८ रु. व्या. : २०० रु. व्या. १ व. : क्ष.
क्ष-१ व > >£* > २५ वर्षे हे उत्तर.
१५५. प्रकार ४ था.-ामुद्दळ, मुदत, व्याज ह्यांपाखून व्या"
जाचा दर काढावयाचा |
उदाहरण १२ वें. ५२० पौंड मुदळाची ९ वर्षांत ७५४ पौंड
रास होण्याला व्याजाचा द्र केवढा ठेवावा !
व्याज > ७५४ पोंड - ५२० पो. - २३४ पो. येते. सारणी
(७५) मध्ये किमती ठेविल्यारने.-7

१०० व्या. _ १.०१ > अळेटे पैं
1“-_-'-“-:-अऱ्य$ ५ पौ. हें उत्तर,
म.,क >2.६ ते

अथबा एकमान गणितानं.--
५२० पो. चें ९ वर्षांचे व्याज - २३४ पों
वर ५२० पो. चें १ बषर्चि व्याज २३४पो २६
१ ») १0% 9 टोपे कक पों
७», १९७» १४% ४ "देई पौ-५पों

११६ अंवंगणित॑.

उदाहरण १४ वे. १२२ वर्षांत दाम दुप्पट होण्याला व्याजा>
चा दूर काय पाहिज ?
मुद्दल १०० रुपये हाटलें तर त्याचें व्याज) ०० व्हावयाचे. ह्णन-
१०० रु. चें ई' वषाचे व्याज > १०० रु
तर १०० रु. चें ) वर्षाचे ,) 2"स््ूभ्स्टरहेउ.

अभ्यासाकारतां उदाहरण. खा

पुढीळ उदाहरणें सोडविण्यांव एकमान गणित, प्रमाणगाणित
( त्रेराशिक किंबा बहुराशिक ) आणि सारण्या ह्यांचा उपयोग
सोईस पडेल तसा करावा

१. २३ वर्षांत १०२॥ रुपयांचे ५२॥ व्याज होण्यास ब्याजा-
चा दुर काय लावावा

१. दरसाल द्रशेकडा ६. रुपये प्रमाणें एका बर्षांत रास
४५ होण्यास मद्दळ काय असावें !

३. ४९८ रु. १२ आणे ह्यांचे व्याज १०॥ रुपये होण्यास
मुद्त किती असावी ! व्याजाचा दर वरच्या प्रमाणेच आहे.

४. १४६ ठिवसांत २०० रुपयांचे व्याज ४॥। रुपये होण्यास
व्याजाचा द्र काय असावा.

५. द्रसाल दूरशेंकडा ५॥ रुपये व्याजाने ७१२॥- मुदलाचं
सव्याज रु. १७०९ होण्यास किती वर्षे लागतील?

६. द्रसाल दुरशकडा ४३ रुपये ब्याजाप्रमाणे ४९ रुपय
ब्याज दूरसाल उत्पन्न होण्यास मद्दळह काय असाव !

७, ४१२७ रुपयांचे व्याज एका वर्षात ९२॥& होण्यास ब्या-
जाचा दूर काय असावा?

८. मुद्दल किती रुपये असलें हणजे २ वर्षे ) महिन्यांत, ५दै रु.
व्याजाच्या द्राने १२१ रु. १३ भाणे ४ पे व्याज उत्पन होईल !

९. व्याजाचा द्र कोणता लावावा ह्मणजे २२०॥ मुदूलाचे
एक बर्षात सव्याज रु. २४० होतील !

१०, ४१९ रुपये मदलाचे सव्याज ४८३॥ रुपये, द्रताठ
दुररोंकडा ४५% प्रमाणें होण्यास मुदूव किती भसावी

सरळ व्याज, __ ३१७

११. २ वर्षे ७३ दिवसांत द्रसाळ दरशेकडा ६३ रुपये प्रं-
माणे १०८- व्याज होण्यास किती रुपबे मद्दळ असावें :

१२. शेकडा ४॥॥ रुपयेप्रमाणे ८३१२॥.॥
७७१॥!७॥* व्याज होण्यास मदत किती असावी!

केवढ्या मदलाचा राशी --

१३. ५ वर्षांत १। च्या द्रानं ७५८२ पोंड हा$इल !

१४. १ वर्षांत इटे ठरानें २२५३ रुपये होईल !

१५. १५॥ वर्षीत २1 ठरानें रु ८४३६॥- होईल >

केवढ्या मर्लाचे -

9६. पोड ३६ व्याज २३ बर्षीत ३2 दराने होइल !

9७. रुपये २१९०६ व्याज १२ वर्षात ४॥| द्रानें होईल !

१८. रुपये १२७॥॥ व्याज '॥. वषात ३॥। दराने होईल!

केवढे मडळाचा राशि-

१९. रु. १२५७७५० इतका शेवर्षे ७ महिन्यांत ४॥ दराने हो$ल?

९०. रु. ७२५६॥ इतका २ वर्षे ९ महिने १८ ठिवसांत २॥
दराने होईल ९

१५. ३३ ठराने १ वर्ष ९ महिने २४ दिवसांत रु.
७७८८५८७ व्याज येण्याला मृद्दल केवढे पाहिजे !

केवढ्या मदळाचा राशि-

२२. २४० दिवसांत £टे दराने पो. २२६. १३. ४ होईल?

१३. १६ जूनपासून ७ नवंबरपावेतो ५॥ दराने रु. ५८२ होईल?

व्याजाचा दूर काय असला तर---

१४. पों. १७०. ६. ३ मुदळाचा राशि ३ वर्षात १९० पोंड
१५ शि. होईल !

२१५. रु. ३३३४५५७ मुद्लळांचा राशि ४॥ वर्षात रक्कम
३८२०१८४ होईल! |

१६. रु. २२९८ चें व्याज रु. २२६॥ होण्याला रवर्षे १५
महिने लागतील !

१७, रु. ७५०६ चें व्याज ₹ु. १५८७ होण्याला ५ वर्षे
७ म. २९० दि. लागतील !

भभ दू

व जी

मढलाच

र्ट अंकगणित.

२८. ६ वर्षात मुदठाच्या दे व्याज भाकारण्याला व्याजींचां
द्र काय असावा !

२९. १६ वर्षे ८ महिन्यांत मुदलाचें डे व्याज आलें आहे.
ह्या व्याजाचा दर सांगा. |

३०. ७४२ पौ. १० शिलिंगांचे व्याज ८७ दिवसांनी ७ पो.
१९ शि. ६पे, आकारठळें आहे. ह्या आकारणींत व्याजाचा
ठर काय घेतला !

३9. ३४० पैं. १२ शि. ६ पेन्सांचा राशि दरसाल दरशेंकडा
४ दराने ३८१ पौ. १० शि. होण्याला मुदत केवढी पाहिजे ।

३२. २३ द्रानें १००० गिनींचे व्याज १०२ पों. ९ शि.
४३ पे. येण्याळा किती वर्षे, किती महिने मुदत लागेल !

३३. ३॥। दरानें २२५१ रु. १२ आ. ह्यांची रास कवबढर्‍या
मुदतीर्ने २७२८ रु. ८ आ. होईल!

३४. ७३ द्रानें मुदलाचे १॥ पट राशि होण्याळा मुदत के-
बढी ळागेल !

३५७. १८७० ची 3 ली जानेवारी ह्या दिवशीं एका गृह”
स्थाने ४८३५ पौं., ३३ द्रानें कर्ज वेतळे आहेत. ही रकम
व्याज, मुद्दल मिळून ५००० पों. होईळ त्या दिवशी परत क-
रण्याची कवळायत आहे; तर ती मुदत कधी भरेल !

३६. एका मुदळापारून दरसाल दरशेंकडा २९ > ठक्यांच्या
सरळ वाढीने रु. ५०६७॥- होण्यास 9० बर्ष लागलीं आहेत,
तर त्यापासून रु. ७०३८1॥ रारी होण्यास किती वर्ष लागतील!

३७, एकाने दुसर्‍याला द्रसाळ दरशेकडा ३ टकयांच्या द्रा
काहीं रक्कम कर्ज दिली, तिचे त्याला ७२ दिवसांनीं २९२ पॉ.
१२ शि. ३ पेन्स मिळाले. ह्यावरून रकम केवढी होती!

३८. वर्षाचे आरंभीं २२७० रु. कांहीं दराने कर्जी दिले आ-
हेत. तेथन ९ महिन्यांनी ९००० रु. पूर्वींच्या दुप्पट द्रास कर्जी
विळे आहेत. वर्षाचे अंवी ह्या दोन्ही रकमांचे ब्याज १३१॥। रु.
आकारत आहे. तर पहिल्या रकमेचा दुर काय आहे!

३५, ९ दकमांच्या दराने केवढ्या रकमेचे व्याज दररोज

प्रक्षसॅमुदांच, १५९

9 भणा होईळ ! आणि ३॥ टकक्‍्यांच्या दराने केवढ्या रकमेचे
व्याज दररोज १) रुपया होईल?

४०. ५८१२५ रुपयांचं ३ वर्षाचे व्याज रु. ८७१॥> होतें,
तर रु. २९०६२॥ चें १॥ वर्षांचे व्याज काय़ होईल ? व व्या-
जाचा ठ्र काय असेळ ! |

४१. सरकारी खजिन्यांत भरणे असलेल्या ३५८७ पो. १५
शिलिंगांच्या बिळांचें ४८ दिवसांचे ब्याज दररोज द्रशीकडा
१३ पे. प्रमार्णे कास होईल? तर्सेच ह्या द्रानें १८८८ व १८९५
सालीं व्याजाचा दर दरसाल द्रशेंकडा काय पडेल

४९) केवढ्या मुदळाचा राशे ३३ दराने व १० वर्षांनी पो.
४२५. १९. ४३ होईळ ?! आणि हा राशि आजपास्रून केवढ्या
मुद्तीने पों. ४५३. ११. ७ होईल ?

४४. दरसाल ठद्रशेंकडा ३३ द्रानें २ वर्षात २७५ रुपयांचे
जितके व्याज येईळ तितर्कच व्याज ३३ वर्षांत १८० रुपयांचे
येण्यास दरसाळ द्रशेकडा व्याजाचा द्र काय असावा ?

४४. १६० रुपये मुदळारचें दरसाळ द्रशेंकडा ५ दराने ३६
रुपये व्याज येण्यास जितकी मुदत लागेल, त्या मुदतीच्या प्‌
मुदतीत सदरहू व्याजाच्या सवापट व्याज द्रसाळ दरशेंकडा ९
द्रानें येण्यास मुद्दळ किवी पाहिज !

/४५. ४ वर्षात २३६ रुपयांची २७६ रुपये रास ज्या द्रानॅ
येईल त्याच दराने २२० रुपयांचे २० रु. व्याज येण्यास ५॥६/0-
इळ- किती !

प्रश्नससुदाय',

3. एक गृहस्थ कांही अंतरापर्यंत चाळत जाऊन तेथून

घोड्यावर बसून परत आला. त्यास निघालेल्या वेळापासून

परत येण्यास ३॥ तास लागले. तो जर पूर्वीपासून घोड्यावर

नेसून जाऊन परत येता तर त्याळा २॥ तासांत परत थेतां आठे

असतें. ह्यावरून तो पायांनी चाळत जाऊन तसाच परत येव
तर त्यास किती बेळ ठागता !

२९५ झंकंगाणित.

२. १८०५ हसं अतिसंक्षेपरूप या; व ) पौंड १५ शिलिंग
६ पेन्स ह्यांस अरणाकांव गिनीच रूप या; अध्या गिनीचे 5२
ह्याची किंमत काढा; आणि डे; हवे चेच १७ व३- रेज
ह्यांची बेरोज करा

१३. माझ्याजवळ कमीत कमी किती गोट्या असल्या ह्मण-
जे त्यांचे मळा बरोबर ४, ५, १२, किंबा १८ असे बांटे क-
रितां येवीळ !

1४, मीं आपला ३०५ रुपयांचा पदार्थ दुसर्‍यास तीन बर्षे-
पर्यंत बापरावपास दिला; तर त्यार्ने त्याच्या मोबदला आपला
२०० रुपयांचा पदार्थ मळा किती दिवस वापराबयास बावा !

७. एका बार्गित कांहीं झाडे होतीं, झाडांच्या संख्येच्या
अडीचपट प्रत्येक झाडावर फळें आठीं आणणि सर्व फळांची बे-
रीज १३५४२९० झाली. तर झार्डे किती होतीं?

६. एका शोतांत एके वर्षी १५० खंडी गडू काळा आणितो
७८ रुपये खंदीप्रमाणें विकला; दुसर्‍या व! गव्हांचा द्र उतरून

३६ रुपयांनी खंडी झाला, परंतु त्या वर्षी पीक चांगळ॑ आल्या-

मुळे त्या शेताचे उत्पत्न मागल्या वषाइतकेच झालें. तेव्हां त्या
वर्षी गठ्ठे किती झाला तें सांगा.

७, ३ शेर चहाची किंमत ४ शेर काफीच्या किमतीबरोबर
आहे, आणि ६ शेर काफीची किंमत २० शेर साखेरेच्या
किमतीबरोबर आहे, तेव्हां ९ शेर चहाबद्दळ किती साखर
येईल ते सांगा.

एक जमीन ५८५४ बिघे, ९ पांड, १५॥ चो. काठ्या
आहे, दुसरी २९ बिघे, ९३॥ चौ. काठ्या आहे, आणि तिसरी
५४॥ बिघे आहे. त्यांतून खडकाळ जमीन ११ बि रेटे पांड
धजा करून बाकीच्या जमिनीचे सारखे ६० भाग करणे आहेत,
तर एकेका भागांत किती जमीन येईल ?

एका गृहस्थास ४ मुलगे होते. पाहेल्यास त्याच्या इ-
दिदीचा 3, दुसऱ्यास दे, विसर्‍यास पे भाणि चबथ्यास दवे मिळा-

प्रश्नससुदाय, के.

ला. तेव्हां पहिल्यापेक्षा तिसऱ्यास ३६ रु. कमी मिळाले. तर
एकंद्र इटेट किंती ! व प्रत्येकास काय मिळाले ?

१०. १७ रु. ६ आ. यांचे 5, ४॥ रु. चे '५२७, आणि
१५ आण्यांचे '१२५, यांची बेरीज करून तिळा रुपयाचं
दर्शांशरूप द्या

११, सेंटिग्रेड झणून एका पकारचे उष्णतामापक यंत्र आहे
त्यांत पारा ० अंशावर असतो तेव्हां पाणी थिजर्वे, व 9००
अंशांवर असवो तेव्हां पाण्यास कढ येतो; व्सेच फरिनहीट
ह्मणून दुसर्‍या एका प्रकारचें उष्णवामापक यंत्र आहे, त्यांत
पारा ३२ अंशांवर असतो तेव्हां पाणी थिजतें व २१२ अंशांवर
असतो तेव्हां पाण्यास कढ येतो; तेव्हां फरिनहीटच्या ६८ अं-
शांवर पारा असेल तेव्हां सटिग्रेडचे किती अंश होतील !

/६२. अडीच रुपयांनी मण ह्या भावाने दूध १५ मण घेतलें,

त्यांत पाणी मिसळून ते. मित्र २ रुपयांनी मण विकार्वया चे.

आहे, तर पाणी किंती मिसळावे ते सांगा
१३. रुपयाचे ३ ह्यांची पूर्णाकांत किंमत काढा; १२ आणे
ह्यांस रुपयाचे अपूर्णाकरूप द्या; आणि १ दिवस ६
घटका ह्यांच्या कितव्या अंशाबरोबर १4 घटका ७३ पळे आहेव
व॑ सांगा.
डं ह्यांस भागजाति अपू-
30 णीकाचें रूपया
२४५५. अ १० दिवसांत जें काम करतो तेंच काम ब १1३ दि
वसांत करतो, वर वे काम दोवे मिळून करूं छागल्यास किती
दिवसांत करतील !

५६. घोडा, गाडी ब सामान या सर्वांना मिळून ४५० रुपये
पडतात. घोड्याच्या ई किंमत गाडीला व साडांच्या दव (मत्‌
सामानाळा पडते. तर प्रत्येकाची किंमत काय

३. ररैसटेज 9 १ क ग” वृष 7 १४४६३३१; य्‌
अ ववे $ > दज चे ऐटे चे ३३; आणि ६२१९५ - २; ह्या स”
बास अतिसंक्षेपरूपे या,

१३
-

३३. फअंकगणिब,

- १८. भू, ब, क, ह्या तिघांनी मिळून एक कुरण ६०३
रुपयांस घेतले, त्यांत अनं ५ हशी ४॥ महिने चारल्या, बने
८ हशी ५ महिने चारल्या, आणि कर्ने ९ हशी ६॥ महिने
पयारल्य, तेव्हां प्रत्येकाने किती पेसा द्यावा तें सांगा

१९. काहीएक काम अब ३ दिवसांत, अक ४ दिवसांत
आणणि बक ६ दिवसांत करितात. सर्व कामाची मजुरी ९ शि.
आहे. तर प्रत्येकाची रोजची मजुरी किती?

२०. ६० रुपये २ आणे ६पेहे चोवांस २, ३, ३, ३, ह्या
प्रमाणांत बांटून द्या.

२9. १०३७ह्या संख्येचे असे दोन भाग करा कीं त्याचें
गुणोत्तर ७६२५ आणि ५'३७५ ह्या दोन संख्यांची बेरीज
आणि वजाबाकी ह्यांच्या गुणोत्तगबरोषर होईळ.

१९. ७०० आणि ५०० अशा दोन रकमा एकाच वेळी ठर-
साल द्ररीकडा अनुक्रमें ३2 व ५ व्याजाने कजीऊ काढल्या
व कांहीं दिवसांनीं दोहोंची मिळून १२०९३० रुपये रास आणू-
न दिली, तर मुदत किती?

२३. एका होदास पाणी येण्याचे दोन व पाणी जाण्याचा
एक असे तान नळ होते, त्यांत पाणी येणारे नळांपेकी' एकार्ने
तो होद्‌ ४० मिनिटांत भरतो, व दुसऱ्यानें ५० मिनिटांत भरतो
आणि पाणी जाण्याच्या नळानें २५ मिनिटांत [रिकामा होतो
आतां हे तिन्ही नळ एकदम सोडले तर तो होद भरावभास
किती वेळ लागेल ?

२४. अशी एक संख्या आहे कींजीउ चे टू चा १३
ह्यांनी भागिळी असतां भागाकार १ येतो, तर त्या संख्येचा
वर्ग काय होईळ ?;__

१७ एका गृहस्थाने एका व्यापाऱ्यापासून १२५ रुप-
यांच्या ७५ शेळ्या विकत घेतल्या, व ती रक्कम त्यास एका
वर्षािअंती यावयाची असा ठराव केळा. नंतर लागल्याच त्या
शेळ्या त्यान दुसर्‍यास दूर शेळीस . २। रुपयेममार्णे विकल्या
तव्हा हया व्यापारात पाहल्या खरदा करणारान किती तफो

प्रश्नससुदाय, श्श्डॅ

मिळविला ! हिशेब करितांना व्याज दुरशेंकडा दरसाळ ५
रुपये धरावं.

२६. १५ हात ळांच आणि ४ हात रुंद असा चर ६ मनु-
र्ये द्रोज १ २ तास काम करून ३ दिवसांत खणतात, तर २०
हात लांब आणि ८ हात रुदळ्‌ असा चर ८ मनुष्ये द्रोज ८
त'सभ्रमार्णे काम करून किती दिवसांत खणतीठ?

२७. एकाने दूर बेळांस २० व द्र गाईस १५ यापमाणे ८०
जनावर १३६० रुपयांस विकळीं. तर बेळ किती विकले व गाई
किती विकल्या?

२८. वजनी 9 ३ मण ७॥ शेर ह्यांस दशांशांत खंडीर्चे रूप
दया; १) आणा ५द पे हांचे छु ह्यांस अपूर्णांकांत रुपयांचे रूप
द्या; आणि १००३) ह्यांस ३९०६२५ ह्यांनी, १००१ ह्यांस
“०००३२९०६२५ ह्यांनी, व १०'०१ ह्यांस १९०'६२५
ह्यांनी भागा. |

२९. सूर्य ३६५ दिवस ५ अवर ४८ मिनिटें इतक्या वेळांत
३६० अश चालतो, तर तो एका दिवसांत किवी कळा$
चाळेल !

३०. १० पुरुष, १३ बायका आणि २७५ मुलें ह्यांस १५ रुपये
वांटून या, ते असे कीं पुरुषास बायकोच्या दुप्पट ब मुलास
बायकोच्या निंमे येतील.

४३. एक असा अपूणीक आहे कीं त्यास १३ च्या धनाने
गुणून गुणाकार १९ च्या वर्गमूळानें भागळा तर भागाकार टे
येतो, तेव्हां तो अपूर्णाक कोणता हें सांगा.

३२. २मेंढ्या व ३ शेळ्या यांची मिठ्ून किंमत ३१८ रु.
आहे आणि ५ मढ्या व दोन शेळ्या यांची मिळून किमत ५१
रुपये आहे, तर 33 मेंढ्या भाणि ७ शेळ्या यांची मिळून किं-
'मत किती होईल!

३४. २४ हात ४ तरू रुंद, आणि ९६ हाव ६तस््‌ लांब अशा

गवमा कल्ताळ

* ३ अंशु २ $० कला आणि १९ कता > ९२० विकला,

१४ भॅकंगणित,

अमिनींत मका पेॅरळा आहे. ब तो दुरचौरस हातास ४-॥
भाणा ह्या भावाने विकणे आहे, तर त्याची किंमत काय होईल!

१४.३० चेटेचा उ इतकीं मेंढरे २१० चेक चे

द चे ई इतक्या रुपयांस बिकलीं, तेव्हां प्रत्येक मंढरास काय

पडळे ते सांगा

१५. एका गृहस्थाचे दिवाळे निवाळे, तेव्हा त्यांची जिंदगी
विकली. तिचे २१००० रुपये आले, ते त्याच्या चार सावकारांस
त्यांच्या कर्जाच्या प्रमाणाने वांटून देणं आहेत. ते असे की,
कच्या कजीस : खच कज :: २: ३; खचे कर्जास : गचें

र्जः: ४: ५; आणि गचे कर्जास : घर्चे कर्जः:: ६: ७;
तेव्हां परत्येकाचे हिश्शास काय येईल तें सांगा.

३६. एक घनहात पाण्याचें वजन १०६ शेर भरलें; तर एक
हात खोल, १६ हात ७ तसू लांब, आणि ८ हात ४ तस्रू रुंद,
इतक्या पाण्याचे वजन किती होईल ?

४३७. एका खाणीचे उत्पन्न दरसाळ ३२९६ रुपये १३ आणे
५३ पे आहे. त्या खाणींत एकाचे १४ हिस्से आहेत त्यांजबद्द-
ल १०२५ रुपये १२ आणे ७२ पे मिळाले. तेव्हां त्या खाणीत
एकंद्र किती हिस्से आहेत तें सांगा.

४८. अ ब या दोन स्थळामध्यें अवतर १२० मेळ आहे.
दोन स्थळांहून दोन गहस्थ परस्परांकडे येण्यास एकाच वेळीं
निघाळे ते द्र तासास अनुक्रमे ६ व < मेळ चालतात. तर
निघाल्यापाछून त्यांची भेट किती वेळानें होइळ ?

४९. २० रुपयांनी तोळाभमार्ण शुद्ध सोन्यांत ८ आण्यांनीं
तोळा ह्या दराचें हीन घाळून ७ तोळे वजनाचा एक दागिना
केळा; त्यांत शुद्ध सोने चोविसांस अठरा ह्या प्रमाणाने आहे,
व माकीर्चे हीन आहे, व तो दागिना करावयास मजुरी १०० तो-
ळ्यांस २५ रुपयेभमाणें दिळी, तेव्हां त्या दागिन्याची एकंदर
किंमत काय होईल तें सांगा.

९०. जर एक मनुष्य एका तासांत १०२३ चौरसगज जामे*

पश्षसशुदाय. २११६

नीवरीळ गवत कायतो. तर २डे बिवे जमिनीवरील गवत
कापाबयास दतीने मनष्यांस किती तास लागवाल?

४३- एक वाम अ १२ दिवसांत आणि ब १६ दिवसांत
करिती. दोवांस्द मिळन कामावर दिवस १'५ होऊन काम पुरे
झालं, सर्व व्कामावद्दल मजुरी २ रु. 3२ आ. मिळाली
तर प्रत्येकाच्या बांत्यास किती पैसा आळा

४२. क 3 २ द्विवसांत जें काम करतो, त्याच्या तिप्पट
काम ख ८ उव्विवसांत करतो, आणि खच्यापांचपट काम ग १२
दिवसांत करते, तर तेंच काम तिवे मिळून किती दिव
सांत करतीळ ?

४४. कोण्णी व्यापाऱ्याने आपल्या माळावर रोकडा २० रु-
पयेपरमाणें नप्छा ठेवन त्यांतील कांडी माळ २६ रुपयांस वि-
कला, तेव्हां त्यांत मद्दळ किती व नफा किती?

४४. चारा <आाणि पांच यांच्यामध्ये अवरकांटा ब [मानट-
कांटा ह्यांत २_ ८ मिनिटांचे अंतर आहि; तेव्हां किती वाजले
असावे ? एका अवरकांटा मिनिटकांद्याच्या पुढ ब एकदां
मार्गे अशा सा चीं दोन उत्तरे येतात ता काणता !

४५. एक ्सिरस गज जमिनींत पावगेचार पायळी धान्य
पिकर्ते, तर "२ & हात लांब ब १४ हात रुद्‌ अशा जांमनांत घा-
न्य किंती थित? ह्या जमिनीपैकी कडेची चोफेर दोन दोन
हात जमीन व्यांधाकंडे गेळी आहे

४६. ३१५६ प्ोोडांमध्ये पोंडांच्या दुप्पट क्रौन, क्रौनांच्या दी-
डपट शिळींग्गे आणि शिलिंगाच्या इ पट पेन्स साभमार्णे
नाणीं आपापवयाची आहेत. तर प्रत्येक जातीचीं किती किती
येतील !

४५०७ एक्का वंशांत ६९वळ मेळ असतात, तेव्हां त्यांचा किंदी
थधोजर्ने होतींत्ळ ?

४८. एका खोलीचा घेर ३६ गंज आहेः आणि उंची ५ गज
७ तसू आहे. तर तिच्या भिंती रंगविण्याबद्दळ दर चारस या”
हस १ शिलिंग १३ पेन्सममाणें काय खर्च येशल !

परः

११९६ भंकगणित.

४९. औरसचौरस २ तसंचा, व ठे तख्‌ जाडीचा एक सो-
न्याचा पत्रा ठोकून ठोकून एक चौरस गज होईपर्यंत वाढविला,
तर त्याची जाडी किती राहील ?

७०, २३७७ रुपये ४ आणे ९ पेचा ५७ खंडी खजूर अरब-
स्थानांतून मुंबईस आणला, त्याळा जकात मुंबई बंद्रांत शेंकडा
१ ०३ रुपयेप्रमाणें दिली. तेव्हां ठर खंडीस किती जकात पडली
तेंसांगा. |.

७१. दोन संख्यांचा ळ० सा? भा० २८८ ब हढभा? २४
आहे. आणि एक संर्पा ९६ आहे तर दुसरी संख्या कोणती!

५२. रुपयाची तीन शोर या भावाची साखर आमच्याजवळ
२ खंडी ३ मण आहे. ती देऊन त्या मोबदला रुपयाचा ७॥ शेर
या भावाचा गळ आह्यास घेणे आहे, तर तो किती मिळेल ?

७३. कोणीएक मनुष्य द्ररोज कनाटक भांतांतील १० कोस
१२॥ तासांत चाळतो, ब तिकडील कोस पुणें प्रांताचे कोसांशीं
२: ३ ह्या प्रमाणांत आहेत, तेव्हां तो मनुष्य १३२ दिवसांत पुर्णे
प्रांताचे किती कोस चाळेल ते सांगा

५४, एका देवळाचा सभामंडप ३५ हात लांब भाणि १५
हात रुंद आहे, त्याच्या छताच्या भोंबताळीं वेक पाऊण हात
रुंदीचा बसविला त्यास १९४ रुपये पडले, तेव्हां द्र चोरस
गज वेळास काय पडळे त॑ सांगा

७५. डे आण्याचे जळ हे 2 रुपयांचे कायर आहेत?

५६. एका गहस्थाने एका सावकारापासून ठरमहा द? शे०
७ प्रमाणे कांही व द्साळ द० शे? ६ द्रानें कांही मिळून
३५० रु० कर्जी नेलं. आणि दोन वर्षांच्या अवेर २८६ रु० रास
आणून दिली. तर प्रत्येक दराचे किती किती रुपये नेळे होते?

७७. लंडन शहर ज्या अक्षवृत्तार आहे त्या अक्षवृ्ताचा
घेर १५१२० मेळ आहे; तेव्हां ळंडन शहराचे दोन्ही बाजूंच्या
एक अंशाच्या रेखावत्तांमध्ये अंतर किती, ब तेथन खय आप-
ल्या दृश्यमान गतीने एका मिनिटांत किती मेळ चालतो अस्त

दिसेल !

प्रश्रसखदाय, २१२९७

५८. ४०२१२ रुपये ३ आणे इडन पे चौघांसवांटून या; वे.
असें कीं त्यांचे वांटे १, २, ३, ४ ह्या प्रमाणांत येताल

७९. एका आगबोटींचा बेग द्र तासास १५ मेळ आहे. ती
एका ठिकाणाहून निघून 3 अंतर गेल्यावर तिचा वेग पूर्वीच्या
बेगाच्या डे झाळा. तिळा नियमित स्थळीं पोहोचण्यास ६ तास
लागळे. तर दोन ठिकाणांमधील अंतर किती?

६०. एका कुरणांतील गवत ७ बैल किंवा ५ हाशी ८७ दि
वसांत खाऊन टाकतात, तर तें गवत २ हशी व ३ बेल मिळून
किती दिवसांत खातील ! |

६१ ३६ रुपये ८ आणे ६पे हे २) पुरुष, २) बायका
आर्णि २१ मले ह्यांस वांट्न दिळे, असे कीं मुलाच्या दुप्पट
बायकास व बायको आणि मूल ह्यांचे बेरजबरोबर पुरुषांस,
तेव्हां प्रत्येक पुरुष, प्रत्येक बायकी आणि प्रत्येक मूळ ह्यांस
काय आलें तें सांगा

६२. कोणी मनुष्यानें आपल्याजवळच्या साखरेपेकी टे च
> चे कश साखर दर शेरास ४ आणे ६ १ प्रमाण विकली, व
त्या विकलेल्या साखरेचे बजन ३ मण आणि )३ शेरांचे छे
चचा 3 इतके होतें; तेव्हां सभ साखरेची किंमत काय ती सांगा

६३. नदीच्या प्रवाहाच्या दिशेकडे जातांना होडीचा वेग दूर
तासास ५मेळ आहि. नदीमध्ये २० मैळ जाऊन येण्यास
१०३ तास लागले. तर नदीच्या पाण्याचा वेग किती!

६४. एका गाडीच्या चाकाचा व्यास एक गज आहे. ते
एका मेळांत त्या चाकाचे किती फेरे होतील ! वर्तुलाचा व्यास
आणि परिघ ह्यांचे गुणोत्तर ७: २२ ह्यांच्या गुणोत्तराबरांबर
आहे

६५. एका हौदास पाणी येण्याचे दोन व पाणी जाण्याचा
एक अभे तीन नळ होते, त्यांत पाणी थेण्याच्या नळांपका ए-
कारने तो होंद ४ घटकांत भरतो, व दुसर्‍याने ५ घटकांत भरतो
आणि पाणी जाण्पाच्या नळानें रेषे घाटिकांत रिकामा होतो,

[वां त्यांवाठ पहिला नळ सोडून २ घटका झाल्यावर दुसरा

शर्ट सकगणित.

नळ सोडला, व त्यास एक घटका झाल्यावर पाणी जाण्याचा
नळ सोडला; तेव्हां तो हौद भरावयास किती वेळ लागेल ?

येक नळांतून पाणी किती थेईल तें सांगा. ३६१) घागरींचा
हौद आहे.

६६. ऐह-वेऊरन पेट ह्यांस अतिसंक्षपरूप या, व
रुपयाचे ठे, पावल्यांच कळ आणि ३ आणे ६ पे ह्यांचे
ह्यांची बेरीज करा.

॥/६७. मळा एकजणाचे ७ शि. दंगे आहेत; परंतु माझ्या-
जवबळचें सर्ब नागें अर्धे गिनीरचे आहे, आणि त्याच्याजवळ-
चें सर्व नाणें क्रोनचें आहे. तर देणें फेडून टाकण्यास नाण्यांचा
मोबदला कसा करावा !

६८. मुंबई व पुर्णे यांत अंतर )]२० मेळ आहे. दोन ठि-
काणांहून परस्परांकडे येण्यास आगीच्या गाड्या अनुक्रमें स-
काळीं ६ ब ७ वाजतां निघाल्या. त्या अनुकमें तासास १र ब
२० मेळ चालतात. तर त्यांची गांठ किती वाजतां पडेळ?

६९. पुढील अपूणीकास अतिसंक्षेपरूप दया.

बे"३॥चेहे , ९४९ _ २५१%(- फव)

त जह वि १ैटन्दे. १०००० >» शा.

पा क ०९५००००००० ७९०१०५००00 00९0 («हा | िु'दव्िवि १ कब बाअबनामाडाडडडडामाडाची

१०८-८- -” '|| |. पा ष्‌

पड िििश्गिगििशा्स्िआमिसििसववव डड मकी

१9 ।

७०. एका खोलीच्या मिंतास आंतून वेळलबुटीचे कागठ्‌ चि-
कटबावयाचे आहेत. त्या खोळीचा घेर ३० फूट ७ इंच आहे
आणि उंची १० फट ६ हंच आहे, आणि कागदाची रुंदी १०
इंच आहे. तेव्हां कागद किती लांब घ्याबा तें सांगा

७१३. एक मण कोळशास १३ आणे ७> पे प्रमाणे ३६ मण
४ शेर कोळशाची किंमत काय होइल? व १३ रुपये ११) आणि
९पे ह्यांचे ड़ चा छे भाणि १० आण्याचे ३३ > कब ह्यांव
अतर किती तें सांगा,

प्रश्नसखदाय, २१९

७२. कोणी मनुष्यानें आपला बाग दरसाल ९२० रुपयेप्रः
माणें मकक्‍त्यानें दिळा, आणि मकक्‍्त्याबद्दळ दोन वर्षीचा पेसा
द्रसाळ द्रशेंकडा ५ रुपेबे व्याजाप्रमाणे व्याज कापून देऊन
आज घेते वेळेस त्यानें त्या कुळास वार्गेतीळ घराचे डागडुजीब
दळ त्या सर्ब पेशाचा डे ब कोठारांचे डागडजीबद्दळ 3. आणि
किरकाळ खच[बद्दळ २१०० ह्याप्रमाणे देऊन बाकी पेसा घेत-
ळा. तेव्हां त्यास काथ मिळाल वे सांगा

७३. एका खांबाचा चे बांधकामांत, डे चिखलांत, बाकी-
च्याचा डे पाण्यांत, आणि राहिलेला भाग पाण्यावर आहे
पाण्यावरील आणि विखलांवतीळ मिळन खांबाची लांबी ९
हात आहे. तर सव खांब किती हात आहे?

७४. १९ फ़ूर १० ईंच लांब, १६ फूट १ इंच रुंद आ-
णि 9० फूर ३ इंच उंच, अशी एक खोली आहे. तिच्या मिं-
तीस सफेती देणें आहे. तर सफेतीबद्दल द्र चोरस यार्डास ९पे
प्रमार्णे खर्च किती ळागेठ ते सांगा

७५७, १६१८३ मेळ हे अशांत मांडा; एक अंशाबरोबर
६९व% मेळ आहेत.

७७. आमच्या जवळचे घड्याळ आज बरोबर लाविळे तर
उद्यां २॥ मिनिटे पुढें जाते; तर आज दुपारी बारा बाजतां त्याचे
कांटे कसे ठेवावे हणजे रात्रीचे 9१० बाजतां तें घड्याळ खरी
बेळ दाखवीळ ?

७७, पुण्याहून आगीची गाडी मंबईस जाण्याकरितां सका-
ळीं ६॥ वाजतां निघाली, ती दुरतासास २० मेळ प्रमाणे चाल:
ते. पुण्याहून दुसरी गाडी सकाळीं ८॥ बाजतां निघाळी, आणि
विर्ने पहिळे गाढीस मुंबईचे अळीकडे ६० मेलावर गांठलें; तेव्हां
दुसरी गाडी किती वेगानें चाळली होती? मुंबईपासून पुण्यापर्यंत
गाडीचे रस्त्याने अंतर १८० मेळ आह्‌

७८. प्रत्येक शेत २५ हांत लांब आणि १८ हात रुंद
अशीं काटकोन चोकोनारुति ७ शेते २ मनुष्ये १३ दिवसांत
नांगरतात, तर १२॥ काढ्या लांब आणि ९ काठ्या रुंद अशीं

१५ भा, ५८ |

१४० झंकगणित.

हट

काटकोन चौकोनाळाते १२ शेते २७ मनुष्ये किती दिवसांत
नांगरतील ! | |

७९, कांहीं एक काम ३ पुरुष अथवा ५ बायका अथवा
८ मुळें २६७ दिवस इतक्या वेळांत करतात, तर तेंच काम २
पुरुष, ३ बायका आणि ४ मुलें मिळून किती वेळांत करतील !

८०. पुण्याहून ३१० मेळ लांब एक गांव आहे. तेथें ना-
ण्याकरतां आगीची गाडी दिवसास बारावर ३१ तास ५१9
मिनिर्टे झाल्यावर निघाली. ती पहिल्यानें द्रतासांत ९२७ मेळ
प्रमाणे १२१ मेल गेली, पे दरवासांत ९॥ मेळ प्रमाणें १२)
मैल गेळी, आणि शेवटीं द्रतासांत ८ मैळ प्रमाणें ६८ मैल
गेली. तेव्हां ती तेथें केव्हां जाऊन पोहोचली ?

८१. ८६४ हात ३ तस्रू लांब आणि ६२ हात ६ तघ् रुंद
अशी एक जागा आहे, ती किती चोरस गज भरेल तें सांगा.

८९. कोणी एक गृहस्थ वाटेने जात असतां त्यास अ
आणागे ब हे दोघे भिकारी भेटले; तेव्हां त्यांस कांहीं यावें असा
विचार करून खिशांत हात घाळून पाहतो तों एका मोहरेचे
(ह्म० १५ रुपयांचे ) चक चे 1२०७-७३ चे श्‍वव 7 ४जंभा-
हेत अर्से त्यास आढळले; तेव्हां त्याने त्याचे डे चा उं अस
दिला, बाकी राहिले त्याचे चे बस दिले; तेव्हां प्रत्येकास काय
मिळाले ते सांगा

८३. भ आणि ब्र ह्या दोबांनीं सकतीने ब्यापार आरंभि-
ला, त्यांत अनें पहिल्याने २००० रुपये दिळे, ब पुढे भआाठ म-
हिन्यांनीं 3००० रुपधे दिळे; बने आरंभी 4००० रुपये दिले;
पुढे चार महिन्यांनी २०७२ रुपये द्िळे; आणि पुढे ६ महि-
न्यांनीं १३०० रुपथे मावारे वेतळे. वर्षोझतीं हिशेब पाहतात तो
त्या व्यापारांत त्यांस १६३५ रुपये नफा झाळा तो त्यांनीं कसा
बांटून घ्यावा ते सांगा.

८४. अ आणि ब ह्या उभयतांनी सकेतीर्ने व्यापार आर॑-
मिला. त्यांत बपेक्षां २५ रुपये १९ आणे अचे जास्त होते; पुढे
हिरोज करून पेसा बांदून घेतला, तेव्हां अचे बांटणीस ६० रु.

प्रश्रससदाय. २३9

पये आणि बचे वांटणीस २८ रुपये आले, तेव्हां आरंभीं प्रत्ये-
कारने किती किती दिले ते सांगा.

८५. एक काम अ 9४ दिवसांत कारतो. त्याने प्रथम ३॥
दिवस काम केले. नंतर बाकीच्या कामाचे डे बर्न केळें आणि
राहिलेले काम अ आणि क ह्यांनी मिळून एका दिवसांत केले.
तर सर्व काम एकटा क किती दिवसांत करील ?

८६. १४४ रुपये १२ पुरुष आणि १८ बायका यांस बांटन
द्या. इतकेंच कीं द्रपुरुषास द्रबाईच्या १॥ पट रुपये मिळावे.

८७. १५४० रुपये अ, ब, क आणि ड या चौघांस बांटून

. द्या; असे कीं, ते अला बचे दिढीनें मिळांवे; बळा कपेक्षां त्या-
च्याचडे ने जास्त मिळावे; आणि कला डच्या सवार्ईने मिळाबे.
दट. कुत्र्याच्या पुढें ससा ३५० हात आहे. ससा 31 मि-
निटांत ७५ हात चाळतो. अर्से असतां कुत्यानें त्यास ३५
मिनिटांत गांठळें. तर कुञ्रा द्र मिनिटांत किती चाळत होता ?

८९, ७७० रुपये अ, ब, क, ह्या तीन असामींस बांदून
द्यावयाचे, ते असे कीं अळा जर ४ तेर बळा ३, आणि अळा
जर ६ तर कला ७. तेव्हां प्रःथेकाच्या वांब्यास काय येईल
तें सांगा

९०. कोणी धनगरानें 1९ भंढरे ३९ पोड ६ तिळिंग ५३.

पेन्स ह्यांस बेवळीं, आणि त्यांवधीळ सहा मेढा प्रत्येक भढरास
१ पोड १६ शिलिंग ह्यापमाणे विकळीं; परंतु त्याच्या मनांत ह्यां
सव व्यापारांत शाकडा ४ पाड नफा व्हावा अत आहे तंव्हा
बाकाचीं मंढरं कास करिमतीस विकावी तें सांगा

॥९५१. एक चाकर वषाच एक कडे व ६० रुपये देण्याच्या
कराराने ठेविळा आठ महिने नोकरी केल्याबरत्यास ते करड व
_ ३५ रुपये दिठे. तर कड्याची किंमत काय! व
_ ९२. दररोज ६ तासममाणें काम करून १२ मनुष्ये १५
दिवसांत कांहीं एक काम संपाबितात, तर तेंच काम द्ररोज
१ २केरे तासप्रमार्णे करून ४५> दिवसांत सपबिण्यास किती
मनुष्ये लागतील !

१३१ अंकगणित.

९३. एका मुदुळाची सरळ व्याजाने ९ महिन्यांची रास
१२५॥ रु. आहे आणि सव्वा वर्षाची रास १3२७॥ रु. आहे. तर
मुद्दळ किती?

/९४. एका बागेतील झाडांच्या डे आंब्याचा, आंब्याच्या
> केळींचीं, केळीच्या > सुपारीची आणि बाकीची ७४
नारळीचीं होतीं. तर एकंदर झाडे किती होतीं?

९५७. दरमहा ३० रुपयमभमाण ता० १६ फत्ुभारा तेता०
१७ मार्चपर्मतच्या नोकर्रांचा पगार किती होईल !

९६. सन १८९६ तील ता० ८ फेब्र ते २२ मादपर्थंतचा
पगार ६६० रुपये आहे. तर दरमहा किती

९७. कांही एक काम कांहीं मनुष्य कांहा दवसांत कारता-
, त्यांच्या मदतीस ३ मनष्य दिळीं तर ते काम २४ दिवसांत
संपर्ते; ब ८ दिळीं तर 1८ दवसांत संपते, तर तें काम प्रथम [$-
ती मनुष्ये किती दिवसांत करात होता !

९८, २ पेशांना ५ आंबे, ७ पेशांना ३ ड ळिंबे व ४ पशां-
ना १० पेरू याभमारणे भाव आहे. तर १ ९1 मध्य प्रत्येक जाती?
वीं सारखीं फळें किती येतील?

९९. अजवळ आरंभी २ पोंड ११ शिलिंग होते, व त्यास
धने आणखी 4५ पोंड १) शिलिंग ६पेन्स ह्यांच ६३-१३
किळे, तेव्हां त्याजपार्शी पैसा बच्या जेचाळीसपट झाला; ह्याव-
रून बजवबळ आरंभीं किवी पोंड होते ते सांगा

॥/६००. एका पौंडाची रास पांच वर्षांत सरळ व्याजाने एक
गिनी कराबयाची आहे, तर दरसाल दुरशेकडा व्याजाचा दर
काय ठेवावा!

१०५. जेव्हां गाडीचा रोजभाड्यांचा दूर १४ शिलिंग
८ पेन्स आहे. तेव्हां कोणी मनुष्य १६ पोंड घेऊन १९ पे १८
मैळ लांब नेतो, तर जेव्हां गाडीचा रोज-भाड्याचा द्र १६ शि-
लिंग ६ पेन्सपर्मंत बाढेळ, तेव्हां तींच विंपे ७२ पोंड घेऊन कि-
ती लांब नेईल!

३०२. कोणी कारसानदाराने ५० पुरुष आणि ३५ मुळे

प्रश्नससुदाय. ३३६

इवकीं माणसें कामावर ळावळी, त्यांत पुरुषार्ने दररोज १श ब
मुळान दररोज ८ हास काम करावें असा.ठराव होता, व त्या-
बद्दल द्रवतासास पुरुषास ६ पेन्सव मळास २ पेन्स मिळत
असत, ब ह्याभमार्णे दर आठवड्यांत ते ५३ दिवस काम
करात. तेव्हां वर्षांचे मजुरीचा आकार किती ते सांगा.
१०३. १३ गिनी ६ असामीस वांटरनब या असे कीं ते वि-
भाग १, २, ३, ४, ५, ६ ह्या संख्यांच्या प्रमाणांत*येतीळ.
/७०४. एका बागेत कांहीं झाड आहेत त्यांव शिताफळाचीं
पेरूची है, रामफळाचीं हे व इतर प्रकारचीं ५० ह्याप्रमाणे
आहेत, तेव्हां सर्व झार्डे किती तें सांगा
9०७. कोणी एकाने द्रसाळ द्रशेकडा ३३ रुपये व्याजाने
कांहीं पेसा कर्ज काढून तो द्रसाळ दुरशेंकडा ५ रुपयेभ्रमाणे
व्याजीं लावला, त्याबद्दल व्याज त्या सावकारास त्याला वर्षा-
च्या अखेरीस यावें लागे, परंतु कुळांकडून ब्याज तो सहा सहा
महिन्यांनी घेत असे, आणि ह्याभमार्णे तो बर्षास २०० रुपये
भिळवी. तेव्हां त्याने कर्ज किती काढलें होतें ते सांगा
१०६ वरवज् ह्यांस अतिसंक्षपरूप या; ३६३ शेर ह्यांस मणार्चे
रूप या; २टे, ३३०, इ; १2 झ्ांची बेरीज कराः आणि
चे शदे ह्यांस ७२३ चे १ ह्यांनी भागा
१०७, मराठा चाळाचे १५२ कोस इंग्रजी ३८३ मेळांब-
रोबर आहेत; तर ३२६३ इंग्रजी मेळांवरोबर मराठी कोस किवी
होतील तें सांगा
०८. एक रस्ता ९३७ हात ६ तरू ळांब आणि ६ हात ट
तस्‌ रुंद आहे. त्यास फरसबंदी करावपाची आहे, तेव्हां
वास दुर चारस गजास १) रुपया २ आणे प्रमाणे एकंदर
खर्च किती लागेळ!
$०९. एका रुपयाचे ७2टे चे रट॑ंच ३८, एका आण्याचे
रेरच ९३, भाणे एका पेचे षटंचे ८ ह्यांची बेरीज करा
भाणि तीस ३२ पेचे टे चे उ चे ३३ ह्यांनी भागा |

१३१०, चांगूळी चांदी एक रुपयास १० मासे २४ गुंजा येते,

१४ शंव्हगणित,

तर ९० तोळे ३१ मासे वजनाचा वाढीचा एक तांड्या आहे.
त्यांची किंमत काय होईल?

१३१ पुण्याहून मुंबईस दोन आगीच्या गाड्या, एक उता-
रूची व एक माळाची, अशा एकदम जाऊन पोहोंचाव्या
अशा बेताने सोडावसाच्या आहेत. त्यांत उतारूंची गाडी एक
अवरांत २४ मैळ जावे, ब माळगाडी '१० मिनिटांत १५ मेळ
जाते, तेव्हां उतारूंची गाडी बराबर ठोन वाजतां निघाळी, तर
माळ गाडी केव्हां निघाली पाहिजे हणजे बाटेंत न भेटता
दोन्ही गाड्या तेथें एकदम पोरहोचतीळ? पुर्ण आणि मुंबई
ह्यांच्यामध्ये अंतर १२० मैळ आहे.

११९. ७१३०० स्वारांच्या चार टोळ्या आहेत त्या अशा कीं
पहिल्या टोळीचा ३, टुसरीचे 3, तिसरीचे ह, आणि चोथीचे
द, ह्या सर्वांत स्वार सारखे आहेत. तेव्हां प्रत्येक टोळींत स्वार
किती ते सांगा !

सोडविलेले प्रश्न.

औअकगाणित भाग $) मध्ये कळम १७२, पृष्ट १९८ मध्ये उदा-
हरण कसे करावे हणून खूचना केल्या आहेत. त्या विद्यार्थ्यांनी
पुनः वाचून पहाव्पा. पुर्ढे कांही उदाहरणें सोडून दाखविली
आहित. त्यांवरून प्रश्नांत दिलेल्या प्रातिज्ञांच्या अनुरोधाने उत्तर
काढण्याकरितां निरनिराळ्या प्रसंगी कशा युक्ति योजाव्या ळाग-
तात हें चांगळे लक्षांत येईल.

बीजगणित ज्यांस येव नाही त्यांनी अशा जातीचे प्रश्न सोड-
विण्याच्या रीतींची माहिती अबश्य करून घ्यावी; म्हणजे नाना-
प्रकारच्या चमत्कारिक प्रश्नांचा खुलासा करण्याची शाक्ति त्यांचे
अंगांत सहज येईळ, आणि त्यांस फार आनंद वाटेळ.
_ मद्वासेस 'पाछापाचें हेस्कुळ ' यांतीळ अ. मास्तर राजश्री
श्रीनिवास अप्पा यांनीं अकगणितांवीळ सोडविळेळे भश्भ या
नांवाचें एक पस्तक छापिर्ळे आहे, त्यांतून विदार्थ्यांकरितां हीं
कित्येक उदाहरणें निवहून घेतलीं आहेत,

प्रश्नसमुंदाय, २३५

१ पक्ष, एका औमंत गहस्थानें मरणकाली कॉफ्ले पुजास
आपले इस्टट]र्‍चे शडे आणि कन्येस बाकी राहिलेली इस्टेट झअ-
शा वाढून दिळी. मुळाळा मुलीपेक्षा >; 1०० रुपये जास्त
मिळाले. तेव्हां त्या गृहस्थाची सवे इस्टेट किती होती ?

खुलासा. इडे मुळाचे वांटणीचे; तेव्हां इ मुळीच्या वांट-
णीस आळे. मुलाला मुलीपेक्षा इ: औधिक मिळाले, आणि
हे २३००० रुपये आहेत ह्मणून

इस्टट] डॉ प२१००८० र
नं इस्टेट ६
ह्म्ण - 1111:7२१५८०० रु-

भाजक सोडाविल्याने ( हणजे स. प्र. ४ प्रमाणे एकीकडचा
भाजक दुसरीकडे गुणक केल्याने )

इस्टेट > ६ २९१००८ रु>२५
गुणक सोडविल्यानें ( स. प्र. ५ प्रमा णे, एकीकडचा गुणक

दुसरीकडे भाजक केल्याने )
२१००२२० रु, २०५

इस्टेट >

रू

चळ.

सम ७०२०२०० रु, ह उचतर.

टींप-गुणक भाजक सोडविण्याचे नियम वरती कंसात द्लि
आहेत, ते तेथीळ पत्यक्षपमाणांचे आधाराने कसे सिद्ध होतात
तें बियार्थ्यांनी गुरूयाखून समजून व्यावें. गुणक भाजक मोठाले
असले, अनेक असले, किंवा मोषम असले, हणनेतेथे ह्या
नियमांची गरज लागते ह्मणून ते येथे दिळे आहेत वस्तुतः पा-
हतां सोप्या उदाहरणांत ह्या निममांचे उपयोग सहज गवानें
आपण करीत असतो इतके हे नियम बहिवाटींतळे आहेत. झ-
णून सहज कळण्यासारख्या स्थळीं ह्या नियमांचा उललेख कोणी
करीत नाहीं. वरील प्रकारच्या स्थळीं माघ कारेतात.

९ प्रश्न. एका गृहस्थाला पूर्वी आपल्या उत्प्नावर दर पौंडास
४ पेन्सशमार्णे इन्कमडाक्स यांबा ळागत असे. प्रदे त्याचे

१४६ झंकगणित.

उत्वक्न २४७ पौड जास्त झाले, आणि इन्कमटाक्सही एका पौ

डास ७ पेन्स याप्रमाणे झालां. पर्वीपेक्षां त्याळा आतां इन्कम-
टाक्साबद्दळ ६० पाड अधिक याजे लागतात, तर त्याचें पूर्वीच
आणि हलींचें उत्पन काय काय असावे ?

खुळासा. पर्वीपेक्षां आतांचे उत्पन्न २४० पोंड अधिक आहे
सबब त्याबद्दल व्याठा' २४० ७ पेन्स > १६८* पेन्स >७पों
इतका इन्कमटाक्स जास्त यावा लागती.

परंतु पर्वापेक्षां इन्कमटाक्साबहळ ६० पोड जास्त द्यावे ळा-
गताव. ह्यांव वर आलेळे ७ पोंड वमा दिले हणजे बाकी ५३
पौंड राहतात, हे पूर्वीच्या उत्पन्नावर इन्कमटाक्स जास्त झाल्या-
नें दयावे लागतात, हे स्पष्ट आहे.

पुर्वीपेक्षा इन्कमटाक्स दूर पोंडास ३ पेन्स जास्त बसला
आहे; ५२३ पोड >9२७२० पेन्स हणून १२७१०-- ३- ४२४०
पोंड हे पूर्वीचं उत्पन झाळे, आणि ४२४० पोंड -- २९० पोंड
- ४४८० पोंड हे मार्गीलळ उत्पन्न झालें. ह्मणून

९२४० चि एक उत्तर.
४४८० हे दुसरें उत्तर.

४ श्रश्न. एका गहस्थाजवळ कांहीं पेसा होता. तो दर वर्षास
तो. सवाईनें बाढबीत असे. ह्याप्रमाणें चार वर्षे लोटल्यावर
पाहतो ता त्यास असें समजळं का, ही जमाविळेळी रक्कम जर
शेंकडा ५ रु. पमाणे व्याजाने ठेविळी तर आपणास एक वषाचे
व्याजाचे ३७५ रुपये येतीळ. तर त्यांच्याजवळ पाहिला
पेसा किती असावा?

खुलासा. दुरसाळ द्ररौकडा ५ रु. प्रमाणें त्यास व्याजाचे
३७५ रु. थेतीळ इवका पेसा त्याच्याजवळ ४ थे वर्षांचे शेवटीं
जमला, हणन ३७५ १००: ५२०७५०० रु. इतका जमळा

हा पैसा मुदळाची ४ वेळ सवा$ होऊन वाख्छेळा आहे.
हणून मुदेळाचे > चे चे ८ चे £ > ७५०० रु. गुणक
सोाडाविल्याने

प्रद > ४५०० रु. कशदे > ३०७२ रु. हें उत्तर,

पॅश्नंसंसुंदीर्य २३७

_ ४ प्रश्न. एका गंध्याच्या दुकानीं दोन प्रकारच गळाबी अत्तर
होते; एक २॥ रु. तोळा भावाचे आणि दुसरें 1॥ रु. तोळा
भाबाचे. ता. अचर त्यान [मत्र करून २ ,ु. तोळा याप्रमांण
बिकलीं तर दर तोळ्यास प्रत्येकी नफातोटा काय काय होईल!
आणि भशा प्रकारचा तोटा होऊं नघे अशी जर त्याची इच्छा
असेल तर त्यानें त्यांचे मितअण कोणत्या भमाणारने करांर्वे.

खुलासा. पहिले प्रकारचे अत्रांत त्यास दर तोळ्य़ास *॥*
रुपया तोटा होइईळ, आणि दुसरे प्रकारचे अचरांत त्यास दर
तोळ्यास '!* नफा होईल; हाणून त्याने पहिल्या प्रकारचे अत्तर
एक तोळा घेऊन त्यांत डुसऱ्या प्रकारचें अचर तीन तोळे मिळ-
बावे ह्मणजे नफ्यातोल्याची बरोबरी होइल हे उत्तर

७ प्रश्न. एका गवळ्यानें ७२ शेर दूध विकत दिलें, त्यांत ११
भाग दूध आणि $ भाग पाणी असें मिशण होतें. त्यांत आण-
खी किती पाणी घातलें ह्मणजे ९ भाग दूध आणि १ भाग पा-
णी असें मिश्रण होईल १

खुळासा. उदाहरणापरमाणें पाहतां

१२९ भाग -_ ७२ शेर मिश्रण.
तर १ भाग > ६ शेर पाणी.
आणि १) भाग - ६६ शेर दूध
आतों दूध तितकेच ठेवून त्यांत आणखी पाणी मिशथित करून
मिश्रणांत ९ भाग दुधास १ भाग पाणी झाले पाहिजे, ह्मणून
भाग. भाग. शेर. शेर
९३५११५५६६५ ७३
यावरून ६६ शेर दुधांत फे शेर पाणी घातळें पाहिजे. या
७> शेर पाण्यांत पूर्वांचे ६ शेर पाणी आहेच; हणून त्यांत आ-
णखी १2 शर पाणी घातले क्षणजे इच्छिळे प्रमाणाचे मिश्रण
होइल
& प्रश्न. सान ब रुप मिळून गठडी एकाजवळ वजनांत ९
पोंड होती. तिची एकंद्र किंमत ३१८ पो. १३ शि. कृपे
होती. ह्या गठडींत सोन्याइतके रुपं आणि रुप्याइतके सोनें

२३८ झअंकगाणित.

. अशीं जर तीं उलट भमागानें वजनांत असतीं तर तिची एकंदर
किंमत १२९ पों. १० शि. ६ पे. होती. १ऑओससोनें व २
औंस रुपें मिळून किंमत ४ पों. ८ री. १॥ पे. झाली असती,
तर एकं ऑओंस सोनें ब एक औंस रुपें यांची वेगळाळी किंमत
काय काय असती ?
खुळासा. पहिली गठडी व दुसरी गठडी ह्या एकत्र केल्या
तर ९ पोंड सोनें व ९ पोंड रुपें अशी होतील व त्यांची किंमत
३१८पो. १३ शि. ६पे. -- १२९पों. १० शि. ६ पे. > ९ए८
, . होईल.
रत? ९पों.सो.--९ पौ. रु. : ४४८ पौंड, ४ शि.
ब १ पौ. सो. --) पो. रु. - ४९ पोंड. १६ शि-
१२नीं भागून, ) ओ.सो.--१औओं.रु.- ४पो. ३ शि.
उदाहरणाप्रमार्णे, १) ओं. सो. -- २ औं.रु. - ४ पो. ८शि. १॥पे.
बजाबाकीनें, 9 ऑंस रु. २५ शि. १॥. पे.
ही किंमत वरच्या कोणत्याही बरेबरींत ठेवावी हणजे येतें की,
9 औरस सोनें - ३ पौ. १७ शि.१०पे. हे उत्तर,
७ प्रश्न. एक काम अ मनुष्य एकटा २७ दिवसांत संप.
विवो, तितकेच काम करण्यास दुसर्‍या ब मनुष्यास १५ दिवस
ळागतात. आतां त्या कामावर अ मनुष्य १२ दिवस खपला,
नंतर दुसरा ब मनुष्य ५ श:विस खपला, आणि मग तिसऱ्या
एका क मनुष्यानें तें काम ४ दिवसांत संपबिळे, तर! एकट्या
करने सर्व काम पाहेल्य़ापासून शेवटपर्यंत किती दिवसांत
संपविले अस्त?
खुळासा. सर्व काम २७ < १५ > ४०५ धरिळं तर,
अर्चें रोजर्चे काम >. १५ येतात.
बचें रोजचें काम > २७ ग्रेतात.
अर्चे १२ दि. काम- १२%१'"५- १८० येवात.
बचे ५ ठि. काम ५%२७२३३१३७ येथात.
-| दोघां मिळून काम ३१५ येतात.
सर्ब काम ४०५ धरिले झाहे,

1]

1

प्रश्नसझुदार्य. | १३५९,

,". कवे ४ दिवसांचे काम २ ९० येतात.
ब॒कर्चे रोजचे काम २ २२॥ येंवात. _
». सर्व एकट्या कने करण्यास " देई. 3 १८ दिवस लाग-
तील हे उत्तरं

८ प्रश्न, कचे रोजचे कामाचे अर्धाइवक अरचे काम. हो!
असते. ह्या दोघां मिळून कांहीं एंक काम १० दिवसांत पुरके,
परंतु अ जाऊन वत्याच्याबद्दळ, जर ब काम करावयास आठा
असता, तर ते दोवे मिळून तेंच काम ५ दिवसांत पुरे करिते.
ह्यावरून अ आणि बहे त्या कामावर ५ दिवस असवे, आणे
राहिळेळे काम एकट्या कला संपवावे लागतें, तर त्यास तती
दिवस लागते? तर्सेच अ, ब, आणि क यांच्या दररोज. काम
करण्याच्या शक्ति कशा कशा होत्या !

खुलासा. सर्व काम ३२%१०> ५ १५० धरिले,
तर अ--कह्यादोबांचे रोजचे काम ऊज 3'५ येतात.

परंतु क, हा अचे दुप्पट काम करतो; हणून, अ आणि
क॑ या दोघां मिळून अवे ३ पट काम होते. ह्मणून,
अरचे रोजचें काम ४ > ५ येतात.

_ आणि कर्चे रोजचे काम 5 १० येतात.

आतां ब आणि क हे दोवे तेंच काम ५ दिवसांत संपाचे -
तात. म्हणून,

ब -- क यांचें रोजचे काम स 0 ३० येतात.

परंतु कर्चे रोजचे काम १० आहि, ह्मणून बर्चे रोजचे काम

२० येते. तर्सेच अ; ब, क यांची रोजचीं कामें ५, २०, १९
हाणजे १, ९, २ या प्रमाणाने येतात.

अ -- ब मिळून दररोज '१- २० २५ काम करितात.

“ अ--बहे पांच दिवसांत ५%२५३१२५काम करवीत,

सर्ब काम - १५०
शिल्लक काम > २५ |
ते एकट्या कला संपवावयास ३४ - ९॥ दिवस ळागतील॑

शू

२४५ अंकगणित,

९ प्रश्न. एका ठिकाणाहून दोन गृहस्थ एकाच वेळीं बाहेर
पडून विरुद्ध दिशांनी चाळे झाले, ह्य णून त्यांच्यामध्यॅ २
तासांनी ४० मैलांचे अंतर पडलें; ते जर एकाच दिशेनें एकाच
रस्त्याने चाळले असते, तर त्यांच्यांत 9॥ तासांत ९ मेळ अंतर
पडळे अस्ते. तेव्हां प्रत्येकाची दर तासांत किती किती र्‍चाळ
होती तें सांगा.

खुलासा. विरुद्ध दिशांनी गेळे तेव्हां दोघांत २ तासांनी
४० मेळ अंतर पडले, तर एक तासांत २० मेळ अंतर पडेल.

एकाच दिशेने चालले असते तर १॥ तासांत ९ मेळ अंतर
पडतें, तेव्हां ) तासांत ६ मेळ अंतर पडळें असमे.

अ जळदु चाळणारा आहे अर्से मानिळे, तर तो एक तासांत
बपेक्षां ६ मेळ आधेक जातो अर्स होतें, ह्मणून,

ते विरुद्ध दिशांस जातात तेव्हां अ हा बच्या इतकें दुसर्‍या
दिशेस चाळून शिवाय एका तासांत ६ मेळ पुढे जातो, आणि
दोघांत २० मैलांचें अंतर पडतें; हाणून,

२०-६१४हा बच्य़ा चालीची दुप्पट झाळी; हणूनब हा
एका तासांत ७ मैळ चालला; आणि अ हा त्यापेक्षां ६ मेळ
आधेक म्हणजे एका तासांत १३ मेल चालला, हे उत्तर.

१० प्रश्न २४०० रुपपे अ, ब आगे कया तिघांत वांटून
देण्याचे आहेत. ते असे कॉ; कळा. अ आणि ब ह्यांच्या बेर-
जेइतके रुपये मिळावे; आणि अला, ब आणि क ह्यांच्या बेर-
जेच्या अधईइतके मिळावे, तर एकेकाचे वांटणीस किती किती
रुपये येतील !

खुलासा. उदाहरणाभरमाणें पाहतां,

भचे रु. -- बचे रु. स कचे रु.
्रत्येकींत कचे रु. मिळविले तर,

अचे रु. -- बचे रु. -- कचे रु. ८ २ कचे रु.
बैसेच बंचेरु.--कचेरु.- २ अचे रु.
भत्येकींत अचे रुपये मिळविले तर,

भ्रचे ह.त बयेरु.---कचेरु ३ अंचे रु.

पश्षसमदाच. २१४१९

यावरून असं स्पष्ट होते की,
२ कच रु. > ३ अचे रु. आहेत
२ भाण ३ यांचा साधारण गणाकार आहे, तर पएकंठर
रकमत अ आणि ब यांचे मिळन ६ भाग धारळ तर कच्या
वाटणास ६ भाग थेऊन एकंदर १२ भाग हवाल. त्यांत अच्या
बांटणीस ४ भाग, वच्या वांटणीस भाय, आणि कच्या वां-
टणास ६ भाग, असे एकंद्र १२ भाग थयेवीळ परतु एकंदर
रकम २४०० रुपये आहे; म्हणून एका भ गाच्या बांटणीस
२८० रु. २०० रु. पळ, म्हणून, -
अच वाटणाचे ४ भाग - ४>% २९०० रु. स दळढ रु,
गज." ्क र भागे क को 6 रु.
केचे -“- -- ग > ६> २०० रु -3२९०>रु,

एकेंद्र २४०० रु.
हे उचर.
२९ री रीति
केला अ आणि ब ह्यांच्या बेरजेइतके रुपये मि ळावयाचे
आहेत ह्मणजे कळा १ मिळाला तर अ भाणि ब ह्यांस दोघे
मळून १ रुपयाचे [मेळाबयाचा आहे. तेव्हां २ रुपये बांटाव-
याच असल्यास कळा 4 मिळेळ व अ आणि ब मिळन १
मिळेल. येथे २४०० रु. बांटावयांचे आहेत
वी च ». 0 ओट च १३६१५०४
ह्मणजे कळा १२०० रु. हे उत्तर
भातां अळा बा माणि क ह्मांच्याबेरजेचे अ धा. इतक मि-
ळावयाच आहेत. हणजे व आणि क ह्यांस मिळन २ रु. मि
ळाळ तर अळा 3) रु. मेळावयाचा आहे. हणजे तिघांचे मिळन
४ होतात पण तिघांचे २९०० आहेत.
2१ ५ २९७४०० १३३. |] 4 ८2२०,
हणजे अळा ८०० रु. हं उत्तर.
आवा कळा 9२०००८ अळा 2०० पिळून २००० स्पये
२९ नाग २.

२४९ अंकरगाणेस.

वांटळे. बाकी राहिळे २९०० रु.- २००० रु. > ४०० रु. ही
बची बांटणी आली. ह्मणून,
अची बांटणी ८००२.) _,
बची ;,; ९००रु. ? हद उत्तर,
कची ,», १५२००
५५ प्रश्न. एका गृहस्थाने आपला ५८५०० रुपयांची मा-
ळमचा आपली बायको, तीन मुलगे, आणि चार सुला यास
वांटन दिळी ती अशी. २ मुलग्यांचे बांटणांस ३ मुलाच्या
बांटणीइतके रुपये आळे; आणि त्याच्या बायकांच्या वांटणीस
एक मळगा आणि एक मुलगी यांच्या वांटणींच्या बरजेच्या
अर्धाइतके रुपये आळे; तर प्रत्येकाच्या वांटणीस काय आले !
खुलासा. २ आणि २ यांचा साधारण गुणाकार ६ आहे,
ह्मणून दुरएक मुळाची वांटणी ६ भाग समजा
२ मलगे म्हणजे १२ भाग हे तान मुळांच्या भागाबराबर
आहेत; म्हणून प्रत्येक मुळीच्या बांटणास ४ भाग येवील
एक मळगा आणि एक मुळगी हणजे ६-- ४२ १० भाग
यांच्या अर्धाबरोबर त्याच्या बायकोच्या वांटणीस '५ भाग
येतील
हणन एक बाथको ह्मणजे '५ भाग, तीन मुलगे म्हणजे
3 > ६ भा. १८ भाग, आणि चार मुली हणजे ४%४
भा. > १६ भाग असे एकंद्र ५ भा. -- १८ भा. "- १६ भा.
३९ भाग इतकी सर्व माळमत्ता झाळी. परंतु सर्ब मालमत्ता
५५८०५०० रुपयांची आहे. म्हणून,
३९ भाग > '५८५०० रु
ब ] भाग न विपी. १५०० रु.
.__., (वोग्रकोच्या वांटणीचे ५ भाग -५%१५००२- ७१००
०" पसर. पत्येक पुलाचे बांण्ये ६ भाग -6>९१५००२.५०००
त्येक भळीच वांचे ४ भाग -४>१५००र.६०००
9९ भक्ष. एक काम ८५० याई लांब २४ दिवसांत पुर
करण्याचें आहे. त्या कामावर १८ मनुष्ये १9 दिवस खपली

प्रॅ्रसंसुंदाय, | २४३

आणि त्यांनां ३३० यार्ड काम मात्र प्रे केलं. बाकी राहिलेलं
काम मुडत(व संपण्यास कामावर अधिक किती मनुष्ये लावावी |
ळागवाळ ?
खळासा. अकरा डविसांत ३३२० याई काम १८ मनष्यांनी
१ळ आण बाका काम ५२० याई आहे, व मुदतीचे शिवस
१३ आहेत, ह्मॅणन
कक तण ष्य
सम. पेरा र्या | 4. १८म 4 २७ मनष
पैकीं १८ पूर्वीची आहेत म्हणून, २४ ह्यांतन १८ वजा जातां
६ राहतात. हां नर्वो मागथ लावावी हे उत्तर

3३ प्रश, एक ससा आपल्या ८० उड्या कुत्र्याच्या पुढें
आहे. त्याच्या मार्गे जो कत्रा ळागळा आहे त्याच्या दोन
उड्या जिवक्या बेळांत होतात, तितक्‍या वेळांत सशाच्या तीन
हतात; परतु ससा [जवको जागा दोन उड्यांत घेतो, तितकीच
रजा एक उडत घेतो, तेर सशाच्या कितव्या उडीला त्यास
कुथा गांठीळ तें सांगा

झळासा, सशाच्या दोन उड्यांडइतकी कुत्याची एक उडी
छाव आहे, आणि सशाच्या तीन उढ्यांच्या वेळांत कत्रा दोन
उड्या मारवा, हणजे सशाच्या चार उड्यांडइतकी जागा घेतो
म्हणज सशाच्या वान उड्यांत कुत्रा त्यास त्याच्या एका उडी-
इतक आटापती अर्त हरले पाहिजे- अर्थात ससा आपल्या ८०
उड्या कुत्र्याच्या पु: आहे, वतितर्के अंतर नाहींसें करण्यास स-
शाला८२>%२३२- २४० उड्या माराव्या ळागतील; म्हणजे
सशाचे २९२>वे उडीस त्याळा कुत्रा येऊन गांठीळ हे उत्तर

४ पक्ष. एका मनुष्यात ६००० रुपयांना ४०० जनावरे

विकत वेवळीं. त्यांत कांही बेळ व कांहीं शेळ्या होत्या. प्रत्येक
बळाला ५० रुपये, आणि प्रत्येक शेळीला १० रुपये, असे प-
डळे; तर त्यार्ने प्रत्येक जातीची जनावरें किती किती विकत
बेतळीं तें सांगा

२४9५ ऑॅकॅगाणिंत॑.

खुळींसा. जॅर सवच बेळ विकत घेवळे असते, तॅर ६०००
रुपयांत "प: १२० बेळ विकत आळे असते; परंतु एक
बेळ कमी करून त्या ठिकाणीं ५ शेळ्प़ा घातल्या भअपत्या, तर
एकंदर किंमत तितकीच राहून एकंश्‍र जनावरांची संख्या मात्र
४ नी वाढली असती.

परंतु आपल्यास १२० बेलांची ४०० जनावरें करावयाची
अहित आणि एकंदर किंमत तितकीच राखण्याची आहे; हणजे
१००-१२० - २८० जमार्बेर वाढविणे आहे.

परतु एक बैठ कमी करून ५ शेळ्या बेतल्या हणजे एकंद-
रींत ४ जनावर वाढतात, तर २८० जनावरें वाढविण्यास
२८० > ७० बेळ कमी केळे पाहिजेत, आणि त्या मोबदला
७० > ५. १५० शेळ्या घातल्या पाहिजेत.

अथात्‌ १२० बैलांतून ७> बेळ कमी केळे हणजे ५० बेळ
राहतात, आणि त्यांबद्दळ ३'५१० शेळ्प़ा आल्या हणजे १३५०
शेळ्या -- ५७० बळ > ४२० एकंदर जनावर होतात; हणून

उत्तर ५० बेळ ब ३५० शेळ्या इतकीं जनावर विकत घेतळीं

१५ प्रश्न. ६०० पुरुष आणि २३३५० पोरें ६५ दिवसांत जि-
तर्के काम करितात तितकंच काम ५२० पुरुष ब ११७० पोरं
यांच्या हातून १1०७ दिवसांत होत आहे; तर अर्से दाखवा कीं
एका वेळांत दोन पुरुजांइतर्के काम वीन पोरं करूं शकवात.

खुलासा. बिळळे पुह्ष व पोर यांचे काम ६'५ दिवसांत
६५ पट होइळ ब १०७ दिवतांत 9०७ पट होईल ह्मणून,

६५*१६%७००पु. :- ९५><२२१९१०"पो.>२१०७><५२०पु.--१०७>११५७०पो.
हझणजे.९९००० पु. - १००१%०पो. ५६४० प.-- १२५१९०पो
स्थ. १५०१९५०पाो. - १२५१७०पो. -. ५६५०० पु.-१९००० प
वी २५९६०पी. स १६६५०० प
<३२०नींभा. .'. २पो.>-२ पु. हे उत्तर.

अथवा ६५ आणि १०७ यांचा साधारण गुणाकार ६९५५

आहे; ब आपण एकंदर काम विवर्के आहे भर्गे मानिलें तर, .

प्रभसयुदाय, | ३४५

६०० पुहुषं -- २९५० पोरं हॉ. ५ दिवसांत £ ९५५ -- १०७
काप करतील. |

५२० पुरुष -- ११७० पोरें ही. १ दिवसांत & प ६५
काम करतील.

वरील रकमेतत १२ नीं गुणिळें आणि खाळचे रकमेस १५
नीं गुणिळे तर,

७८०० पुरुष ५- ३००३० पोर 9 दिवसांत १०७ > १३८
१२१९) काम करतील.

ब्द०० पुरषजन्ी»९* पार जे तदवतात वप वक
९७५ काम करतील.

वरील रकरमेंव खालची रक्कम वजा केळी हणजे १९७९८०
पोरें 9 दिविसांत ४१६ काम करतील. ह्मणून,

१२४८ पोरें ) दि. ४१६ काम कातील ह्मणून ११७० पोरे
१ दिवसांत ३९१० काम करतील; पातु ५२० पुरुष -- ११७०
पोर्रे ) दिवस ६'५ काम करतात, ह्मणून त्यांतील १५७० पोरांचं
काम वज द्ळें हमणजे--

५२० पुरुष एका दिवसांत २६ काम करित असे झालें.
हणून 4 काम करण्यास २> पुरुष लागतात अप दिमतें.

परंतु एका दिवसांत ११७० पोरें ३९ काम करितात हणून
एक काम करावपास पोरें ३०२ ळागतात अधही दिसतें.

सारांश २० पुरुषांचे काम ३० पोरें करितात ह्मणजे २ पु-
रुषांचें काम ३ पोरं कारेतात हें उत्तर झाळें.

१६ प्रश्न. एका गहस्थाजवळ दोन घाडे आणि एक उत्तम
प्रकारचे ५०० रुपे किमतीचे जीन अथे तीन पदार्थ होते. हँ
जीन जर एका घोड्यावर घातळें तर त्यासुद्धा त्याची किंमत
दुसर्‍या घोड्याच्या दुऱ्यट हो$, आणि तें जीन जर दुसऱ्या घो-
डयावर घावळे तर त्यःसुद्धां त्याची किंमत पहिल्पा घोड्याच्या
तिप्पट होई; तेव्हां त्या बोड्यांची वेगळाळी किंमत कापर असावी!

खुळासा. जिनाची किंमत ५०० रु, भाहे, तेव्हां पहिले घोः
ह्यावर जीन पातले तर -<

२१४६ श्नंकगणित,

१ ळेधो. किं. प. ५०० रु. > २ पढ ररे धों. किं.
प्रत्येक बाजुस १००० मिळविले तर,
१ ळे घो. किं, -- १५०० रु. ८२ पट २९ रे घो. किं.
-*- १००० रु,
दसरे घोड्याबर जीन घावळें तर--
२रे घो. किं. -- ५०० रु. >३ पट १ ळे घो. किं.
दोन्ही बाजूस २ नीं गुणिले तर-
२ पट ररे वो. किं. -- १०००२ रु. > ६पट $ छे धो. कि.
परंतु रेपटररे घो. किं.--.१००र२रु.-- 9 ळेघो किं.
| प. १५०० रु.
,, र पट ले. घो. कि. १ ले घो. किं. -- १५०० रु.
दोंन्ही बाजंतव १ ले घो. कि. बजा दिली वर-
५ पट १ ले धो. किं. > १५०० रु.
हणन १ ले.घो. किं. > ३०० रु. हे एक उत्तर.
आणि १३०० -- ५००२ -_ ८००२ २ पट ररे घो. किं.
हणून ररे घो. कि. - ४०० रु हे दुसरें उच्र.
| | २ री रीति. |
एक घोडा ब जीन यांची किंमत २ तर दुसऱ्या घोड्याची
१; हणजे दुसऱ्या घोड्याची किंमत तिघांचे किमतीच्या डे बरो
बर आहे. तर्सेच दुसरा घोडा व जीन यांची किंमत ३ तर प-
हिल्या घोड्याची १; झणजे वतिवांच्या किमतीचा ३ बरोबर
पहिल्या घोड्याची किंमत आहि. आतां तिघांची किंमत १ धघर-
ल्यास व त्यांतून टै ब ३2 वजा केल्यास बाकी जिनाची किंमत
राहील ह्मणजे १ - (३ -- टे) " कंथ ही जिनाची किमत
झाल. पण त्याची किमत ५०० रुपये आहे. हणन
: च ५: ५०० ६ ४०० रु. ही दुसर्‍या घोड्याची किं.
वे वद दै: ५०१०; ३०९ रु. ही पहिल्या घोड्याची कि.
हें उत्तर,

_ अंश्भसशदाश, द४'७

१७ प्रश्न. दोन संख्या अशा अहित काँ त्यांची बेरीज ४३०
होते; आणि एकीचा ३, ड आणि हे हे एकंदरीने दुसरीचे >, ३
आणि टे यांचे बेरजेबरोबर आहेत. तर त्या दोन संख्या कोणत्या!

खुळासा. टे -- डे -- हे 0€- पतर. य डेहे 9१. या-
वरून असं दिसते की, एका संख्येचे इ, डे आणि 2. यांची
बेरीज त्या संख्येइतकीच आहे

हेणिष्ेयीहेफी ट्रणारिय्छ्े :॥. यावरून अस दिसतें
कां, दुसरे संख्येचे ३, टे आणि डे यांची बरीज घेवळी तर त्या.
संख्येच्या दिढीार्ने येते; परतु ही बेरीज पहिले वेरजेइतकी आहे.
झणून दुसरी संख्या पहिळे संख्येपेक्षा दिढीने लहान असळी

पाहिज

४00). क 0

असले पाहजे. या दोहोंची बेरीज ५ होते; भाणि आमचे
प्रश्नांत ती बेरीज ३० आली पाहिजे ह्मणजे ६ पट अधिक
आलां पाहिज. ह्मणून इच्छिल्या संख्या ३: ६२ १८ आणि
२> ६२१२ ह्या झाल्या.

१८ प्रश्न. दोन झाडांबर कांहीं पोपट बसले होते. एका
झाडावरचे पोपट दुसऱ्या झाडावरच्या पोपटांस अस हणाले
की, जर तुमच्यांतळे ७ पोपट आमच्यांत आळे तर आह्मी
तुमच्या व्प्पिट होऊं. त्यांस दुसर्‍या पोपटांनीं अर्स सांगितलें
कीं, जर तुमच्यांमधीळ ७ पोपट आमच्यांव थेतीळ तर तुह्यी
आह्ी संख्येनं सारखे होऊं. तर प्रत्येक झाडावर किती किती
पोपट होते तें सांगा.

खुलासा. भश्नांतील दुसरे प्रतिज्षेतमाणें पहिळे क्षाडावरचे
सात पोपट गेळे हणजे दुसरे झाडावर ७ पोपट वाढणार
दोन्हा झाडांवर आतां बाहेरचे सात सात पोपट आणन घातळे
तर पाहेले झाडावर तूट पडलेली भरून येऊन दुसरे झाडावर
मात्र १४ पोपट अधिक होतील, ह्मण |

प. झा. पो. दु. झा. पो. -- १९
भझाणि दु. झा, पो, > प. क्षा. पो. - १४

२४८ अंकगणित,
या बरोबरीत दोहींकंडे सात सात पोपट कमी केळे तर
दु. झा. पो. -७२प. क्ला. पो. - २३
परंतु, प्रश्नांतील पहिळे प्रतिज्ञेममाणे दुसर्‍यांतळे ७ पोपट प-
हिल्यांत आले ह्मणजे पहिल्यावर, दुसर्‍्यांतीळ शिळक राहतात
स्थांचे तिप्पट होतात.
ह्मणजे, | | |
य, झा. पा. -"-७> ६३( दु. झा. घो. - ७)
परंतु दु. झा. पो. -७ प. झा. पो. - २१ |
', प. क्षा. पो. -- ७० ३ ( दं

कुर्ति ुत्रे
र
लग्न
1... री
3 हाऊ
र्न
1
|
्व्व्न्ट

: ( प. झा. पो. ) - ६३
प. क्षा. पो. २३ (प. झा, यो. ) 7 '४०

'., प. क्षा. पो.--७०- ३(५ पो.)

आतां. पहिळे झाडावरचे पोपटांत ७० मिळविल्याने जर
तिप्पट पोपट होत आहेत, तर ७० ठे पोपटांचे दुपटीबरोबर
असले पाहिजेत; म्हणजे पहिळे माडावरचे पोपट ३५ असले
पाहिजेत; हें एक उत्तर.

पहिल्या झाडापेक्षां दुसऱ्या झाडावर १९ पोपट कमी आ-
हेव, ह्मणून १५ - १९ > २१ हे दुसर्‍या झाडावरचे पोपट हे
दुसर उत्तर.

| २ री रीति.

दुसर्‍या झाडावरचे ७ कमी माळे तर सथ पक्ष्यांचे * पक्षी
त्या झाडावर राहताव. व 5 नवीन आळे दर सव पक्ष्यांच्या
> होतात. आतां अशी कल्पना केळी कीं, प्रत्येक झाडावर
बाहेरचे सात सात पोपट आणून बसविळे तर पहिळ झाडा.
वरची तट भरून येइळ व दुसर्‍यावर मावे १५ पोपट अधिक
होतील. हणन 2 - टे > हे बरोबर १९ पक्षी .'. सर्व पक्षी स
५६ व रै पक्षी - ७ > २१ दुसऱ्या कषाडावरचे पोपट हें एक
उत्तर ब ५६ - २१) >. ३५ पहिल्या झाडावरच पोपट, हें
दुसरें उचतर. |

उत्तरे.
चद ु पु र > क
र

(9) ४, ६ रुपये, १५ पायळी चव ५ हे अश आणि १६,
८, १रे पाळी ब ५ रु

ये हे त्यांचे छेड: £ रु. हा भाज्य-
भाजकांचा अशक्य संबंध अ ९) बुड उ व्च्का (३)
५ . 5 . 5 १» . १ क
प! ३; डो: हंसू: कव्टवेडेवव (8), चवदा चठ्थाश:

नर

7)
तास दशांश; दोन चतुथाश भद्रे किंवा दोहोच्या आठपट ( हा-
णजे सोळा ) चतथोश; चाहोच्या नऊपट ( छ्चीस ) षष्टांश
आठ अध हावः नऊ मणाचे वाराबे हिस्स

(५) अपण परिमाण मुख्या,
9 डय
डु 2
ह,
ह. नचे
झडा डे
य |
द्व 2 ची ९ पट
हात ह
णशा
म्‌ण
(६) चढाचा चोथा भाब अथवा चतुथाश, तिसांचा
ठरर्शांश, दोन अल्यांचा चतुर्थाश, चार नवांचा पष्टांश, आठ
हातांचा किरता नऊ मणाचा डाडशांशः वराळ उदाहरणांत

रेघेचे बरील सद अंश व रंबेचे खाळीळ सव छेड. जसेः-
१४, ३० इ. हे अंश व ४, १० इ. हे छेद. ३३४ :३, ४, ६, ४
हात, इर मण. ह्या किमती. (७) अनुक्रम -सम, विषम,
भागानुबंध पूर्णाक, विषम, भागानुबेध पर्णांक, विषम, सम.
(८) कळम ३ते १२ पहा. (९) ट्रेस उत्र पाद ण्य

नजक याेड- (9०) 2 दोळे ८ मासे; “५ पे. $ फा.: ६ मण
४ पा. : ) बीत २ मठी; १५ पळेः ५ महिने; ५ सोरमास
( हणजे तारीख २) माचपासून चाळू होणार मधु, मावब इ.

२५७ भॅकगणित.

मराठी कतूंचे महिने किंवा जानुबारी, फेब्रुवारी इ. इंग्रजी
महिने. )
रेव. पू. ९

(9) ० दे, रोज? रळ. (९) व» सदरपा
“६० सज * (३) दप कोर्या, वर्ष” तरा (2)
८९७५०. १9११-५६ , ४५४७८ , 30७७४
-श/%॥ कयता

ग. पू. १०

(५१). (२) रे. (३) सद. (४) तळ (७)
अ (६) पडत (७) “क. (८) स्केच (९)
सटे-. (७०) सेड. (११) पईळेटे. (१९) उेडयेट

-ी य
(१३) विले । (१४) स्हेदे),. (१५) 8 (१६) इ
(3७) (द) वदे" (१९) द शेण) तट्ट
(२१) ६. (१२) य. (१९३). (९४) सदा

घु. पू. ११,

(५१) शदे. (९) ७बे. (२) २४७ (४) २६टेऊ
(५) १६३३ (६७) ३२9७ (७) १०2. (८)१५- (९)
उ” (9०) १४१३६. (१9) "पदे. (१२) ४९१७३
(१३) ३८. (१४)९०- (५१७) ३५३ ३-८ (१६) २पपपऊ
(७७) शीत (वेद) पवत (32) :२600८ (९०) रट.
(२१) दडे. (२९) ३. (९३) १३३- (२४) १4% (२७५)
टे. (९६) १३९ (२७) ३३

उ. पू. १४.
ति ष्ट १2
(१) दड, ११३१ १७2 व उ? ४६१ शध (२)
२११. ६१३ ८ व -..१२५_. _५_ ६४० 3२०
वश वेट १३९व वषण? वुड (डे) हेरेडे? रेडे?
१२८७ ६६७३४७ ३२० 320 3720 5-0
इदेड १ इरई कव सवप? बरा (४) अपण?
सः २९१. ७” 3२० ३२० १२८७
दृ इर? दरड) प्हक्तने इर? 6१: (७) १२,

उत्तर. ४१८५

९५. ३६, टंट, २० (६) ८०, ९६, २२४, ५८, ७६८. (७)
२१, हॅट, ४५, २८, १५३; 3४, ३०, २१, ३०, १६- (८ )

र,
धा --
४८१ ५, वप) ६

६७ ४७७ तट ५ ९७१० ट्ट ळय,

( १) टश टश टेड & २१ । डु? घेई रेप, ( 1. १
टर र 0... ४ १६, २५८. १३
२:८१ १८७५: जवषणर' रट्ये (४) दडे रर, रे (७५)
3.0८. ८८, २६, १ 30920, १५७४० १९७०१८
१८?) पै २? वंद (६/ झळ) कळी ) र,
२ २ र्ट त ट्ट ५ ट्ट
कब (७) पुडे १२) दर्ड ३े७दे, १६३, ७०६ई- (८)
ऱ "> १३ १५५८ ११
४९१ वदवड? वुदेठ इ १ टोड? पेड (९ ) २०; १८३, २१५३१

१२ ५४ १७ > २ त:
४०१ १००. (३०) इट? हेड घोडे दे; ४३८) हः इ जट
चछ. प्‌ 7 “री ।

उदाहरण ) पासून 4) अखेर संक्षेपरर्ष देण्याची उदाहरणें
आहेत. अतिसंक्षेपडप एक होईळ; पण संक्षेपर्पे अनेक हो-
ताळ; कारतां सर्वांची उचतर शिक्षकाने मळांपासन काढवाबी'
दढूलल्या उदाहरणातील अंश व छेद हे अविभाज्य संख्यात्मक
अवप्रवरूपानें लिहावे हणजे असं दिसून येईल कीं, अंशच्छेटांत
जवके साधारण अवयव असतील तितके प्रकार संभ्षेपर्याचे
होतील (अ. भा. कलम १६८ पहा. )

दर ><२><३><३><३%३
उदाहरण घर स चालल
२><२><२>२)<३>३>५

४, ट्रे, (५१३) उडे, 3, ६,

ञ्ये “* (१५) १ झडे *
शेड (१७) दत? दै?
३९) डई१ इस्त्द ऐई. (२०)

1.4०

णु उ
८51० ल

“प्श

»€चे
-- ६६9

प

० ज्यु9

“४४ * ११]
१४,०७१ "2
४५

भीती
9
ष्च्न््ल्
तया, शती
४, १
» ६४,८७7

स्व्न्या
शं

इ३१

न्ऱ्क
ण) 0]

जण. 300०८
(३) 1३ (२) अपरे (३) बहे (8) ४. (५)१८६

२५२ अंक'गणित.

(६) ३. (७) ४. (८) १५७३. (९) ११. (१०) ३डे,
(१9) १६३. (१५) ४३३६ (१३) २३. (१४९) ६४
(५१५) टे. (१६) हॅ. (१७) ६७३. (१८) १च. (9९)
७>४* (२०) १७०८- (२३) २८: बहु ( २२) ३फवश'
(२३) इव्डळ (२९१) ११ रेदेईते (२५) व्दैदैश'

झ. पृ. २४.
पुढच्या ६ उत्तरांत भाजक लघुतम दिला आहे. केवळ सा”
धारण भाजक धरल्यास उचरें कशीं भनेक होतील ते शिक्षका-
नं दाखवावे. |
१०५, १४०, १२६१) ६०

(9) लु
( ) १९२५, १२२०, १८४८? १९२५४५) २२९] टर,
२३४०
१६५१ १८१) २०१ २३) १८५ ८०, ९२७, १२९८
( ३) २९ ( ) १४४
ट, २८, ३१०, २) ६०) ४५९, १६१ 3९
यामाचनयालाचाचायायाचाचाताशभचाक जातकाला काक & लळा रया ायाळका्ामकामाधक ७
(५. न (६) प
( हड ) ६२१, ८८, 3०२, ७६, आद.
१४४
(८) 1९६२) १०८० १४४) २४, ] २
२४३
(001 00
१२६९ |
(५०) टक्क तप ९०९३ लले) २०० ०0
व १०८०

५१७०, ६२०१ २ -|
(५१५9) १) ठरे १४०१ ६२०१२) ६) टाल ०१ २७६०१ २९०

उत्तर, २५३

र्व 00 ल तेरी,

७५६०
( १३ ) १६८, ३१३८१ टा ४०८, ४३'५ |
ही २७३५ ४० विचा २९४, १११_
२६०, ४२४, २४५, ९००, ६४५, ५७
( १५) कहो ह
(१६) च्य (१७) चढत्या कमाने र्ट
इऊारये , वृऊ' (१८) चढत्या क्म ने उ, रेट ) देय.

| १---५-७
( १९) चढत्या क्रमानं इं, उ, २० वते ) टे, वढ' (२०)

ऱ्

ऊं
(११9) रे (२२.) डड, ७क्व' (२३)
2" (९५) चढत्या कमाने वळि,
२०.

(९) उरे (३) रेटे' (४) रडवे. (५) स्वोळ्े'
(०७) रेव (८) ( ९) २ केळकर
कव ३ वा (३१9) दे १2 (१२)
( ३३) १ की षः (५७) "१ 0१७,
१३दरेडेडे (५१०९) १८२ेडे १३ कळप (१६) ३४३ट्रेटेडे, (9७)
ट्र2* (१९) १२वद् (२०) २जव' (११)

(२२) इट १७३९४. (१३) १२६. (२४)२३६.

(२५) ३३३ (२६) सर्व हिस्से. |

५9 ्ऱ
*(७) ६ र

ह ऱ्ळ
|-०

ण 4॥>3
><|ण/ .3७

, “6७ ॥॥०.

1७ .,,

च भु
७
४*|

ह

):/०,॥४॥७ 0 “९
*्€ >“
टॅ ३७
७४७ «०० चका

| ( 9८) दाहक

र" “0"* ७१ “१ “१ ७०-००. ह
७ «७ 6०० 8 ४७ “00 6609

२.” २००”

छी ४४

२१५
3९ ४७ ी (» ८.६ ९ नरक,
इ रड; २८८५रव्जे (१४) २५००२ ( ५७०)
) १३३० (9७) १०९२.

ट्र
111 ककत कोव
जडच वी ४) ३८ ४ ( र ) चप:ः९२८ (६७)१६: ३)
60. व १४ उप? २१३ :२. (८) १०१३६5 सरकु?
२व्डा र & ) त १ कळ ( ह ०)१. (99) दावि
( ० क २) व? कणप 3 ४ ) वग, (9१)
। . . ६) पवे (9०) ५३ इडरेडे (१८) रेरा
यऊड'

(९) ३; ७३दे. (१०) सले 9ट्रे? तेज्या (99) १:39.
(१२) उई; उडू. (१३९) ट्रे स्वतेज शदे. (9४)
३ शर रेदकेदे; १४डेशे (१५) पडेडे; २. (9६७)
११. टेरर. (क) जु तुटे, (वेद) देवः ११९)
१५. (२०) इ४. (२9) ३ (९९) १. (९३)
रेरेरे' (२४) २.

ण. प. ४७.

ट्र

८१)९४सखं.2म.(२९)७गुं. र. आ. (३) २५.१८
प. ४५ वि. प. (४) २रु..११ आ. ४दूपे. (५७)१७शि. कपे
( ६) बेरीजः- १७ शि. ७पे. २ फा. वजाबाकीः- १३ शि
१०पे. रफा.(७)६फ.९पो-रया-(८)१२आ.५ ५.
(९) ८७५०३ घ-इ. (9०) १ दि. ६अ. ११३३ मि
(9१9) ९ खं. दे मण. (9२ ) १५ हे वे. १३ पा. १२ आ?
२ रू. २१ पो. २४ चौ. या. ६चो. फू. १०८ चौ. इ; ५फ
३२पो.१ या. १ फ. ६ इ.; १८ पा. 93 या. (9६) १६ता
१९ मि. १२ से.: ३७ पो. २० चौ. या. ६ चो. फ़. १०८ चो
इ.. ३ का: २३ए.१क्ा.रेने. देई.(१४) १०९ दि. १३ता
२० मि.: १ क्रा. ६पो.: २ दि. १) ता. ११ मि. (१५)
१ ग्या.:२० चौ. या. ५ ची. फ.९० चौ.इ. (१६) ८ पों- ५ शि
६ पे.: पो. ० शि. ८ पे. १ फा. ( १७) २ क्रा. १७ पा.
१ ऑ. १९६द्रा., १२हे.वे.२ का. १४पों. १०ओ. १०३द्रा
(१८) २मे. ६ फ. २२ पो. ३इ.; 3००ए. ३२.१७ चो.पो
(५१९) ५ दि. २२ता. २३) मि. २१३ से

त. ५...
(१) १५. (९) १ (३) वेव (४) वजा जात नाही

१३३ याने अधिक आहे. (५) अर पो. ता; वोडव पो

क

अवा. (६) १५३ ६हे.वे.; ईटन. (७) ट्रे का. (८) व्येहे
वे. (९) दरक मे. (9०) ववे. (११)३ (३२) १६९ (9४१) "डे

१५६ झंकगणित.

यथ. पृ, र:
(१) १४७० हांडे. (२) ४०मो. (३) १ रक फरे. (४/
११ट.४का. १ बु.३ ग्या. १ पा. (५) २४$२२> (६)
'ि' (७ ) १ ख. ६ म. ४ पा.

दू. पू. "४
(9) ६ता.; ३ दि. १२ तास. (२ ) ४ शि. ३पे.; १ पो,
१४ शि. ६पे. (४) ४५ या. ४४३ फू. (४) १पों. > औ
३पे. १६ग्रे. (५) २१ पो. ६ ओऔ. ८ द्रा; १७ है.वे. > का.
२४ पों. १४ ऑ. ३६ द्रा. (६) २६: ७कज (७) १५पो
(८) २ ए. २० पर्च. (९, १७२ चांद्रमास.

ध.प. ६३१.

(9) ३५; ४०७; '१; ६०१८; '४; '६३; "१४
*३१"९ र "शे > “००००१५, ( -4 ) २८२८५८७ ग ५०"९७००४6
*2000७०९ ढु “०००८००६१०३: ००९४६०८. ( - ) द४"०३
४०००४"७१५; २८०४; ७००४; ९००८. (४) ४७'८५१४ >
६'०४८००५२, (७) व (६) हीं उदाहरणें शिक्षकाने मुळांकडून
' बाचून घ्यावी, (७) ८००३०५६; ८००३"०५६:८००३०५६
(८) '१७२८; १७'२८; ५२३६०२.(९) ७२५६: ०७३५६

०३७१ ०००१३१७१६५. (१० ) ५७३२४; ।०१३
०००००१, (१५) दडे न ह दध नटे; बकवा
3

च्च्ोड चती कि व्यक

६; हि: ७० “””
टे 1 टे $ रे ण्तठड >. प कटे प (५ ५) पु७वठाठळेठ प काहृवळ$
पु डेटीटेट म करके ; वतवन व्णबरचा (१३९)
१२१५७० ; ९दुकव० 2 ररे ( १ 3 ८९ वय ज़
१ २४७१७०” ( 9१) "७; ११७; '२३; 9०१५

ढु द ०५८००१०
(१६) ०१ > ०२९१ $ ७1) 24: ००००७०८ ( १७ )
३००३७. (१८) १'१११११. (१९) १३००००५.
(२०) १०'११०१०१. ( २9 ) क्टेटेळ ; चव; हे;

ब्न्टे
नळी

उत्तर, शु

> | १ 2

दर? रशेवहेवेव. ( श्छ ) १पटेटे $ त वाडा - ४
न. पू. ७४.

(१9) ३१४५४५१. (२) ७८२'८५९७४. (३) ३७५०११३
६१४२१३. (४) २९९२'२६२२१२३. (५) १९००२;
३४४९०२. (६) २११२२३५; २१४०९०००१३. (४५)१९'०००२;
कळ र.) गळला.) दद
२७९८८. (१०) '-०३१२१२: '२१४२१५. (१9)१६' ६०९९२८४,
(१२) )'५ ६२५५६३. (५१३) ६'१७१२१५५६. (१४) ।*०३४२५३.
(१५) ३१४१५ हें मान घेतळें तर १ द्शसहस्त्रांशाच्या निंमे-
हून जास्त कसर सुटेळ ब ३११४१६ हें मान घेतलें तर एक दश-
सहख्रांशाच्या निंमेपेक्षां कमी कसर घेतळी जाईल, हन
३१४१६ हे मान घेण्यांत चूक कमी होईल. |

प. पृ. &&.

(9)७२३'६; १४६४५६१. (२) ००००००१; ७४१५१.
(४) ०७५०७४; ०००६०२. (४ 3) ०५१३०१४; १५. (७)
५३१४४९१. (६) ४९०९६ (७) '०००१२३४३२१. (८)
:“5००५४९९१८. (९) ०१७७७७५; '००१. ($०)१२'६६८१०६:
२३६८६७६; ००१. ( १9) ०६७२; ९५६७०९.

फ. पृ. ६९.

(9५) ६२५; ०००६२५. (२) ६२५००००;'००००६२५.
( -- ) १९९०००० ३ ८३. ४ 3 १८५१५ २१०. ( ष्ज ) ४०००:
८७८२९२०६२५ (६) २४७३; १२००. (७) 2००9४५६२३३
७११६८५८०. (दट) "०१२२६९९ इ०; 9१५६८६२७३८. (९)
*३४८८२७८:१०००३८३१'७४७५३०३० ,(१०)२९०:"०१४९७४६०,
(99) १०; १००१३ १५४५; 1१)००००.- (१२ ) २१'३२;
२५०००००: “००७९९९० ००९९९० ६०, ( ५३ ) ३१०५. ( ६४ )
-००२१३ इ०; ००६५००८ इ०. (9१९५) ६०३६० $०३
९१३३६ इ०. (१६) ३१०६८५३ २९९४९० (१७ ) १४५३

श्ण्ड छकगाणेत,

२२९६, (१८) '०८६९०४; '२००११ इ०, (१९) '९; ट५'१;
३२६४. ( २० ) २८१२'५, (१9) ९६१'६८३१२३२१,
(१९) ६४००.
ब. प. »&.

(१) *०९:' ०५२;'५'२५;१ ६. (२) ८४८;३१३'०११६३१'५'६२'५;
५'१८४५५. (३) ७'२०३१२५; '१३२८१२'५; ००१५६२५;
११9१००१६९६. (४) ०२०१९५३1२५, १०००९७६५६२;
'००९२८५७१४;'००१३६७१८७५, (५) 1१७०५८५; ००२१६;
'३१३२. (६) 9१'४; ५७२; २'३४५; '०१२१६. (७)
२'९२८५७१४; ५०४५; '०६३२; २३१५६. (८)
“००८९; ५'७६१९०४; १५१२९३१; '१२३४५; (९)
“2३६४८; “१००३३७८; ७०८६९) “०२०५०२ £ ( १७ 3
'२५८८२२५२९४११७६४७; '०४९२९७८२६०८६९'५६५२१७३९१३;
'०२१४४८२७५८६२०६८९६५५१७२४१२७९३३१; '०२२२५८०८६४५१६१२९ ;
(३१) -दे; "४५-४८; '९८७६५९३२; '०१२३४५६७९- (५२)
1४५१ ४'७७२:'००२७६३;००८२६४४६२८०९२१७२१५५३७१९.
(9३) 5५५: '०४९५; २४३१९०२; '5९२२५, (५१४)

क

१४२८५७; "०७६९२३; '3०३३६७; 5०२४५७.

(9): मर: कव: उऊ (२) कट्टे? वदण रेण्येटेड;
र र ४ज्य : (३४) इंच; उव: १ पच वकटन्य प्रे)
वषपेढ हेईेरेक ? रेप; घडल (७) रेव; शेटेडे
जेव (६) सवड? पेटे; ११हेड

| म. पृ. ८४.

(५) ४३०४] १४५५२८६. (२ ) १६८'६९६८३५५८७.

(४) '२४; '०३२७११६५. (४) ८८५७१४६; ३८५.

(५) ९९२८; २२९७. (६) ३१७९३१ ; ३५२'०८५६४.
(७) ३६: '०५२ (८) ४९ ११४

८ ती

नर, ढळे

पु. (ने

(१) ३१०७; २६७'९१. (२) ६९९०७५५ २'२४७. (३४)
२७००२९५; १५'४९५६४६ (४) १३०८१०२०३७. (५)
१९२७'६५६८८. (६) २२५१०१. (७)३१*४९६. (ट) १०२०७११,
(९) १३१६२. (9०) ६९. (३१) २; ०; ०६ २. (3२) ०७: 5१3.
( १३) १९७२; ३६७८; १८१९. (५१६४) '२३; २:
३'२७. ( ५9५) २३८२३ २2२३: ६४२३. (१६) अडवू
१३० : ६२९८. ,(३५) १२२५२; ४४ (३८) ११०१८ ;
११५९६: १३१४९९७. (१९) १११५८६६; १1५४४३२१५८
( २०) १६'२११२: २९० ५५०९७४. (२१५१) ७२पेटाटटटटट,
१८९६७: २१९८'५द१८३. (२२ ) ३०८३ ; वरः २३)
०००२९३८. ( २४ ) पहिला महत्तम, दुसरा लवुदम. ( २९५ )
११२०'११२०००१९. (२६)२८८७८२१३. (२७) चढत्या करेमान
उऐटेटे; ३१०१५९२६ आणि २ - यदा ( रट) '३६ ८५

न

१*११५ ००९. (२९) क '२९९९९%;: ख "1६८६८८
“2०९७०५९; घ१"७१८२८३१३ उड '२०>>३२: ऱ्च टे

प 42
(१)५॥एो.७पे-रफा.(२)५पा.० री. श्‍ेश्‍्प (३)
१७ आ. ० दि. ९ अ. > मि. एवब से (४) ४९७४४

चो. फ़ (५) ॥ रू. २९ पो. २८ चो. या. २ चा. फु. २३६ज

यचा. इ (६) ७२५७०७ इ० टन (७ 3९५५७१५ %"२'2 ३७ गि

(८) “०५८२५ कास (९) '०२'४४९९६८७"५ ताळ ( ७० )

-०४७२ (५५ ) ९०७८ याड. ९५२९) १२ चांद्रमास, बाका
१०'८८२९५२ ढवस

| ळ १०९
( ५ ) २१३२५ ( र ) ७१८"५१७१'टरट ( - ) "०्टऊ
(४) २६९६२५. (५) १०१५८८>५ (६ 3३५९२१५ (७)
कुद (८) २१२८४ (५६ )१२०९ ही रोरातरा हाल ती”
णजे *९२१ सरासरा कमा हान्ल,

६६: ग
११२

९६९ हकाणित्व,

व. पॅ. ९१९.
१9) ६ पेन्स. (२) १५३ कोस. (४) ३०६ दिवस. (8

६ पेन्स. (५) ६ शिविस. (६) १३ दिवस. (७) ६टरु
४ आ. (८) २पॉ. २ शि. (९) २५ मनुष्वे. (१०) ३०१ पो.
(१५१) १२ पेनिवेट. (१९) ५४ रु. १० भा.(3३)३२३ भा. २
(५४) ७८३३२. ५आ. ९ पे. (9५) ५०४० पों. (१६)
३१७८३यप पा. (१७ ) २८६ ५ मेळ. (9८ ) पहिल्यांत नफा
(9९ ) ३ेदे तास. (२०) १९३६ दिवस. (२३) २३३ दिवस
(९२) २३ मिनिटे. (२३) १० डिविस. (९४) ७५ तापत
(१५) १८ दिवस. (२६) ४६ होद भेळ. ( २७) ४ वाजून
२१ व मिनिटांनी; ६ वाजुन १२८६ मिनिटांनी: ९ वाजन
४९ मिनिटांनी. ( २८) ४ वाजून ५-४ मिनिटांनी व ४ वा-
जून १३८३ मिनिटांनी; ७ बाजून २१३५ मिनिटांनी व ७ वा-
जून ५४३ मिनिटांनी; १9 बाजून १०२३३ मिनिटांनींव ११
वाजून ४३३१ मिनिटांनी. (९९ ) १ बाजून ३८६४ मिनिटांनी
४ वाजून ५४ मिनिटांनी; ८ वाजून १०२१ मिनिटांनी
(४० ) १८०० पे. (३३) ५ शि. दपे. (३२२) पो. १६ शि
(४३) २६० रु. ९ आ. ७रे पे. (३४) ९० मेळ. ( ३५)
६७ पॉ. ६ शि. ८ पे. (३५ ) ७ महिने. (३५) ४८० एकर
(१८) २२३०रु. ६ आ. ४द ५१. (४९ ) ११२६८ शिपाई
(४०) ९० द्विम. (४) ) ४९२६ शि. (४२) ६ आठवड
(४३ ) २ द्विस. (४४) ३२२ महिने.

श.पृ. ९१९५.
(9)१३; रेड; २३; द (२ "जो पेट २८; ६३
(३) २३; ४ण; ४द; ७२ (४)९४८ ५३; ५६; प (५)

१७; २ख; *ड; १७2 ( द्‌ ) र; देव; दळ; १९. ( ७9 )1र:
रप; र्फ; डीजे. (८)५५:७ शट

र सेर ७ शर ट्‌ क |

१) पै ।£ पेरे १० आंबे ८ आंबे
२) १७तोळेः ६ तोळे :: २३४ ५: १२.
३) खर १० र : १८.
४) ९ £ टंट ५: १पा. $ १६ मंण.

9 र 5: ३९ $$ नो. : पी.
६)भ ३ : ५ :$ रे१ : ३५ अथवा.

| : २५ : 2२१.
७) के *:£ य १ ये ज्ञ
द) कं : ग :: खव : ख्व.

(१)३:५) ९:४९; ७५८; २:१५ २०९१५५) २)
सते शोधत दरीत खती रची (२) र यर तनी
१००१५९५८३१. (३) इंप्रजी वाचणीप्रमाणेः - ७: ९; ८) '५!
४५:११ट्रे- (४) नाहीं. (७) नाहीं. ४ पद इव्ट घ्यावे.
(६) ६; "०१! ऐ ८९२३३.'(७) ९१:८१. (८) क:ःखःगः
घ> १६:२४५१०:३'५. (९) ३२३१: ३२४. (3३०) ७२ शेर.
( ११) १. (५१२) ९:५८. (१३) अ ४२८८, ब २१४८,
क १०७२, (१४) ५२९ ११०१०९. (१५) र. ६9६ ,
गंधक १०. (१७) सामानाची किमत ८० रुपग्रे, ( १८ )
कु-याड यादव 3 या (30) २१६९७८० (२०)
३४८ रु. ५ आ. ९)३७छेपै., ४१८रु. ० आ. ७ द दऊ पे.,
२९८ रु. ९ आ. ६६७७ पे. (२३)अ १४ रु. नब १२२.

क९०रु.(२२) १५६. २ का २० पौ. तांबे, १) है. २ का.
. १९ पो. जल्ल. (२३) ८८८६ औंस ऑक्सिजन, १1) क.
औंस हैद्रोजन. (२४) अ १६० रु. ब १७५ रु. (२५)
७०० रु. अ, ६००. ब, २०० रै. क, | |

झवकगणितं.

ग १७२.

(9) ७५ आंबे. (२) १० आणे. (३) ७५ चाड (४)
२े५[मे.(५)६०फू (&) १२० मजूर. (७) 39 रु.
(८)२खं १४म.(९) ७ररु. (१०) १९_१५ वि.
(११) ५५२. (१२) ११२ याड. (१३) १२३ वार
( १४) रु. २४॥-॥२ दंडे. (१५) रु. २२-1२ १४२०१
(१६) १३ प. इश्केषे पा. (१७) रु त
(१८) रु. ५८7७. ( १९) रु. ५॥-५१५ ( २०) १५८४
कोस. (२१)१ अ १३ मि. ४६३ से. ( २२) ७२३ ए. १३
३" ) उंडे आ. ( २३) १० आ. ८3६ई पे. (२४) रु.
आ. १)इ पे. (२५)४पे. १५शि. ६१६ पे. ( २६)
१०३७ ४. (२७) ११ पो. ९ री. ४.१. पे ( रट) ११५०
मनुष्ये, ( २९ ) १८ महिने. (३०) $ वर्ष. ( २१) १७१ म-
वरष्य. ( ३२) ४ आठवडे. (३३) रु. नाना 3. ( ३४ )
२२ बि. ४ पां. ८ चौ. का (३५) ३॥ पावडर. ( ३६)
"५ र.९ आ. ४३४६५. (३५) १०७२. ६६ घे ( इट)
रहता २ (९) करर >या त्ये ( ४०)
रु. २१८-॥दटेईे (४१) १३म २३ ५ रौ. (४२)
३ आ. ११३३४३८ ३ेपै. (४३) ८म १४६०६९ शे. (४४)
बा.ख. २॥१८- बकर. (४५)३ शेर (४६) रु. ५६२५०००
( ४७) ७९पॉ. १ शि. ७>प. ( ४८) ७११३१४३ भा
(४९) १४पो. ८ रो ११कर१. (५०) २३२. १९ आ
स्क्पे. (५१) ५६०र.८ जा. ५ प. ( ५२ ) १६२० ९
फूट. (५३) ९२. ३ आ. १०2>धे (५४) १४२ु.१३३
आ. शंड्ेक पे. (५५) १२. १४ आ ३५९ पॅ. (५६)
५. ६३. (७) ५आ. २उ>ेपे (५८) १८ एरी.
हड पे . ) १७४२. १३ आ. ८४ पे (६०) १०५परु
* जान ४पे.(६१)१४० रु. (६२) ८४३५० दि ( ६३)
७५२२ चिरे. (६४) ९५ ण |

प हीत. (६५) ३२फू, १६ ;

२६९

718.

उत्तर २६५

१५२ फ. ४३ इं. (६६) २९३ ता. (६७) १२८० ममुष्ये.
(६८) ७२ दि. (६९) २८६मे. १ फ. ९कढ पो. (७९ )
७९५८रु. (७१) १ आ. ११रेडेपै. (७२) २रु १ भा.
७१पुटूपे. (७३) ६ आ श्‍टळपेऊ ४४७रु. ४ पै पोटा.
(७४) रु. १०१1८1२. (७५ ) १२६८ रु. २ आ. (७६)
५९७५६ दुकेत. (७७) १०६पों. ११ शि. पे. (७८)
२७% पै ग ठ्. ७५९ ) '५२८५९ सिकिन र टण ) र र्पो ह.” शे.
(८१) १ पो. १५२ भो. (८९) २५2 पो. १० शि. (८४)
१७०० प. : ती प.( ८४ १) 93०" बाजून २५ मि. १९ टू से.
(८५) १ पों. ११ शि. १०२ पे. (८६) ९ पों. ७ शि. १०पे.

(८७)१ ता. १०मिं. १३ेटेर स. (८८ ) २४०० ळोक. (ट९)
२ शि. ८> ५. ६१ पो. १द शि. ) पे. (९०) रदद तोफा.
(९१) १ पौ. १५ शि. ९ पे. (५९ ) २८ बायका, (९४६)
९७५०८०२ प| ( ९७) २५्टे दि ( ९०५) २हे.३क्ता. २०
पो. ५४६ आं. ( ९६) रु. १२२९॥टर्ररे १3. ( ९७) गुरुवार.
दुपारानंतर आठ. ( ९८) १०का. रे ) पेक. (९९) १५ बे
चरे. (१०० ) मंदाचा ५५५ मि. पुढ अगर जलदाचा व
मि. मार्गे सारावा. (१०१) १९०८ द्र. (२०२.) १३ ३.;
१२६ दि. (१०३) २२६८०० वर्ख (१०४) ११) भे. (१०५)
३ ता. २५ मि. मध्यान्हानंतर.
ळ. प्र. १७६.

(१)१२.८६ा.८ प:ररु. ६ भा.; २२-१४ जा.
६पे.(२)३ आ. पे. ८७ आ.:३१ रु. ११ जा. ६्पे.
(५)२झ.ब्पे५ १ र देओ रर. (४) २ भआा.$
१आ.शप; १२. ६ मा. ६ पे.(५)५ आ. ४ पे. १ रुत
छरु.७आ.५पे१ दा. (६)! 0२.११ मा.; ऐेरे रु.
१० मो; ३३ सु. १२९ भा. (७) १ फक, १९४ मा. १ म
बारुळे मार्पे, ६९. पे सो. माप. ;२रु.८आ.६ घे बा. मार्षे;
२ रु. ७ आ. ४३ पे सो. मार्प (८) ६५ बा. मार्वे, ९२ घै
सो. मार्पे ४ र. ६भा.;८आ. (९)४भा; १६ २.१४

१६४ हषैकगंणिर्त.

आ.;४२ु. आ. ६पे (१०) ११२रु. ८ आ. बा. मापे,
१५० रु. सो. मार्पे; ६० रु. बा. मापे, ८० रु. सो. मार्पे; ) आ.
३पे बा. मार्पे, ११३ पै सो. मापे. (9१) १ आ. ६पे; २आ..,
६ आ. ८ पे; १५रु. १५ आ., ८ रु. ७आ. (१२) १० आ.
क्क पे >

२ रस; १) रु. १२ आ. ६३२ईपे; ९ आ. ७३ पे; १ र. ५ आ.
9 ट्म्पे

६.3 ढं

क्ष. प्र. 1१८४.

(9)१ब.४म.(२) १२ मनुष्ये. (३) ३६० मनुष्ये.
(४ ) ४० घोडे. (५) २० घोडे. (६) ६ महिने. (७ ) ८०
मजूर, (८) २० दि. (९) ३३ दि. (७०) ९सं.९ म.
(५५ ) १२५ रिर्मे. (३२) ३ मनुष्ये. ( 5३) २४४८ रु.
(१४) ९९८ दि. (9५) ११४पो. ६ शि. (9६) ६४ म-
नुष्ये. (७७ ) ११ ट. ६ हु. ८ ओं. (०१८) २० तदे. (५९)
१० ता. (२०) १४४ फू. (२9) १९६ मनुष्ये. (२२)
१९२० रु. (२३) १० जोड्या. (२४) ११1 रु. (२५) ३६
दि. (२६) २६क्क को. (२७) १६ दि. १० अ. (२८)
_ १७खं. १५ म. ६३ पा. (२९) ३० मनुष्ये. (३०) १ ० दतक

दि. ( ३9) ३५१० पों. (३२) ८२६१. दि.

ज्ञ. पू. १९७.
र क ) २) र र हर२'९ ग दये १ त ? २१) ् १ २९'-. ( चरे ,

ऱ

अ रु, २०४८०० डव; ब रु. रेटा त्यापैद्; करु
१०६८७7१ इ (३) ४६६॥॥९, ३५०, २८०, २३३१-1१,
१००, (४) ४१७ तोळे. (५) तांबे. खं. २॥२॥८६१६ रां. 5
कथील म. ८५॥९॥॥११३$ टां. (६) १०॥३१ मासे रुपें.
(७) अ रु. १९७7॥२-७; बरु. १३७॥ "क्ट. (८)
७९३ कसार्चे. (९) १४०, २८०, ४२०, ५६०. (9० ) क्ष
रु. ७६ कज; खे रु. ७०॥(-(१३$; क रु. ५२%
(१३) सोरा ३० शेर; गंधक शू शर; कोळसा ५३ शेर.

उत्तर. २६१

(११९) अ रु. ६८॥- डेई पै; ब रु. ४७॥र्‌ेदे
(१३) ३१॥ शेर. (9४) अ रु. १०३१०८८; ब रु:
१२८॥-॥; करु. ४१२॥३॥-( १५) आक्सि. ८८९ औरस,
हेद्रो. 999 औंस. (१६) अ रु. ६६६॥-॥२; ब रु. ३३२३-1१
क रु. २०००. (५१७ ) ८५ कसाचें. (१८) १०० कस; र्टेरे
तोळे. (१९) अ रु. १६॥२ ३! ब रु. ३१८१३ेपे; करु.
१॥))॥२रेकबैरे,. (२०) अ 9०० रुपयांचा; ब ३०० रुपयांचा.
(२११)पो १२१-५-६; पों. १७९-११-०; पो. २९२-१२
(२५१) ही जिनगी १ अरून या जिनगीच्या वांटून यावयाच्या
भागांची बेरीज 9) पेक्षां जास्त होते, हणून ही इच्छा असंभाव्य
आहे. (२५) बिनकसर वांटणी होणं अशक्य आहे. (१४)
५री. खख ६शि.टपे,गटशि.श४पे.; क ५शि ९पे.,)
ख ६ शि. ८ पे. , ग ८ शी. (२५) ति. ते. १६४ शेर: क. ते
२५ शोर. (२६) प ३१'५०० पॉ., फ ४९०० पोॉ., ब ७००८
पॉो., भ ८४०० पो. (९१७) ब ३७५८ रु., फर२७०रु., र १०५
रु. (२९८) क २०७पों. ५ शि. घ्डे्डेपे.;खरर९पो.३शि
११६3 पे (२९) क्री. १००; शि. १७५; पे. २५०. (३०),
अ<८पों. ११ शि. ६पे.; ब१३पो. ९ शि. ६पे. (३9)
१9१९॥ रु. (३५१) २ हु. १ का. २१ पों.; २० ह.
२ का. १६ पौंड. ( ३३ ) दोडा 9» व्यि पिटून
(३४ ) ४ ग्या. 9 का. १ब् पिऊ ६ ग्या. ३ का. पेड
पिं; ८ ग्या. १ब पिं», १२ग्या. १ का. १ऐेडे पि. (४५)
चहा ३ शि. ८ पे.; काफी १ शि. ७३ पे.; साखर ५३ पे. (३६)
३०९४४० » ३११३३१८ » ३७७१३०. ( ३७ ) ५६, ५०, ३ेर
१६८१ ४४.
- का. पू. २9१०.

(१) १२५रुं. (१)३६८रु.९आ.ष्टैपै. (३) ४५

पॉ. (४ ) रु १७७१०७7श्ये (५) रु. ८८७०८-- (६३

२८५७ पं. १० रि (७) ७४४ रु. १२ आ. १सपे. (८)
२२भाग २

२६४ हषैेकर्गणितं.

आ.; ४रु. ९२आ. ६पे (१०) ११२२. ८ आ. बा. मापे,
१५० रु. सो. मार्ये; ६० रु. बा. मार्पे, ८० रु. सो. मार्पेः 1 आ.
चीच *> क पै

३पे बा. मार्पे, ११३पै सो. मापे. (१३) १ आ. ६ पै; २ आ.,
६ आ. ८पैे; ९५रु. १५ आ., ८ रु. ७आ. (9२) १० आ-
२ रॅस; १ रु. १२ आ. ६३ैईपे; ९ आ. ७दे पै; ) रु. ५ आ.
>६पे

रण १०

| क्ष.पु. १८४.

(१)१ब.४म.(२) ३२ मनुष्ये. (३) २६० मनुष्ये.
(४) ४९० घोडे. (५) २० घोडे. (६) ६ महिने. (७) ८०
मजूर. (८) २० दि. (९) ३३ दि. (9०) ९ख.४ म.
( $५१ ) १२५ रिमें. (३२) २ मनुष्ये. ( 9४ ) २४४८ रु.
(१४) ९९३ दि. (9५) ११४ पो. ६ शि. (१६) ६४ म-
नुर्ष्ये. (५७) ११ ट. ६ हु. ८ ऑ. (१८ ) २० तदे. (१९)
१3० ता. (२०५) १४४ फू. (२9) १९६ मनुष्ये. (२२)
१९२० रु. (२३) १० जोड्या. (२४) ११। रु. (२५) १२६
दि. (२६ ) २६क को. (२७) ३६ दि. १० अ. (२८)
१७ खं. १५ म. ६३ पा. (२९) ३० मनुष्ये. (३०) १०९
दि. ( ३१ ) ३५१० पो. (३२) ८शडन् दि.

ज्ञ. पू. १९७.

(१) २१३१) २१५५) ४९७; ५२५? २१५१ २९५. (२)
अ रु. २०४०० दर्ड; बे रु. २ट२॥च॥१-; क रु.
३०६८७7१ कु (३) ४९६६(॥-॥२) ३५०, २८०, २३ ३८1१3;
५७०,(४) 2'१७तोळे. (५) तांबे. खं. २॥२1८६३७ टां. ;
कथील म. ८५॥॥९॥॥११३$ टां. (६) १०॥टेटे मासे रर्पे.
(७) अ रु. १९७५7 २कॉन, बरु. १३७॥क्ग्डेक न (८)
७९3 कसार्चे. (९) १४०, २८०, ४२०; '५ (9०) अ
रु. ७६३ कळ; खे रु. ७०॥-!१देफः करु. '५२! ।>-८पे-छे*
(११) सोरा १०दे शेर; गंधक ३ शोर; काळरा[ एद शेर,

उत्तरं. २६१

(१९) अ रु. ६८॥- डर पै; ब रु. ४७६॥२६ेवीा
(१३) ३॥ शेर. (१४) अ रु. १०१०८८ ३3 ब रु
१२८॥-॥; करु. ४१२॥३॥-( १५) आफक्स. ८८९ आस;
हैद्रो. १99 ऑओंस. (१६) अ रु. ६६६॥-॥२; ब रु. २१३८-1१
क॑ रु. २०००. ( ५१७ ) ८५ कसाचे. (१८) १०० कस; रइरं
तोळे. (१९) अ रु. १च्यारेडणे ? ब रु. शोक्टपैदैदेः करु.
१॥॥२ (२५) अ १०० रुपयांचा; ब ३०० रुपयांचा-
(९9) पो १२१-५-६; पौ. १७९-११-०; पौ. २९२-१२
(२९) ही जिनगी १ अरून या जिनगीच्या वांटून यावयाच्या
भागांची बेरीज १ पेक्षां जास्त होते, हणून ही इच्छा असंभाव्य
आहि. (२४) बिनकसर वांटणी होणं अशक्य आहे. (२४) क'
५. ख ६शिो. पे. गटशि.श४पे.; क ५शि श४पे.,
ख ६ शि. ८ पे. , ग ८ रो. (२५) ति. ते. १६४ शेर; क. ते
२ण- शेर. (२६) प ३५०० पो., फ ४९०० पो., ब ७००८
पो., भ ८४०० पो. (९७) ब ३७५८ रु., फ२७०रु., र १०५
रु. (९८) क २०७पें. ५ रि. ब्ठेईपे.;ख २र९पों.३शि
११५६पे (२९) क्रो. १००; शि. १७५; पे. २५०. (३०

अ८पों. ११ शो. ब पे. ; ब १३पा. ९ शि. ६ पे. (३9 )
११९॥ रु. (३९) २ हु. 9 का. २१ पों.; २० है.
३ का. 9४६ पोंड वि ( ३२ ) वपक जे वकि १ दसल
(३४) ४ ग्या. 9 क्रा. १बक पिं5६ ग्या. ३ का. उेडूे
पिं; ८ ग्या. १४ पि, १२ ग्या. १ का. ऱेट्े पि. (३५)
चहा २ शि. ८ पे.; काफी १ शि. ७2 पे.; साखर एट पे. (३६)
३०९४४० » ११३३१८ » १७७१३०. ( ३९७ ) ५६, ५०, ऐेर
१६१ ४६.

, कै. रट. २१०.

(१) १२५रुं. (५)३६८रु.९आ.ष्रैपे. (३) ४५
पो. (४) रु. १७७१०्श्दे. (५) रु. ८८७८-- (६)
२८५७ पौं. १० शि (७) ७४४ रु. १२ आ. १०३ेपै. (८)

२२ भाग २. .,

“क
श्र

२६६ अंकगणित.

९८रु. ७ आ. पश्‍चेपै-. (९) २9पा. १2 रो. ३
(१०) रु. २०॥* (99) रु ५४१८-$टे- (१२)
रु, ७६११पनोरेजेड' (9१३९) १२३२४२. २ आ. उ३ 'पे.
(१४ ) ४७० रु. १२ आ- 9) उके५२ पे. (३५) ९८ रु.
० आ. ९१सेईरडिडे पे. (१६) २३ पॉ. ७ शि. ९ ( ५७)
रु. १३२४-॥पेर्ये' (१८) १२५६ पा. १० रि. देव पे
(१९) २२ रु. भा. एकव्न् प (२०) ७३३रु-. ५ आ
७१ पे. (९३) ३६ पा. १६ शि ७टखेलव पे.(५९)४पाॉ
१२ शि. वतन पे. (९३) ६५ पां.) शि. क्ट ( १४)
ट१परु. २ आ. १ऱुकटे (२५) ७१७ रु. ८ आ.
११ उपे पै. ( २६ ) २४२. १) आ. वड १ (९७) उ3_रेपा
६५ शि. ११वेदेरेटे २८) रु. १५६॥-२डपेद्रे- (१९)
३० पो. ९ शि. २शेहेरवञ्पे. (३०) ३९ रु. २ आ
१३१६६ पै. (३9) ७पौं. १० शि. शब्रेईहेगंटेपे. (३२)
१०८ रु. १४ आ. पचे पे. (१४) ७ पो. १५ शि
३३६३ देठिठे ण्‌ ड्४ ) ९ रु. १२ आ. 3 दड ठा ण
(३५) ११९ पो. १० शि. घंडेहेपेटेढे पे.

खा.पू. २9३६.

(१) रु. पानास (२) ४२रु. ४ आ. उई
(३) ३म. र्ट दि. (४) रु. ५॥- (५) २४ ब
२ म. २४३ झडे दि. (६)१०५०रु.(७) रेरु.३आ
११ दढ पै (ट्‌ 9) 9१०४९४ रु. ४ आ. &६७ं प (९) ९ रु.
१ आ. १कडपै. (१०२) ३ व. ८ म. ३े३ेटेडेजेडे दि
(११) ५० रु. ९ आ. ३क्फेपित पै. (9९) २०४्रडवेषरव
(१३) ६४८ पो. १० शि. २३४ पे ( १४ ) रु. २२१०॥॥३॥चू्या
(१५) ५९१५रु. ६आा. ९कश्कि पै. (१६) ४६० पों
१६ शी. ( १७) ४१९ रु. १५ आ. ३बेईे फॅ. (१८) ४९०
रु. ५ आ. ९पै. (१९) १२१६३ रु. २ आ. इर्कर पै- (२०)
६७८) रु. ८ आ. टर्वईज्पै. (२१ ) ८४८९ रु. ४ आ.

५६९ रु. १४ आ. १३डे
3३ आ.(२६) रर. ५ आ. ३
'श-!॥२पेटररेडे (९८) ६ रु. ( २९
१०४ हव शि. (३१) ३व. (४२) ३व.७म. (४३)
५ ब. ७म. २२३३2 दि. (६४) ६ व. ९ म. २४क दि.
( ३५ ) ता. ५ जानेवारी सन १८७१, ( ३६) ९५ व. (४७)
२९१ पो. १७ शि. "पेटे पे. (३८) २डे रु. (४५९) ५६२
रु. ८ आ.; १०२८५रु. ११ आ. ५उे पै. (४०) २१७ रु.
१५ आ. ६पे.; व्याजाचा दर 2 रु. (४9) १० पो. १५ शि.
व करे पौ. ५ शि. ९ पे.; २ पो. ५ रि. ७डे पे. (४२)
३१५ पो. १० शि. ७३६ पे.; १२एयेट्ेरेवेपेणे व. (४९) २
रु. ० आ. १०३ पै. (४४) ४१६ रु. १० आ. ८ पै. ( ४५)
२ व. 9 म. २२कक दि.

प्रश्नसमुदाय. पृ. २१९.

(9)५तास. (२) ज्ये ः १डेई; १ शि.१३ पे.
३ेर£- (६) १८० गोट्या. (४) ४३ व. (५) ७३६ झाड.
(६) २०० खं. (७) १ मण. (८)२ बि.५ पां र्से
चौ. का. (९ ) एकंद्र इस्टेट २७० रु.; अनुकर्मे ९० रु.
६७१ रु., ५४ रु., ४५ रु. ($० ) १२"३४९ इ०. (99 ) २०
अंश. ( १२) ३॥ मण. (७३ ) “ळा; इटे » वेचा (१४)
४. (१५) ५३६ दि. (१६) घोडा, २३२ रु. १२ भा.
१३९पे.; गाडी, १८६ रु. २ आ. इटेटे पै.; सामान, ३) रु. ०
आ. ६३६ पै. (५७ ) जेहेज्य १परव्रव; १बेऊेदेऊ रे;
२३०८. (१८) अ११ड रु;३ब२० रु.३ क२९डेरु. (9९)
अ१ शि. १०्द्रेपे३ ब१ शि. १डैपे;३ क ४ईपे. (२०)
रु. २३६, ६. १५) १पे९९व्या, ९८. (२५)
८८४; १५३. (२२) २ म. १२ दि. (२३) ३ता.
२० मि. (९४) ३ई- (९५) ४९२. ११ आ. २$ पै. (२६)

ग्य

२६८ अकगणित.

९ दि. (२७) ३२ बैल' ४८ गाई. (२८ ) '६५९३७५ वबदशेळ
००२५६२५६; २५६२५६०; ।०२५६२५६. (२९ ) ५९ क.
<३222ई बि. (३०) पुरुषास, १० आ. ६ईंड पै.; बायकोस,
५ आ. १३रेपे.; मुळास, २ आ. ७३३ पै. (३१) ३७ (९२)
१३३ रु. (३६) ९२० रु. २ आ- ३ पे. (४४) १ रु. १४आ
(४५) क १२०० रु., खख ४८००रु. , ग ६००० रु.; व
७०००रु. (१६) १८सं. ६म टॅ) शे. (१७) ४९३ तर
हिस्से. ( ४३८) टे ता. (३९) रु. ११५-- (४०) १
ता.(४9)अ १५ आ.; बर रु. १२ आ. ( ४२) दि
(४४) मृद्दळ २१॥-॥२; नफा ४८19 रु. (४४) ४ वाजतां;
४ वा. ४३दक मि. (४५) १७म. र्ट्ेपा. ( ४६) २५ पॉ
२२ को. ६२ शि. ८४ पे. (४७) ६'९१ यो. (४८) १२
पो. १० शि. देंपे. ( ४९ ) जख्हेई तसू. ( ५० ) रु.
श-पारघे$कटे. (५३) ७२. (५२) ५ खं. ७३३ मण.
( ५३) १९५ कोस. (५४) रु. १-२. ( ५५ ) डषेर

९ ५६) चार द्‌. १५० रु. सहा दू. २०० रु. ( ५७७) ८९ मे

१०३ मे. (५८) रु. ४०११-८१ ८०६६॥-इ;
१३२०९९७1१९; १६११२१ (५९ ) ७७२ मेल
(६०) १०५ दि. (६9) पु. ॥॥-॥२३ बा. ॥-डे !मु.
-1)१३- (६२) २३२ रु. 9) आ. १४ पे. (६३) १ मेल. (६४)
५०९. फेरे. (६५) १॥ घ.5 ४०६टे घा., १८०३ घा. (६६)
येऊ इ रु. 1]. ( ६७ ) १४ अध गिनी याव्या, २८ क्रोन
द्यावे. (६८ ) १० वा. २२३ मि. (६९ ) १९देरेशंटेपे (७०)
३८५३२७ फ़. (७१ ) रु. ३०॥७८१टेटे रु. 1॥॥-२उ. (७९)
६९२ रु. ७ आ. दो पे. (७३) १९३ेऊे हात. (७४) रु.
३॥-१ड' (५५) २३६ रेशे अं. (७६) ११ वा. ५ु८मि. ३९३से
(७७) दर तासास ३० मेळ. (७८) २५३ दि.(७९) १ दक दि
(८०)दुसर्‍या दिवशीं दोनभरहरानंतर ५वा. २४ ग्र. ५५५ से. (८५)
१२५०१३४ चौ. ग. (८२) अः ४३पेःळ.१ आ. व्हे पे
(८३) अ ७३८-॥ दे देशेरे रु.; ब ८९६००-०२प्चर रु.

तती

रद
डं

उत्तर. २६९

(८४९) अ ४८॥ रु. ब २२॥-॥ रु. (८५) ८-६ दि. (८६)
पुरुष, ६ रु.; बायका, ४ रु. (८७) अ ६०० रु.; ब ४००
रु. क ३०० रु.; ड २४० रु. ( ट्ट ) ६० हात. (८९ ) अ
२६४ रु.; ब, १९८ रु. ; क ३०८रु. (९०) ३पें. १५ शि.
स्टे पे. (९५) १५ रु. (९२) १ मनष्य. (९४) १२० रु.
(९४) १५० झार्डे. (९५) ३० रु. ६ आ. 3३६ पे. (९६ )४४९३
रु. (९७ )१२म. ३० दि. (९८) ३० फळें. ( ९९) ८पों
१८ शि. ६४४ पे. ( 9०० ) १ पॉ. (9०१ ) ७२ मेळ. (१०२)
४९५७ पो. ६ शि. ८ पे. ( १०३) शिलिंग ३२, ७, १०२,
१४, १७२ , २१ (१०४ ) ६०० झाडे. ( २०५ ) १२८०० रु
(१०६) उ > यर दैक ३ टच > दडवरू (१०७) १३०२३
कोस. (१०८ ) रु. १७५७॥॥- (१०९) २८००७दप
(११०) १०५ रु. ४ आ. ५>एटपे. (१११) १९वा. २०
मि. ( ११२) २४००, १८००, १६००, १'५०० स्वार.

५७८२८०४

पळा... 0 न यला
पृष्ठ. म अशुद्ध शुद्ध.
3। २।| नंबरचा ( नंघरचा )
४२४ टॅ द्वा
१८| ४॥ शेकळेवे ४५९१
धर >> २3
9 8४५ च

ष्ट र्‌ २५ २'४६८>९१0 0७ ग ४६. ८>९१ "2

८२.१२. ब्उेफच | 73७७

दवे तीत ७३३०२०४ 3३3३*"७२०५४

६४|१० २९९४५८'७ २*"९ ९ ४५८७'

१ > > "पट

० ५ "४ 07२9 *त "२9

१६| १०१ ११०१
१७] १६ १६.
२ | हि. ११" "ह

७ "9 --। २१"9

६५।३० ७६८ ७६८

७० | २.२ २२४ २"

७२ | २७ *६दे "०४६3

७३ २०| ९ क र ण . र

दर २ म, य,

१७ २१ 3०५६८७६. 3*९६८७५
१२४ १७ परिणाम परिमाण
१२८ १५ | 5५६ हा (९ हाा:3६हा
१५४७ | १५ | पदार्थाचा पदार्थीच्या

२७। तितक्‍्याचया तितक्‍्यावा
१५२| ८ १६।रु, सुमारे हे | . १६) रु. हे उत्तर

दि. ह. उत्तर. | ४४ दि. हें उत्तर

39१३० 3२५०

२ बिघे 3 बिघे.

१३ १६

3० २०

भागाच्या भागांच्या

२ हिस्सा २ रा द्विस्सा शा

१००)>८९ १०००9८९
'७८>)0:”०७३९ 5 ०9२०८"०३३१५१*०३९ १ '८रेण्ट

मुद्गळ मृद्‌त

दरमहा दरसाल

१२७५० -:<- 3 १२७२० :<- 3

मागील हीचे.

१०पे १०॥ षे.

| 4 9 ढ्रि षः 1.
कत्र्यी)